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第二章 函数
§1 生活中的变量关系
课标要求 核心素养
1．结合教材实例会判断变量之间是否是函数关系．
2．结合教材实例了解分段函数的概念.
3．结合教材实例理解函数为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具. 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合语言与对应关系来刻画函数．培养学生数学抽象，逻辑推理的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 函数关系
如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的_________值，变量y都有___________的值和它对应，那么y就是x的函数．
知识点2 分段函数
每一个
唯一确定
关键能力 攻重难
●题型一 两个变量关系的判定
例1：下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
④正三角形的面积和它的边长．
[解析] ①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；
②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中，两个变量不存在依赖关系．
[归纳提升]
归纳提升：依赖关系的判断方法与步骤
对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系．
〉对点训练1
下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)商品的价格与销售量；
(3)某同学的学习时间与其学习成绩．
[解析] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系；
(2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，是依赖关系；
(3)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系．
综上所述，(1)(2)(3)均存在依赖关系．
●题型二 函数关系的判定
例2：(1)(多选题)下列两个变量之间的关系是函数关系的是( )
A．出租车车费与出租车行驶的里程
B．商品房销售总价与商品房建筑面积
C．铁块的体积与铁块的质量
D．人的身高与体重
(2)以下形式中，不能表示“y 是x的函数”的是( )
A． B．
C．y＝x2 D．(x＋y)(x－y)＝0
[解析] (1)对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系．故选ABC.
(2)根据函数的定义，每个x都有唯一的y和它对应，从而判断选项A，B，C都表示“y是x的函数”；
因为(x＋y)(x－y)＝x2－y2 ＝0，所以y2＝x2，所以任一非零实数x都有两个y与之对应，(x＋y)(x－y)＝0不能表示“y是x的函数．”故选D.
[归纳提升]
归纳提升：关于函数关系的判定
函数关系是一种两个变量之间确定的依赖关系，判定函数关系的关键是准确把握函数的定义，理解“变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．同时也是判定函数关系的依据．
〉对点训练2
下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
[解析] A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．故选C.
●题型三 函数关系的应用
例3：如图是一同学骑自行车出行的图象，
从图中得到的正确信息是( )
B．前20分钟的速度比后半小时的速度慢
C．前20分钟的速度比后半小时的速度快
D．从起点到达终点，该同学共用了50 分钟
[归纳提升]
归纳提升：关于变量关系的应用
利用图象表示两个变量的依赖关系更加直观，更能反映两个变量相互影响的变化趋势．解题时注意关注图象的上升、下降，增加、减小的快慢等特征．还要注意利用图象中数据．
〉对点训练3
(1)下列说法不正确的是( )
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙
三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列
叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
(2)对于A，由图象可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L, 所以当速度大于40 km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，即甲车行驶10 km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80 km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油，故D正确.
课堂检测 固双基
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A．生活质量与人的身体状况间的关系
B．某人的身高与饮食状况
C．一只60瓦的白炽灯的耗电量W与时间t
D．蔬菜的价格与季节
[解析] A、B、D是依赖关系，对C，W是关于t的函数．故选C.
2．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )
A．x，y之间有依赖关系
B．x，y之间无依赖关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
[解析] 小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系．故选A.
3．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，
路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是_____；
(2)乙在这次赛跑中的速度为_____m/s.
甲
8
4．给出下列关系：
①人的年龄与体重之间的关系；
②抛物线上的点与该点纵坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有_______________.
[解析] 由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．
①③④
5．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题．
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？
(4)变量Q是关于变量t的函数吗？
[解析] 观察图象可知：
(1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到．
(2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．
(4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数．第二章 §1
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列变量之间是依赖关系而不是函数关系的是( )
A．儿童的年龄与智力
B．某匀速行驶的轿车的行驶距离与行驶速度
C．正方体的体积与棱长
D．邮局邮寄包裹的质量与邮费
[解析] 儿童的年龄与智力有依赖关系但没有函数关系．故选A.
2．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是( )
A．多边形的边数和它的内角和
B．正方形的边长和面积
C．球的体积和半径
D．人的体重和身高
[解析] 人的体重和身高的关系不是确定的，因此不是函数关系．故选D.
3．下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A．水稻的亩产量与施肥量
B．某人的体重与饮食状况
C．匀速行驶的火车行驶的路程与时间
D．蔬菜的价格与供应量
[解析] 火车匀速行驶，故s＝v·t.故选C.
4．某项运动的运动速度曲线如图．从以下运动中选出一种，其速度变化最符合图中的曲线的是( )
A．钓鱼 B．掷标枪
C．100 m短跑 D．10 000 m长跑
[解析] 100 m短跑中，起跑后速度有较快的提高，随后进入途中跑阶段、冲刺阶段，速度仍有提高，但提高幅度明显下降，并一直持续到达到终点，随后速度则较快地降下来．故选C.
5．大明种植了10 m2小麦，每平方米施肥x kg，小麦总产量y kg，则( )
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
[解析] 虽然小麦总产量y kg与每平方米施肥量x kg之间有关系，但小麦总产量y kg还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间存在依赖关系但无函数关系．故选A.
6．大家都听说过“龟兔赛跑”的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )
A B C D
[解析] A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；B.此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶”不符，不符合题意；C.此函数图象中，S1，S2同时到达终点，不符合题意；D.S1一直增加；S2有三个阶段，1、增加；2、睡了一觉，不变；3、当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，增加；但乌龟还是先到达终点，即S1在S2的上方．符合题意．故选D.
二、填空题
7．从某超市了解到一周中每天的营业额如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
营业额/元 3 400 3 500 3 600 3 540 4 000 9 000 10 200
两者之间是_函数__关系，较大的营业额集中在星期_六、日__.
[解析] 每一天都有唯一确定的营业额与之对应，故为函数关系；从表中可直接看出营业额情况．
8．变量x与变量y之间的关系如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 4 6 8 …
(1)写出x与y的关系式：_y＝2x__.
(2)当x＝2.5时，y＝_5__.
[解析] (1)由表格可知y与x是正比例函数关系y＝kx，且比例系数为k＝2，所以x与y的关系式为y＝2x.(2)把x＝2.5代入y＝2x，得y＝5.
三、解答题
9．某城市出租车收费标准如下：里程不超过3公里按起步价7元收费，超过3公里的按每公里1.5元加收，乘客乘车后出租车行驶的路程为x公里，乘客该付的车费为y元．
(1)当0
(2)当x>3时，x与y分别是什么量？x与y之间的关系是否为函数关系？
[解析] (1)当0在0(2)当x>3时，x与y都是可变的量，所以x与y都是变量，并且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以x与y之间的关系是函数关系．
10．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
[解析] (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11∶00至12∶00，他骑了13千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．
B 组·素养提升
一、选择题
1．某中学的研究性小组为了考察某岛的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往某岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠在岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回码头．设t为出发后某一时刻 ，s为汽艇与码头在时刻t的距离，图中能大致表示s与t之间的函数关系的是( )
A B C D
[解析] 注意到汽艇绕小岛两周时，它与码头的距离的变化应为半圆形状．故选C.
2．(多选题)下列说法正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
[答案] ABC
3．(多选题)下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中正确的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
[解析] 这天的最高温度与最低温度相差36－22＝14(℃)，故C错误．故选ABD.
4．三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为a m3，平均每天流出的水量控制为b m3，当蓄水位低于135 m时，b[解析] 开始时，流入的水多于流出的水，所以蓄水量逐渐增加，当水位达到135 m时，流入和流出的水量相等，所以蓄水量保持不变，符合条件的只有A.故选A.
二、填空题
5．圆锥的高为h，当圆锥底面半径r变化时，圆锥的体积V也随之发生变化，在这个变化过程中，_圆锥底面半径r__是自变量，_体积V__是因变量，它们之间的函数关系式为 V＝πhr2 .
6．A地到B地的路程约600 km，汽车从A地出发，其平均速度为58 km/h，则汽车离B地的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式是 s＝600－58t .
三、解答题
7．口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染．为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过试验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
项目 1 2 3 4 5 6 7 8
温度(℃) 15 25 30 35 37 40 45 50
黏附力(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图象；
(2)根据上述数据以及得到的图象，你能得到怎样的试验结论呢？
[解析] (1)口香糖黏附力F随温度t变化的图象如图．
(2)试验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 ℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50 ℃时，黏附力最小，所以可通过加热的方法除去瓷砖上的口香糖残留物．
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