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第二章 函数
§2 函数
2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数
必备知识 探新知
知识点 分段函数
如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
关键能力 攻重难
●题型一 分段函数的求值问题
(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；
(2)若f(a)＝10，求a的值．
[分析] 分段函数的解析式 求函数值或已知函数值列方程求字母的值．
[解析] (1)f(－4)＝－4＋2＝－2，
f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，
f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0.
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
[归纳提升]
归纳提升：求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
〉对点训练1
A．24 B．21
C．18 D．16
[解析] f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21, f(5)＝f(21)＝24.故选A.
●题型二 分段函数的图象及应用
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[归纳提升]
1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数式：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．
〉对点训练2
(1)画出函数的图象；
(2)若f(x)＝1，求x的值．
[解析] (1)函数图象如图所示．
(2)由f(x)＝1和函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
●题型三 分段函数的应用问题
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)试计算月产量分别为300个、600个时的利润．
当x＝600时，f(600)＝30 000－20×600＝18 000.
即月产量分别为300个，600个时的利润分别为30 000元，18 000元．
[归纳提升]
归纳提升：利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
〉对点训练3
某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤ 30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
(2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15，
即当12≤x<15时，f(x)当x＝15时，f(x)＝g(x)，
当15g(x)．
②当20g(x)，
故当12≤x<15时，选A家俱乐部合算．
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，当15●易错警示 分段函数概念的理解错误
[错解] ∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x<0时， f(x)＝x，
∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
当x<0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
[正解] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞， ＋∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
课堂检测 固双基
1．已知函数f(x)中，f(1)＝0，且对任意n∈N*，都有f(n＋1)＝f(n)＋3，则f(3)＝( )
A．0 B．3
C．6 D．9
[解析] f(2)＝f(1)＋3＝3，f(3)＝f(2)＋3＝f(1)＋6＝6.故选C.
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
[解析] 作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}．故选D.第二章 §2 2.2 第2课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f[f(3)]＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．7
[解析] 因为f(x)＝
则f(3)＝0，所以f[f(3)]＝f(0)＝1.故选C.
2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B．
C． D．
[解析] f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝.故选D.
3．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝－|x|－1 B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－|x|＋1 D．f(x)＝|x＋1|
[解析] 根据题图象可知，函数f(x)的图象由两条直线构成，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
当x≥0时，图象过点(0,1)和(1,0)，可得f(x)＝－x＋1，
当x＜0时，图象过点(0,1)和(－1,0)，可得f(x)＝x＋1，
所以f(x)在R上的解析式为f(x)＝－|x|＋1.故选C.
4．函数y＝1－的图象是下列图象中的( )
A B C D
[解析] 当x＝0时，y＝＋1＝2.
故排除B，D；
当x＝2时，y＝＋1＝－1＋1＝0.故排除C.故选A.
5．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0,2]∪[3，＋∞)
[解析] 当0≤x≤1时，2x2∈[0,2]；当x≥2时，x＋1≥3，所以函数f(x)的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．故选D.
6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的( )
[解析] 由已知得y＝故选B.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝a，则实数a＝ .
[解析] 依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
8．函数y＝－x(x≥2)的值域为 (－∞，－1] .
[解析] 令t＝，则x＝t2＋1，由x≥2，知t≥1，于是y＝－t2＋t－1＝－2－(t≥1)，当t＝1时， y＝－1，故函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．
三、解答题
9．若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，求m的取值范围．
[解析] 令f(x)＝
作其图象，如图所示
由图可知110．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
[解析] 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
描点，连线，得函数图象如图．
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
B 组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
[解析] 当a≤0时，由f(a)＝－a＝4，得a＝－4；
当a>0时，由f(a)＝a2＝4，得a＝2或a＝－2(舍去)．
所以a＝－4或a＝2.故选B.
2．为了鼓励大家节约用水，某市居民用水实行阶梯水价，其中每户的户年用水量与水价的关系如表所示：
分档 户年用水量(立方米) 水价(元/立方米)
第一阶梯 0～180(含) 5
第二阶梯 181～260(含) 7
第三阶梯 260以上 9
假设居住在本市的某户家庭2023年的年用水量为200 m3，则该户家庭2023年应缴纳的水费为( )
A．1 800元 B．1 400元
C．1 040元 D．1 000元
[解析] 因为居住在本市的某户家庭2023年的年用水量为200 m3，所以该户家庭2023年应缴纳的水费为y＝180×5＋(200－180)×7＝1 040(元)．故选C.
3．(多选题)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
[解析] 定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x＜1时，0≤f(x)≤4，当x≥1时，f(x)≤1，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；f(x)＝2在x≥1上无解，故－2≤x＜1时，f(x)＝x2＝2，得到x＝－，故C正确；当－2≤x＜1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC.
4．(多选题)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
[解析] 由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以N，M点不可能；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与题中图2矛盾，因此不可能是P点．故选ABC.
二、填空题
5．设函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝ －或4 .
[解析] 当x0≤2时，x＋2＝8，∴x＝6，∴x0＝±，
∵x0≤2，∴x0＝－.
当x0>2时，2x0＝8，x0＝4.
综上可知x0＝－或4.
6．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是 (－∞，1] .
[解析] 由题意知
f(x)＝
画出图象为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝|x－2|＋x2.
(1)去掉绝对值，写出f(x)的分段解析式；
(2)画出f(x)的图象，并写出值域．
[解析] (1)当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2，
当x＜2时，f(x)＝x2－x＋2，
所以f(x)＝
(2)当x≥2时，f(x)为以x＝－为对称轴，开口向上的抛物线，当x＜2时，f(x)为以x＝为对称轴，开口向上的抛物线，
所以f(x)的图象如图所示：
所以函数f(x)的值域为.
8．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．
(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．
[解析] (1)y＝
(2)因为93>63，所以63＋10(x－15)＝93 x＝18.
即此用户该月的用水量为18吨．
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