第二章 §4 4.1
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知函数f(x)是R上的奇函数，则f(－1)＋f(1)的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．不确定
[解析] 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，令x＝1，得f(－1)＋f(1)＝0.故选A.
2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，
∴f(x)·f(－x)＝－f 2(x)≤0.故选C.
3．若定义在R上的奇函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则f(1)，f(2)，f(3)的大小关系是( )
A．f(1)B．f(1)C．f(3)D．f(3)[解析] 因为函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，而－3<－2<－1，于是有f(－3)>f(－2)>f(－1)，又函数f(x)是R上的奇函数，则有－f(3)>－f(2)>－f(1)，即f(3)4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( )
A．f(x)＝－
B．f(x)＝＋
C．f(x)＝
D．f(x)＝
[解析] 选项A中定义域为{－1,1}，函数解析式为y＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数．故选A.
5．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．1 D．0
[解析] 因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，
所以1－a2＝0，所以a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故选C.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝( )
A．x2－|x|＋1 B．－x2＋|x|＋1
C．－x2－|x|－1 D．－x2－|x|＋1
[解析] 若x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋|x|－1，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.故选D.
二、填空题
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝ －5 .
[解析] 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
8．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_1__.
[解析] 因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，
故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)时
x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到x3(a－1)(2x＋2－x)＝0，对 x∈R都成立．
故a＝1.
三、解答题
9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2.
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
10．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．
[解析] ∵当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2，
且f(x)是奇函数，∴当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝x2－3x＋2.
故当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2＋3x－2.
∴当x∈时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．因此当x∈[1,3]时，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝f(1)＝－2.
∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
[解析] 由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B
2．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上( )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递增且最大值为－5
C．单调递减且最小值为－5
D．单调递减且最大值为－5
[解析] f(x)为奇函数，所以f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．
又已知f(－7)＝5，
所以f(7)＝－f(－7)＝－5.故选C.
3．(多选题)下列函数既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x
C．y＝ D．y＝x|x|
[解析] 选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，是增函数；选项C是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项D，去绝对值号变为分段函数，符合题意．故选BD.
4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
[解析] 因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.
因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，
所以(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
故选A.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，其定义域为[m＋1，－2n＋2]，则m＝_－3__，n＝_0__.
[解析] 由于f(x)是偶函数，
所以 m＝－3，n＝0.
6．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是 (－∞，0) .
[解析] ∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
三、解答题
7．判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可．
∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x>0)；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x<0)．
综上可得，f(x)为奇函数．
8．已知函数f(x)＝满足：f(1)＝，以及下列3个条件中的2个．
①任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；
②函数f(x)在R上只有一个零点；
③函数f(x)在[－1,1]上是减函数．
(1)求实数a的值，并写出成立条件的序号_①②__；
(2)当x≥1时，判断函数f(x)的单调性，并用定义证明你的结论．
[解析] (1)因为f(x)＝，由f(1)＝得＝，解得a＝0，则f(x)＝，定义域为R，所以f(－x)＝＝－f(x)，即①正确；
由f(x)＝＝0得x＝0，即②正确；
任取－1≤x1所以f(x1)－f(x2)＝－＝＝<0显然恒成立，
即f(x1)(2)当x≥1时，f(x)单调递减．
证明：任取1≤x11，
所以f(x1)－f(x2)＝－＝＝>0显然恒成立，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
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第二章 函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4．1 函数的奇偶性
课标要求 核心素养
1．理解奇函数、偶函数的概念．
2．掌握判断某些函数奇偶性的方法．
3．掌握奇偶函数的图象特征．
4．会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性. 1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．培养学生直观想象的核心素养.
必备知识 探新知
知识点 函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A
结论 f(－x)＝___________ f(－x)＝_____________
图象特点 关于_______对称 关于_______对称
f(x)
－f(x)
y轴
原点
关键能力 攻重难
●题型一 函数奇偶性的判断
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
[分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？
(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
[解析] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
(2)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
[归纳提升]
归纳提升：判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
〉对点训练1
判断下列函数的奇偶性：
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．
●题型二 奇偶函数图象的应用
例2： 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)<0的解集．
[分析] 利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)<0的解集．
[解析] 因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．根据f(x)在[0,5]上的图象画出在[－5,0]上的图象，如图中虚线所示．由图象知不等式f(x)<0的解集为{x|－2 [归纳提升]
归纳提升：
已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
〉对点训练2
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
[分析] ∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图
象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)
在x>0时的图象．
[解析] (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
●题型三 利用函数的奇偶性求解析式
例3：已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．
[分析] (1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？
(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，
∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
[归纳提升]
归纳提升：利用函数奇偶性求函数解析式
利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
〉对点训练3
已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时， f(x)＝x2－x－1.
●题型四 单调性与奇偶性的综合应用
例4：定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求实数a的取值范围．
[分析] 利用f(x)是奇函数，把f(1－a)＋f(1－3a)<0变形为f(1－3a)< f(a－1)，再根据单调性列出不等式(组)求解．
[解析] 原不等式化为f(1－3a)<－f(1－a)．
因为f(x)是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)．
所以原不等式化为f(1－3a)因为f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
[归纳提升]
归纳提升：
解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f ”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
〉对点训练4
●易错警示 判断函数奇偶性时忽视定义域
例5：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3x2，x∈(－2,2]；
[辨析] 错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[正解] (1)函数的定义域为(－2,2]，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为[－1,1)，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[点评] 判断函数奇偶性的步骤如下：
(1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
(2)①当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数．
②当函数的定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)的关系：若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数．
课堂检测 固双基
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
2．函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] 函数f(x)定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．故选B.
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝______.
[解析] f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0.
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