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第一章 预备知识
§1 集合
1.3 集合的基本运算
课标要求
1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．
2．能用Venn图表示两个集合的并集和交集、全集和补集．
3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．
4．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．
5．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题.
核心素养
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并 集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中 “或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解，培养学生数学抽象的核心素养．
2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题，培养学生逻辑推理，数学运算等核心素养.
第1课时 交集与并集
必备知识 探新知
知识点1 交集
1．定义
自然语言 一般地，由______________________________________组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作__________(读作“A交B”)
符号语言 _________________________________
图形语言
(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)
既属于集合A又属于集合B的所有元素
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
2．交集的性质
对于任何集合A，B，有A∩B＝________，(A∩B) A，(A∩B) _____，A∩A＝_____，A∩ ＝_____.
B∩A
B
A
知识点2 并集
1．定义
自然语言 一般地，由______________________________的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)．
符号语言 ________________________________
所有属于集合A或属于集合B
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
2．并集的性质
对于任何集合A，B，有A∪B＝__________，_____ (A∪B)，_____ (A∪B)，A∪A＝_____，A∪ ＝_____.
B∪A
A
B
A
A
关键能力 攻重难
●题型一 交集运算
例1：(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{1} D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B＝( )
A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1
C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__________________.
{(1,2)}
[解析] (1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}．故选B.
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<
－1}．故选D.
[归纳提升]
归纳提升：求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A，B的代表元素是什么．
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为 )．
(2)方法
①若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
〉对点训练1
(1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,3} B．{2,4}
C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}
(2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝( )
A．{－3,1} B．{0,1}
C．{1,5} D．{1,3}
[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，
∴A∩B＝{1,3}．故选A.
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．故选D.
●题型二 并集运算
例2：(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3[分析] 第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析] (1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3 [归纳提升]
归纳提升：并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
〉对点训练2
(1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝______________.
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2[解析] (1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
{0,1,2,3,4,5}
{x|x>－2}
●题型三 集合的交集、并集性质的应用
例3：(1)设集合M＝{x|－2(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求a的取值范围；
②若A∪B＝B，求a的取值．
[分析] (1)把M∪N＝M转化为N M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．
(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．
{t|t≤2}
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．
①∵A∩B＝B，∴B A，B＝ ，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝ 时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
②∵A∪B＝B，∴A B.
∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，
∴A＝B，由①知a＝1.
[归纳提升]
归纳提升：
利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
〉对点训练3
已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析] (1)由题意得M＝{2}．
当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M N，∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
●易错警示 忽视空集的特殊性
例4：已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为_______________________.
[辨析] 由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪ ＝A，所以错解忽略了B＝ 时的情况．
{a|a<1或a>3}
[点评] 有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩ ＝ ；(2)对于任意集合A，皆有A∪ ＝A，因此，如果A∩B＝ ，就要考虑集合A或B可能是 ，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是 .
课堂检测 固双基
1．设集合A＝{x∈N*|－1≤x≤2}，B＝{2,3}，则A∪B＝( )
A．{－1,0,1,2,3} B．{1,2,3}
C．{－1,2} D．{－1,3}
[解析] 集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B＝{1,2,3}．故选B.
2. 已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|－2A．{x|x<1} B．{x|1C．{x|－2[解析] A∩B＝{x|x<1}∩{x|－23．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( )
A．{2,4,6} B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6} D．{6}
[解析] 图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}．故选C.
4．已知集合A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，A∪B＝R，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 利用数轴画图解题．
要使A∪B＝R，则实数a≤1.故选B.
5．已知集合A＝{x|m－2(1)若m＝1，求A∪B；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由m＝1，得A＝{x|－1∴A∪B＝{x|－1素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2A．{1,3} B．{1,7}
C．{5,7} D．{3,5}
[解析] 因为A＝{1,3,5,7}，B＝{x|22．已知集合M＝{x|－34}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[解析] 在数轴上分别表示集合M和N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}．故选A.
3．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
[解析] ∵M，N均为点集，由得
∴M∩N＝{(3，－1)}．故选D.
4．若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
[解析] A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，
由题意可知，阴影部分为A∩B，A∩B＝{2}．故选A.
5．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．故选D.
6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．{a|－12}
C．{a|a≥－1} D．{a|a>－1}
[解析] 因为A∩B≠ ，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，
易知a>－1.故选D.
二、填空题
7．已知集合A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，C＝{6,8}，则(C∪A)∩B＝ {2,6,8} .
[解析] ∵A∪C＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}，
∴(C∪A)∩B＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．
8．设集合P＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，Q＝{(x，y)|y＝－x＋7，x∈R}，则P∩Q＝_{(3,4)}__.
[解析] 由题意，P∩Q即P，Q中两个方程组成的方程组的解集，联立解得故P∩Q＝{(3,4)}．
三、解答题
9．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
[解析] 解不等式组得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示．
则A∩B＝{x|－210．已知集合A＝{x|－3(1)求A∩B，A∪B；
(2)若(A∪B) C，求实数m的取值范围．
[解析] (1)因为集合A＝{x|－3(2)因为(A∪B) C，即{x|－3B 组·素养提升
一、选择题
1．已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2C．{x|x≥－2} D．{x|x<1}
[解析] 由题意，M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，
根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x<1}．
故选A.
2．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
[解析] 因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，
所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
所以A∪B＝{1,2,5}．故选D.
3．(多选题)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，则集合B可能为( )
A．{1,2,5} B．{2,3,5}
C．{0,1,5} D．{1,2,3,4,5}
[解析] 集合A＝{2,3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，则B中必有元素1和5，且有元素2,3,4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合．B、C错误．故选AD.
4．(多选题)已知集合A＝{2,4，x2}，B＝{2，x}，A∪B＝A，则x的值可以为( )
A．4 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵A∪B＝A，∴B A.
∴x∈A，∴x＝4或x2＝x，
由x2＝x解得x＝0或1，
当x＝0时，A＝{2,4,0}，B＝{2,0}，满足题意．
当x＝1时，A＝{2,4,1}，B＝{2,1}，满足题意．
当x＝4时，A＝{2,4,16}，B＝{2,4}，满足题意．
故选ABC.
二、填空题
5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a>0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是 1≤a<2 .
[解析] ∵A∩B有3个真子集，∴A∩B中有2个元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a>0}，
∴1≤a<2.
6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是_10__.
[解析] 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
yx －1 0 1 2 3
0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
所以A*B中的元素共有10个．
三、解答题
7．已知集合M＝{x|2x＋6＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝－4时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析] (1)M＝{－3}．
当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}，
则M∩N＝{－3}∩{－1,4}＝ ，M∪N＝{－3}∪{－1,4}＝{－3，－1,4}．
(2)∵M∩N＝M，∴M N.由于M＝{－3}，则－3∈N，
∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18.
8．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人．
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
[解析] 由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴∴故选A.
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( )
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M，N的关系不确定
[解析] 由题意，得N＝{0,1}，故N?M.故选B.
4．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}，则集合A的非空子集的个数为( )
A．4 B．8
C．7 D．6
[解析] 集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}＝{0,1,2}，共有23＝8个子集，其中非空子集有7个．故选C.
5．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
[解析] ∵A B，∴a≥2，故选D.
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ .
其中正确的是 ④ .
[解析] 不是其自身的真子集，所以④正确．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为 M＝P .
[解析] ∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
8．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B A，则实数m＝ 3 .
[解析] ∵B A，∴m2＝6m－9，∴m＝3.
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[解析] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B?A，∴当B＝ 时，m＝0符合题意；
当B≠ 时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，则－＝－3或2，∴m＝或－.
综上可知，m的值为0或或－.
10．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析] E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
由方程x2－(a－1)x＝0得x＝0或x＝a－1.
①当a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．不确定
[解析] ∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由图可知，P?Q.故选A.
2．已知集合A＝{x|1A．{a|a≥2 024} B．{a|a>2 024}
C．{a|a≥1} D．{a|a>1}
[解析] ∵A?B，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2 024.故选A.
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( )
A．1∈A B．B A
C．(1,1)∈B D． ∈A
[解析] B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC.
4．(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
[解析] A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0} T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB.故选AB.
二、填空题
5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 {(1,2)}，{(－3,4)} .
[解析] 集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
6．已知集合M＝{x|ax2＋2x－1＝0}，若M有两个子集，则a的值是_0或－1__.
[解析] 因为M有两个子集，所以方程ax2＋2x－1＝0只有一个解或两个相等的解．当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个解x＝，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x－1＝0有两个相等的解，则Δ＝0，即Δ＝4＋4a＝0，解得a＝－1.
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析] 由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，符合题意．
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析] (1)当P＝ 时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.
(2)当P≠ 时，易得Q＝{－1，－4,1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是.
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