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第二章 函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
课标要求 核心素养
1．通过实例，理解幂函数的概念，会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．
2．理解常见幂函数的基本性质. 以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一般幂函数的图象和性质．培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 幂函数的概念
一般地，形如_____________________的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．
知识点2 常见幂函数的图象与性质
y＝xα(α为常数)
{x|x≠0}
[0，＋∞)
[0，＋∞)
[0，＋∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)
(－∞，0)，
(0，＋∞)
(1,1)
关键能力 攻重难
●题型一 幂函数的概念
[归纳提升]
归纳提升：
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，
(2)指数为一常数，
(3)后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数．
〉对点训练1
有下列函数：
④⑤⑥
A B C D
[分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状．
[归纳提升]
归纳提升：解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在(0,1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；
②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
〉对点训练2
A B C D
二、四
●题型三 幂函数简单性质的应用
角度1 比较幂的大小
例3：比较下列各题中两个数的大小：
[分析]
[归纳提升]
归纳提升：
比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较．
角度2 已知单调性求参数
[分析] 先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验．
当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．
∴y＝x－3(x≠0)．
[归纳提升]
归纳提升：
本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，求出m的值后，一定要根据题目要求对m的值进行检验．
〉对点训练3
(1)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
(2)比较下列各组数的大小：
①1.10.1,1.20.1；②0.24－0.2,0.25－0.2.
[解析] (1)因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
(2)①由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，
又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.
②由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.
●易错警示 用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论
[错解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1 ∵m∈N*，∴m＝1,2.
又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．
又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
[错因分析] 该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[正解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1 ∵m∈N*，∴m＝1,2.
又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．
[点评] 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在 (－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．
课堂检测 固双基
A．0 B．1
C．2 D．3
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
[解析] ∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，
∴图象不可能经过第四象限．故选A.
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
3
5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
[解析] (1)设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数．
∵－1.5<－1.4，∴(－1.5)3<(－1.4)3.第二章 §4 4.2
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．幂函数y＝xα(α是常数)的图象( )
A．一定经过点(0,0) B．一定经过点(1,1)
C．一定经过点(－1,1) D．一定经过点(1，－1)
[解析] x＝1时，y＝1，所过点(1,1)．故选B.
2．下列函数中，定义域为R的是( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝x－1
[解析] 对A，由y＝x－2＝，知x≠0；
对B，由y＝x＝，知x≥0；
对D，由y＝x－1＝，知x≠0.
故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C.
3．已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(x)的定义域为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[解析] 设f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点(2，)，所以2α＝，解得α＝，则f(x)＝，故f(x)的定义域为[0，＋∞)．故选C.
4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
[解析] 定义域为R的函数中，α可取1,3；若函数y＝xα为奇函数，α可取－1,1,3，故α取1,3.故选A.
5．已知函数f(x)＝x，则下列结论正确的是( )
A．y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)
B．y＝f(x)在定义域上为减函数
C．y＝f(x)是偶函数
D．y＝f(x)是奇函数
[解析] 函数f(x)＝x＝，所以函数的定义域为(0，＋∞)，故A选项错误；由函数的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故C、D选项错误；因为－<0，所以函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，故B选项正确．故选B.
6. 幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．m＞n＞p
B．m＞p＞n
C．n＞p＞m
D．p＞n＞m
[解析] 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点．则“点低指数大”，如图，知0＜p＜1，m＜0，n＞1，所以n＞p＞m.故选C.
二、填空题
7．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)＝ x .
[解析] 设f(x)＝xα，
由题意得＝3α，
∴3＝3α，∴α＝，∴f(x)＝x.
8．已知函数f(x)＝是幂函数，且其图象过原点，则m＝ －3 .
[解析] 由题意得m2＋3m＋1＝1，
∴m2＋3m＝0，
∴m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1＝，
其图象不过原点，∴m＝－3.
三、解答题
9．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
[解析] 根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求，故m＝3.
10．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
[解析] (1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，
因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称
又f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－＝(x1－x2)，
因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列6个函数：y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x－2，y＝x2中，定义域为R的函数有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[解析] 函数y＝x，y＝x，y＝x2的定义域为R，函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，函数y＝x及y＝x－2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R的函数有3个．故选B.
2．已知函数f(x)＝是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由题意得m2－m－1＝1，
∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，
∴m≠－1；
当m＝2时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上是减函数，
∴m＝2.故选D.
3．(多选题)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0 B．1
C．－2 D．－3
[解析] 因为f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，
所以3m－5＜0，故m＜.
又因为m∈Z，所以m＝1,0，－1，－2，－3，….
当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝－2时，f(x)＝x－11，f(x)≠f(－x)不符合题意，当m＝－3时，f(x)＝x－14，f(x)＝f(－x)，符合题意，故选BD.
4．(多选题)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则下列说法正确的有( )
A．f(0)＝0
B． af(b)
C．若x>1，则f(x)>1
D．f(x)＋f(－x)＝0
[解析] 由题设，2α＝8，可得α＝3，即f(x)＝x3，所以f(0)＝0且f(x)在定义域上为增函数，f(－x)＝－f(x)，故A、D正确，B错误；当x>1时，有f(x)>1，故C正确．故选ACD.
二、填空题
5．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f的值为 .
[解析] 由题意可设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3，即2α＝3，所以f＝α＝2－α＝3－1＝.
6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3,9)，那么函数f(x)的单调递增区间是 [0，＋∞) .
[解析] 由题设知f(3)＝9，
即3α＝9，所以α＝2.
所以f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．
三、解答题
7．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－18．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)
(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)[解析] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，
因为点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，所以()α＝2，(－2)β＝－，
所以α＝2，β＝－1.
所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)21世纪教育网(www.21cnjy.com)
