第二章 §3 第1课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝5－x B．y＝x2＋2
C．y＝ D．y＝－|x|
[解析] 选项A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．故选B.
2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上不单调
[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.
3．函数y＝的单调减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
D．R
[解析] 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表述不当．故选A.
4．若函数y＝2ax－b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
[解析] 当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.故选C.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.故选C.
6．已知函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，－1]
[解析] 由于函数f(x)＝|x－a|的图象是将函数f(x)＝|x|向左(或右)平移|a|个单位得到的；故函数f(x)＝|x－a|在(－∞，a)上单调递减；在(a，＋∞)上单调递增；因为函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，所以函数在(－∞，－1)上单调递减，由函数的性质可得a≥－1.故a的取值范围为[－1，＋∞)．故选A.
二、填空题
7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是 (－∞，1)和(1，＋∞) .
[解析] 由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
8．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是 1 .
[解析] 函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.证明函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
[证明] 设任意x1，x2∈(－2，＋∞)，且x2
则f(x2)－f(x1)＝－＝，
因为x1＞x2＞－2，
所以x2－x1<0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以<0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间的最大值．
[解析] f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞)上是增函数，在上是减函数，
因此f(x)的单调增区间为，[0，＋∞)，单调减区间.
(2)∵f＝，f＝，∴f(x)在区间的最大值为.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
[解析] B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．故选A.
2．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝x(x≥0) D．y＝x
[解析] 由题意设y＝kx，将(36,108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x.同时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0.故选A.
3．(多选题)已知f(x)＝－，则( AD )
A．定义域为[0,1]
B．f(x)max＝， f(x)无最小值
C．f(x)min＝1, f(x)无最大值
D．f(x)max＝1, f(x)min＝－1
[解析] 要使f(x)有意义，应满足，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1.故选AD.
4．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
[解析] 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．故选BCD.
二、填空题
5．函数y＝x2－2x＋2(x≥－3)的单调递减区间为_[－3,1]__.
[解析] 因为y＝(x－1)2＋1，所以单调递减区间为[－3,1]．
6．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2) ≤ f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)
[解析] ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．
[解析] (1)f(x)＝＝＝1＋，
定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}．
(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明此结论．
证明：任取x1，x2∈(2,5)，
设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为2所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)>f(x2)．
故函数在(2,5)上为减函数．
8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1,3)，且关于直线x＝1对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若m<3，求函数f(x)在区间[m,3]上的值域．
[解析] (1)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1,3)且关于直线x＝1对称，
所以
解得b＝－2，c＝0.所以f(x)＝x2－2x.
(2)当1≤m<3时，f(x)min＝f(m)＝m2－2m，f(x)max＝f(3)＝9－6＝3，
所以f(x)的值域为[m2－2m,3]；
当－1≤m<1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(3)＝3，
所以f(x)的值域为[－1,3]．
当m<－1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(m)＝m2－2m，
所以f(x)的值域为[－1，m2－2m]．
综上当1≤m<3时，f(x)的值域为[m2－2m,3]；
当－1≤m<1时，f(x)的值域为[－1,3]；
当m<－1时，f(x)的值域为[－1，m2－2m]．
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第二章 函数
§3 函数的单调性和最值
课标要求
1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．
2．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．
3．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
4．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法.
核心素养
1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质，培养学生数学抽象的核心素养．
2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)加深理解其含义及应用．培养学生逻辑推理的核心素养.
第1课时 函数的单调性
必备知识 探新知
知识点1 函数的单调性
函数 增函数 减函数
条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，对于任意x1，x2∈D，当x1____________________ ____________________
结论 y＝f(x)是增函数 y＝f(x)是减函数
当I是定义域D上的一个区间时，函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当I是定义域D上的一个区间时，函数y＝f(x)在区间I上单调递减
f(x1)f(x1)>f(x2)
知识点2 函数的单调性与单调区间
函数y＝f(x)在__________上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫作函数的单调区间．
知识点3 函数的最大(小)值
设函数y＝f(x)的定义域为D，若存在实数M，对所有的x∈D，都有_________________________，且存在x0∈D，使得_______________，则称M为函数y＝f(x)的最大(小)值.
区间D
f(x)≤M(f(x)≥M)
f(x0)＝M
关键能力 攻重难
●题型一 由图象求函数的单调区间
例1：如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
[分析] (1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
[归纳提升]
归纳提升：函数单调区间的求法及表示方法
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
〉对点训练1
根据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．
●题型二 由图象求函数的最值
例2：(1)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)
①在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
②由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
[解析] (1)由函数的图象可知，最小值为－2，最大值为f(5)．故选C.
(2)①由题意，当x∈[－1,2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当x∈(2,5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示：
②由图象可知，当x＝0时函数f(x)有最大值为3；当x＝2时f(x)有最小值为－1.
[归纳提升]
归纳提升：图象法求最值的步骤
〉对点训练2
[解析] 作出f(x)的图象如图：由图象可知，
当x＝2时，f(x)取最大值为2；
●题型三 二次函数的最值
例3：已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解析] f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出
函数y＝f(x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，
等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；故x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
[归纳提升]
归纳提升：定轴定区间的二次函数的最值问题的解法
解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．经常用到的结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
〉对点训练3
求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解析] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数．
课堂检测 固双基
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[0,1] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
[解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．故选C.
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
[解析] 由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2.故选C.
4．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )
A．3,5 B．－3,5
C．1,5 D．5，－3
[解析] ∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5.故选B.
5．函数f(x)＝1－|2－x|的单调递减区间是____________，单调递增区间是____________.
[解析] 当x≤2时，f(x)＝1－(2－x)＝x－1，则在(－∞，2]上单调递增；当x>2时，f(x)＝1＋(2－x)＝3－x，则在(2，＋∞)上单调递减.
(2，＋∞)
(－∞，2]