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第一章 预备知识
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.2 一元二次不等式及其解法
必备知识 探新知
知识点1 一元二次不等式
(1)定义：形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式______的所有_________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
成立
未知数
知识点2 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系
关键能力 攻重难
●题型一 解一元二次不等式
例1：解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；(2)－x2＋2x－3<0；(3)－3x2＋5x－2>0.
[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．
(2)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
[归纳提升]
归纳提升：解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
〉对点训练1
(多选题)下列不等式中，解集为R的是( )
A．x2－x＋1>0 B．x2－x＋1<0
C．4x2－4x＋1≥0 D．4x2－4x＋1≤0
●题型二 三个“二次”的关系
例2：已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1
[分析] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
[解析] 方法一：由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
[归纳提升]
归纳提升：给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．
〉对点训练2
若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
[解析] 因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
●题型三 解含有参数的一元二次不等式
例3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4 [归纳提升]
归纳提升：
在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0.
(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两异根(Δ>0)，两等根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1〉对点训练3
解关于x的不等式ax2－x>0.
[解析] (1)当a＝0时不等式为－x>0，所以x<0，
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1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)>0；(2)3x2－7x≤10；
[解析] (1)(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，
所以原不等式的解集为{x|x>3或x<－2}．
(3)原不等式等价于x2－4x＋4>0，即(x－2)2>0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}．
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝x2＋6x＋10；
(3)y＝－3x2＋12x－12.
(3)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
(2)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.第一章 §4 4.2
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是( )
A．[－2,1]
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
[解析] 由－x2－x＋2≥0，得x2＋x－2≤0，即(x－1)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤1，所以该不等式的解集为[－2,1]．故选A.
2．不等式≥0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 原不等式可化为
解得－≤x<，
故其解集为.故选B.
3．已知00的解集为( )
A．
B．{x|x>a}
C．
D．
[解析] 因为01，所以a<，
所以不等式的解集为.故选A.
4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3[解析] 由已知得a(x＋2)(x－3)>0，
∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2∴所求不等式的解集为{x|－25．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是( )
A．－2≤k≤2 B．k≤－2，或k≥2
C．－22
[解析] 由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.故选A.
6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3A．－4 B．0
C．2 D．4
[解析] 由不等式的解集为{x|－3二、填空题
7．函数y＝的定义域为 {x|－3[解析] 由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－38．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围 [－2，2] .
[解析] 由Δ＝a2－8≤0，得－2≤a≤2，∴a的范围是[－2，2]．
三、解答题
9．解不等式－1[解析] 原不等式可化为
即即
所以
如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或010．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
[解析] 因为x2＋px＋q<0的解集为
，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－20的解集为{x|－2B 组·素养提升
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA＝( )
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] 解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，即A＝{x|x<－1或x>2}，所以 RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
[解析] y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
∴生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.
3．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3A． RA＝{x|－6≤x≤1}
B．A∩B＝{x|－3C．A∪B＝{x|－6D． RB＝{x|x≤－3或x≥2}
[解析] 不等式x2＋5x－6<0可化为(x＋6)(x－1)<0，解得－6又因为集合B＝{x|－3又A∪B＝{x|－6因为集合B＝{x|－34．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a<－1} D．{a|a>4}
[解析] 若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，
所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a<－1或a>4}的子集．选项C、D正确．故选CD.
二、填空题
5．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，则m＋n＝_5__.
[解析] 因为关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，所以－和是方程mx2＋nx－1＝0的两根，
则解得所以m＋n＝5.
6．若不等式x2＋x－1[解析] 原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0对任意的x∈R恒成立．
①当1－m2＝0时，m＝±1.
当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然成立；
当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，
故不等式的解集不是R，不合题意；
②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得
解得m<－1或m>，
综上可知：实数m的取值范围为
(－∞，－1]∪.
三、解答题
7．解不等式>1(a∈R)．
[解析] 原不等式等价于－1>0，即>0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①
当a＝1时，①式可以转化为x>2；
当a>1时，①式可以转化为(x－2)>0；
当a<1时，①式可以转化为(x－2)<0.
又当a≠1时，2－＝，所以当a>1或a<0时，2>；
当a＝0时，2＝；当0故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x>2}；
当a>1时，原不等式的解集是；当08．设m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集记为集合P.
(1)若P＝{x|－1(2)当m>0时，求集合P.
[解析] (1)由题意可知，关于x的方程mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)＝0的两根分别为－1,2，且m<0，由解得m＝－.
(2)当m>0时，由mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0可得(mx－m－1)(x－2)>0，解方程(mx－m－1)(x－2)＝0，可得x＝>0或x＝2.
①当<2，即m>1时，原不等式为x<或x>2；
②当＝2，即m＝1时，原不等式为(x－2)2>0，即x≠2；
③当>2，即0.
综上所述，当m>1时，P＝；
当m＝1时，P＝{x|x≠2}；
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