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第二章 函数
§2 函数
2.1 函数概念
第2课时 函数概念(二)
必备知识 探新知
知识点 常见函数的定义域和值域
a>0
a<0
关键能力 攻重难
●题型一 求函数的定义域
例1：求下列函数的定义域：
[分析] 观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
[归纳提升]
归纳提升：求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
〉对点训练1
●题型二 函数的值域
例2：函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．[0,1] D．[1,5)
[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．
[解析] 由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，y＝－4＋1＝ －3；
当x＝0时，ymax＝1，
因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．故选B.
[归纳提升]
归纳提升：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值域
(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值．
(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值．
(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．
〉对点训练2
下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
[解析] A中x≥0，所以y≥0；B中x>0，所以y>0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1.故选B.
●题型三 复合函数、抽象函数的定义域
例3：(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为
______________.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为________________.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为______________.
(－1,5)
(0,6)
[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
(2)∵－1(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1 [归纳提升]
归纳提升：
函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
〉对点训练3
(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
[解析] (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
●易错警示 函数概念理解有误
例4：设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D.
[辨析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
[正解] 图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B.
[点评] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系.
课堂检测 固双基
1．下列表格中的x与y能构成函数的是( )
A． B．
C． D．
[解析] A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数．故选C.
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
[解析] 要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为(－∞，2]．故选C.
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为________________.
[解析] 由题意得－2≤x＋1≤3，
∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3,2]．
[－3,2]第二章 §2 2.1 第2课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－2,1]
B．(－∞，－2)∪(－2,1)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(－2,1]
[解析] 由解得x≤1且x≠－2.
所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,1]．故选D.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x与y＝ B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0 D．y＝|x|与y＝()2
[解析] 选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．故选A.
3．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<0，且x≠－1} D．{x|x≠0，且x≠－1}
[解析] ∵∴∴
故选C.
4．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是( )
A．{0,2,3} B．[0,3]
C．[0,3) D．[1,3)
[解析] x＝－1时，f(－1)＝0；x＝1时，f(1)＝2；x＝2时，f(2)＝3.所以函数f(x)的值域为{0,2,3}．故选A.
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋x＋1
[解析] A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；对D选项，x2＋x＋1＝2＋，故其值域为，只有B选项的值域是(0，＋∞)．故选B.
6．若函数f(x)＝()2与g(x)＝x(x∈D)是相等函数，则D是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
[解析] 函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，即D＝[0，＋∞)．故选C.
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是_[－3,1]__.
[解析] 由于y＝f(x)与y＝＋是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．
8．函数f(x)＝＋的值域是 .
[解析] ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，≥，
∴0＜≤，＜f(x)≤.
三、解答题
9．求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[1,5]；
(2)y＝－1；
(3)y＝.
[解析] (1)∵1≤x≤5，∴2≤2x≤10，
∴3≤2x＋1≤11，所以函数的值域为{y|3≤y≤11}．
(2)∵≥0，∴－1≥－1.
∴函数y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(3)y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠.
∴函数y＝的值域为.
10．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；
(2)x∈[0，＋∞)；
(3)x∈[－2,2]；
(4)x∈[1,2]．
[解析] (1)∵y＝(x＋1)2－4，∵x∈R，∴y≥－4，
∴x∈R时值域为[－4，＋∞)．
(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，
∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．
(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[－2,2]时，值域为[－4,5]．
(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[1,2]时，值域为[0,5]．
B 组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．[－1，＋∞) B．
C． D．
[解析] ∵M＝，N＝{x|x≥－1}，
∴M∩N＝.故选B.
2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
A.{1} B．{2}
C．{3} D．
[解析] 由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；
当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不满足方程；
当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，满足方程．故选C.
3．(多选题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
A B
C D
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]．故选ACD.
4．(多选题)若函数f(x)＝的值域是[0，＋∞)，则实数a的可能取值是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] a＝0时f(x)＝2不符合题意，a≠0时令g(x)＝ax2＋ax＋2，要使值域包括0，即最小值小于等于0.
那么解得a≥8.故选CD.
二、填空题
5．函数y＝(1≤x≤3)的值域为 .
[解析] ∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，
∴≤≤1，∴≤≤8，
∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为.
6．已知函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f(2x－3)的定义域为 .
[解析] ∵函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x≤5，－1≤x＋3≤8，即函数f(x)的定义域为[－1,8]．
∴－1≤2x－3≤8，解得1≤x≤，∴函数f(2x－3)的定义域为.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解析] (1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
8．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
[解析] 存在．理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，且开口向上．
因为m>1，所以当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，所以要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有所以m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，所以m＝3或m＝1(舍)，所以存在实数m＝3，满足条件．
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