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第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
第2课时 集合的表示
必备知识 探新知
知识点1 列举法
(1)方法：把集合中的元素___________出来写在花括号“{}”内．
(2)一般形式：{a，b，c，…}．
(3)关注点：元素的排列_______可以不同．
一一列举
顺序
知识点2 描述法
定义 通过描述元素满足的条件表示集合的方法
形式 _________________________________
方法 在花括号内先写出集合中元素的___________及_______，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的___________
{x及x的范围|x满足的条件}
一般符号
范围
共同特征
知识点3 有限集、无限集和空集
(1)空集：不含_______元素的集合叫作空集，记作 .
(2)有限集：含有_________元素的集合叫作有限集；
(3)无限集：含有_________元素的集合叫作无限集；
任何
有限个
无限个
知识点4 区间
定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} _____________
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} _________________
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
定义 符号 数轴表示
{x|x>a} _______________
{x|x≤b} _________________
{x|x(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
关键能力 攻重难
●题型一 列举法表示集合
例1：用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
[归纳提升]
归纳提升：
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
〉对点训练1
用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．
[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．
●题型二 描述法、区间法表示集合
例2：(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
②根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
③注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
[归纳提升]
归纳提升：
1．描述法表示集合的两个步骤
2．用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如：{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
3．区间表示集合的适用情况和注意点
(1)适用情况：表示一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数．
(2)注意点：①区间的两个端点必须保证左小右大；
②“∞”是一个符号，不是数，以－∞或＋∞为区间一端时，这一端必须是小括号．
〉对点训练2
(1)已知集合M＝{x|x＝7n＋6，n∈N}，则2 022_____M,2 024_____ M.(填“∈”或“ ”)．
(2)用描述法表示下列集合：
①小于10的非负整数构成的集合；
②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
④集合{1,3,5,7，…}．
[解析] (1)因为2 022＝7×288＋6,2 024＝7×289＋1，所以2 022∈ M，2 024 M.
(2)①小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x<10}．
②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}．
③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}．
④{1,3,5,7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
●题型三 集合表示方法的综合应用
角度1 用适当的方法表示集合
例3：用适当的方法表示下列集合：
(1)函数y＝x2－2x的图象与x轴的公共点的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)3和4的正的公倍数构成的集合；
(4)大于4的奇数构成的集合．
[解析] (1)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．也可用区间表示为(－∞，4)．
(3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
(4)用描述法表示为D＝{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}或D＝{x|x＝2k＋3，k∈N*}．
角度2 方程、不等式等知识与集合交汇
例4：已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解析] ①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．
[归纳提升]
归纳提升：
1．解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．
(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．
〉对点训练3
(1)(角度1)以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为___________________.
(2)(角度2)设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
[解析] (1)解方程x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，
解方程x2－x－6＝0，得x＝－2或x＝3，所以以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为{－2,2,3}．
{－2,2,3}
●易错警示 忽视集合中元素的互异性
例5：方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为________________________.
[错解] x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．
[辨析] 错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
[正解] x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．
{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)
[点评] 在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性.
课堂检测 固双基
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝2 024} B．{y|(y－2 024)2＝0}
C．{x＝2 024} D．{2 024}
[解析] 选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2 024，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．故选C.
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．(－3,11)
C．{x|－3D．{x|－3[解析] 因为所求的数为偶数，所以可设为x＝2k，k∈Z，又因为大于－3且小于11，所以－33．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝______________.
[解析] A＝{－1,0,1}，当x＝－1，或1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴B＝{0,1}．
{0,1}
(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0当x＝0，±1，±2时，y＝9,8,5符合题意，
∴B＝{5,8,9}．
(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，第一章 §1 1.1 第2课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}
[解析] 解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．故选C.
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C． D．
[解析] 解方程组得
故该集合为{(0,1)}．故选B.
3．给出下列四个集合：
(1){0}． (2){x|x>7，且x<1}．
(3){x|x>4}． (4){x∈Z|x2－2＝0}．
其中空集的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 满足x>7且x<1的实数不存在，
故{x|x>7，且x<1}＝ .
因为x2－2＝0的解为±，不是整数，
所以{x∈Z|x2－2＝0}＝ .
另外两个集合显然不是空集．故空集的个数为2.故选B.
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[解析] 因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．故选B.
5．若A＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为( )
A．{(－1,3)}
B．{－1,3}
C．{(－1,3)，(3，－1)}
D．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}
[解析] 因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．故选D.
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图象交点组成的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1 N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．联立方程组可得解得∴一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋8的图象交点为(2,4)，∴所求集合为{(x，y)|x＝2且y＝4}，故③不正确．故选D.
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为 {(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)} .
[解析] ∵x＋y＝4，x∈N，y∈N，
∴x＝4－y∈N，
∴
∴A＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为 {x|x＝，n∈N*} .
[解析] 注意到集合中的元素的特征为，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N*}．
三、解答题
9．用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于8的非负偶数组成的集合A；
(2)小于10的合数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解析] (1)不大于8的非负偶数有0,2,4,6,8，所以A＝{0,2,4,6,8}．
(2)小于10的合数有4,6,8,9，所以B＝{4,6,8,9}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝.
(4)由，得，所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
10．用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解析] (1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
B 组·素养提升
一、选择题
1．方程组的解集是( )
A．{x＝1，y＝－1} B．{1}
C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}
[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D.故选C.
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为( )
A．{1,2}
B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)}
D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
[解析] x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.
∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}．故选D.
3．(多选题)下面四个说法中错误的是( )
A．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C．方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1,1}
D．0与{0}表示同一个集合
[解析] 10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,2,1}表示同一集合，故B正确；方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误．故选CD.
4．(多选题)集合{1,3,5,7,9，…}用描述法可表示为( )
A．{x|x＝2n±1，n∈Z} B．{x|x＝2n＋1，n∈Z}
C．{x|x＝2n－1，n∈N*} D．{x|x＝2n＋1，n∈N}
[解析] {x|x＝2n±1，n∈Z}＝{…－3，－1,1,3，5，…}，故A错误；{x|x＝2n＋1，n∈Z}＝{…－3，－1,1,3,5…}，故B错误；{x|x＝2n－1，n∈N*}＝{1,3,5，7，…}，故C正确；{x|x＝2n＋1，n∈N}＝{1,3,5,7，…}，故D正确．故选CD.
二、填空题
5．满足有意义的所有实数x取值的集合为 .(用区间表示)
解析：由2－3x≥0，得x≤.
6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为 4 .
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.
∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
三、解答题
7．已知集合A＝，试用列举法表示集合A.
[解析] 由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2，而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．
8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析] (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝；当a＝时，A＝.
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，a的取值范围为.
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