第一章 §2 2.2 第1课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( )
A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)
[解析] A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是全称量词命题，但有的梯形的对角线不相等，故B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；选项D，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)，是全称量词命题且是真命题．故选D.
2．下列命题为存在量词命题的是( )
A．自然数都是正整数
B．存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0
C．对任意x∈(－1，＋∞)，3x＋4>0都成立
D．对顶角相等
[解析] A，D中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，D都是全称量词命题；C中含有全称量词“任意”，是全称量词命题，B中命题含有存在量词“存在”，所以B是存在量词命题．故选B.
3．下列语句是真命题的个数是( )
①一个正整数不是素数就是合数；
②若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数；
③60x＋9>4；
④若x∈N，则x2＋4x＋7>0.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①该语句是命题．由于整数1不是素数，也不是合数，所以它是假命题；②该语句是命题.＋(－)和×(－)都是有理数，但，－都是无理数，所以它是命题且是假命题；③这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题；④因为当x∈N时，x2＋4x＋7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．故选A.
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．直角三角形的内角有一个是90°
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数，使>2
[解析] A是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B.
5．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是( )
A． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B． a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C． a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
[解析] 全称量词命题含有量词“ ”，故排除A，B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．故选D.
二、填空题
6．给出下列四个命题：① x∈R，x2＋3>0；② x∈N，x4≥1；③ x∈Z，x3<1；④ x∈Q，x2＝3.
其中是真命题的是 ①③ (把所有真命题的序号都填上)．
[解析] ①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3>0，即x2＋3>0，所以命题“ x∈R，x2＋3>0”是真命题；②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，是假命题；③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立，是真命题；④由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题．
7．下列命题：
①至少有一个偶数是质数；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为 ①②③ .
[解析] 命题①②显然为真命题；③由于对于 x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，故③为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1,2,3时，6∈(A∩B)，故为假命题．
三、解答题
8．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)存在一个集合A，满足A?{1,2,3}．
[解析] (1)是全称量词命题．x∈N，故2x为偶数，所以2x＋1一定为奇数，故为真命题．
(2)是存在量词命题．找不到x，使＝0，故为假命题．
(3)是存在量词命题．当m＝2，n＝1时符合m－n＝1，故为真命题．
(4)是存在量词命题．例如当A＝ 时符合题意，故为真命题．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是( )
A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}
[解析] 因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对 a∈M，都有a A，所以a<－3.故选D.
2．(多选题)给出下列命题，其中真命题有( )
A．存在x<0，使|x|>x
B．对于一切x∈Z，都有|x|∈N
C．存在x<0，使|x|≤x
D．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b
[解析] 易知选项A、B为真命题；C中命题当x<0时，|x|>x，所以C为假命题；D中，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，a－b<0，即a二、填空题
3．若存在实数x∈{x|x≤1}，使不等式4x＋3≥m能够成立，则实数m的取值范围是 m≤7 .
[解析] 存在x∈{x|x≤1}使不等式4x＋3≥m能够成立，只需要满足m≤(4x＋3)max，x∈{x|x≤1}时成立，则4×1＋3≥m，即m≤7.
4．已知命题p： x∈，－2x＋a≥0，命题q：x2＋x＋2a－1＝0有实数根，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围是 a≥1 .
[解析] 若p是真命题，则－2×＋a≥0，即a≥1.
若q为假命题，则Δ<0，即a>，故a≥1.
三、解答题
5．已知命题p： x≥－，2x＋2－a＝0为真命题，求实数a的取值范围．
[解析] 因为p为真命题，即方程2x＋2－a＝0，在x>－范围内有实根，所以a＝2x＋2≥2×＋2＝1，
∴a≥1，即实数a的取值范围为a≥1.
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第一章 预备知识
§2 常用逻辑用语
2.2 全称量词与存在量词
课标要求 核心素养
1．理解全称量词、存在量词的含义．
2．掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断．
3．能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．
4．掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 1．在本节的学习中，要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方法，并能够熟练运用其表示符号．
2．能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题．培养学生逻辑推理的核心素养.
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
必备知识 探新知
知识点1 全称量词命题
1．全称量词命题的定义
在给定集合中，断言_______元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
2．全称量词
定义 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词
符号表示 用符号“ ”表示，读作“对任意的”
所有
知识点2 存在量词命题
1．存在量词命题的定义
在给定集合中，断言_______元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
2．存在量词
定义 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词
符号表示 用符号“ ”表示，读作“存在”
某些
关键能力 攻重难
●题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次方程都存在实数根；
(4)过平面内两点有且只有一条直线．
[解析] (1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．
(2)命题为存在量词命题．
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．
(4)命题是全称命题“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，故为全称量词命题．
[归纳提升]
归纳提升：
判断一个语句是全称量词命题还是存在量
词命题的步骤
〉对点训练1
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数；
(2)有些三角形不是等腰三角形；
(3)有的实数是无限不循环小数；
(4)所有的正方形都是矩形．
[解析] (1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题．
(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．
●题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2：判断下列命题的真假．
(2) α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[分析] 对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
[归纳提升]
归纳提升：
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
〉对点训练2
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3) x，y∈Z，使3x－4y＝20；
(4)任何数的0次方都等于1.
[解析] (1)全称量词命题．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题．
(4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题．
例3：(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是_______________.
(2)若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，
因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是(－1，＋∞)．
(－1，＋∞)
(2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上知，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
[归纳提升]
归纳提升：解决含有量词的命题求参数范围问题的思路
(1)全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
(2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数取值范围问题时，应尽量分离参数．
〉对点训练3
●题型三 全称量词命题与存在量词命题的应用
●易错警示 全称量词命题概念不清致错
例4：下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________.
①有的矩形是正方形；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
[错解] ② ①④
②③
①④
[辨析] ②③是全称量词命题；①④是存在量词命题；⑤不是命题．
[正解] ②③ ①④
课堂检测 固双基
1．下列命题是全称量词命题的是( )
A．有的三角形是等边三角形
B．所有2的倍数都是偶数
C．有一个实数，使|x|≤0
D．至少有一个x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
[答案] B
2．下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋1<0 B． x∈Z,3x＋1是整数
C． x∈R，|x|>3 D． x∈Q，x2∈Z
[答案] B
3．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的整数是偶数
D．有的有理数没有倒数
4．下列命题中，是全称量词命题的有_______，是存在量词命题的有_______.(填序号)
①有的集合的真子集个数为0；②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形；③任意一个集合与空集的交集都是空集；④至少有一个无理数的平方是有理数；⑤所有正数都是实数吗？
5．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是________________(填全称量词命题或存在量词命题)，用符号表示为_______________________.
②③
①④
存在量词命题
x，y∈R，x＋y>1
