第四章 §3 3.1
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．给出的下列函数中，是对数函数的是( D )
A．y＝logx2 B．y＝log3(x－1)
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
[解析] A、B不是对数函数，因为对数的真数不是x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数．故选D．
2．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( A )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
[解析] 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax，则loga4＝2，解得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.故选A．
3．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( A )
A．(1，4] B．(1，4)
C．[1，4] D．[1，4)
[解析] 由题意得所以1
4．已知函数f(x)＝2x的反函数是g(x)，则g的值为( D )
A．1 B．
C．－ D．－1
[解析] 因为y＝f(x)＝2x，所以原函数的反函数为g(x)＝log2x，则g＝log2＝－1.故选D．
5．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( C )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
[解析] ∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，
∴f(x)＝log2x满足题目要求．故选C．
二、填空题
6．函数y＝log(3x－2)的定义域是 .
[解析] 由3x－2>0得x>，所以函数的定义域为.
7．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是 (－2，2) .
[解析] 由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－2三、解答题
8．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．
[解析] ∵f(x)是对数函数，∴
解得m＝2.
∴f(x)＝log3x，∴f(27)＝log327＝3.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知f＝lg x，则f(x)的解析式为( B )
A．f(x)＝lg B．f(x)＝lg
C．f(x)＝lg D．f(x)＝lg
[解析] 令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f(t)＝lg (t>1)，所以f(x)＝lg (x>1)．故选B．
2．(多选题)函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x2)＝2f(|x|) B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x)
[解析] ∵函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．
∴f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，故B对，D错； f(x2)＝logax2＝loga|x|2＝2loga|x|＝2f(|x|)，故A对； f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，故C对．故选ABC．
3．(多选题)关于函数f(x)＝ln，下列说法中正确的有( )
A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f(x)为奇函数
C．f＝1
D．对任意x1，x2∈(－1，1)，都有f (x1)＋f (x2)＝f
[解析] 函数f(x)＝ln ，其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0，
解得－1＜x＜1，所以定义域为{x|－1＜x＜1}，所以A错误；由f (－x)＝ln ＝ln －1＝－ln ＝－f(x)，故f(x)是奇函数，所以B正确；f＝ln e＝1，所以C正确；f(x1)＋f(x2)＝ln＋ln ＝ln ＝f.所以D正确．故选BCD．
二、填空题
4．函数f(x)＝ln(x>1)的反函数f－1(x)＝ ，x∈(0，ln 2) .
[解析] x>1，0<<1，1<＋1<2，所以y＝f(x)∈(0，ln 2)，由y＝ln得x＝，
交换x，y得y＝，所以f－1(x)＝，x∈(0，ln 2)．
5．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(x)＝_log2(x＋2)__，f(30)＝_5__.
[解析] 由题意可得loga8＝3，所以a＝2，故f(x)＝log2(x＋2)，f(30)＝log232＝5.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
[解析] 因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a.因为当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．所以3－2a>0，所以a<.又a>0且a≠1，所以021世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
课标要求 核心素养
1．理解对数函数的概念、图象及性质．
2．了解反函数的概念，掌握互为反函数的特征．
3．能画出具体对数函数的图象，并能根据图象说明对数函数的性质，初步掌握对数函数的图象和性质．
4．会解与对数函数相关的定义域、值域问题．
5．掌握对数函数的单调性，会进行对数大小的比较. 在本节学习中，学生应类比指数函数的图象与性质，借助对数函数的图象得出其性质，并把所学知识应用到实际问题中，学生通过对对数函数的学习，逐步提升数学运算、逻辑推理、数学建模等数学素养.
3.1 对数函数的概念
必备知识 探新知
知识点1 对数函数
1．定义：给定正数a，且a≠1，对应每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.则_____是_____的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay.一般写成_____________________.
2．性质：(1)定义域是(0，＋∞)；(2)图象过定点(1，0)．
3．特殊的对数函数：
常用对数函数：y＝lg x；自然对数函数：y＝ln x.
知识点2 反函数
指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数．
x
y
y＝logax(a>0且a≠1)
关键能力 攻重难
●题型一 对数函数概念
例1：下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[分析] 依据对数概念对底数、真数、系数的要求来判断．
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，
∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，
∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，
∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，
∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．故选B．
[归纳提升]
归纳提升：对于对数概念要注意以下两点
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．
〉对点训练1
指出下列函数中，哪些是对数函数？
●题型二 对数函数的定义域
例2：求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(2x－1)(2－x)；
[分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．
[解析] (1)要使函数有意义，需
解得3－e2≤x<3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
[归纳提升]
归纳提升：
定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值判断单调性．
〉对点训练2
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)，则函数y＝f(lg x)的定义域为
_________.
[解析] (1)使函数有意义应满足log2x－1>0，
即log2x>1，∴x>2.故选C．
(2)由y＝f(x)定义域为(－1，1)知，－1＜lg x＜1，
●题型三 求反函数
例3：求下列函数的反函数
[解析] (1)由y＝10x得x＝lg y，所以其反函数为y＝lg x.
(4)由y＝log2x，得x＝2y，所以其反函数为y＝2x.
[归纳提升]
归纳提升：
同底数的对数函数和指数函数互为反函数，注意底数必须相同.
〉对点训练3
y＝9x
(2)由y＝log9x得x＝9y，所以其反函数为y＝9x.，
课堂检测 固双基
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
[解析] A、B、C都不符合对数函数的定义．故选D．
2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝log3x
[解析] 设对数函数为y＝logax，则2＝loga9，∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝log3x.故选B．
3．(2023·山东临沂高一期末测试)函数y＝lg(3x－2)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
4．如果函数y＝log2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝______.
[解析] 将A(4，y0)代入y＝log2x得log24＝y0，∴y0＝2.
2
5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝_____________.
[解析] 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
log2x