第四章 §3 3.2
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝的定义域是( D )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
[解析] 由log2x－2≥0，得log2x≥log24，所以x≥4.故选D．
2．设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝( D )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
[解析] 因为f(－1)＝2－1＝，所以f[f(－1)]＝f＝log2＝－1.故选D．
3．如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图象是( C )
A B C D
[解析] 由题意得，函数f(x)＝3x－1的反函数是y＝f－1(x)＝log3x＋1，这是一个在(0，＋∞)上的单调递增函数，且y＝f－1＝log3＋1＝0，所以只有选项C的图象符合．故选C．
4．已知函数f(x)＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是( C )
A．(0，＋∞) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．R
[解析] 由对数函数y＝log2x的性质可知，当x>1时y>0，所以由f(m)>0得m>1.故选C．
5．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为( B )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
[解析] a＝log29－log2＝log2 3，b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>3>，所以b>a>c.故选B．
二、填空题
6．函数y＝的定义域为_(－∞，－2]∪[2，＋∞)__.
[解析] 由题知， 解得x≥2或x≤－2.
所以函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_0
[解析] 函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0三、解答题
8．已知f(x)＝|log3x|.
(1)画出这个函数的图象；
(2)当0f(2)，利用函数图象求出a的取值范围．
[解析] (1)如图．
(2)令f(a)＝f(2)，即|log3a|＝|log32|，解得a＝或a＝2.从图象可知，当0f(2)，所以a的取值范围是.
9．已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明；
(3)求f的值．
[解析] (1)由得－1所以函数f(x)的定义域为{x|－1(2)因为函数f(x)的定义域为{x|－1又f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)为偶函数．
(3)f＝log2＋log2
＝log2＝log2＝－1.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝log2x，其中|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是( B )
A． B．∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
[解析] 因为|f(x)|≥1，所以log2x≥1或log2x≤－1.由于f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，故x≥2或x≤.所以x的取值范围是∪[2，＋∞)．故选B．
2．设函数f(x)＝log2|x|，－22，则下列各式成立的是( C )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(c)>f(b)>f(a)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(b)>f(a)>f(c)
[解析] 因为－22，所以1<|b|<|a|<|c|，所以log2|b|3．(多选题)为了得到函数y＝log2x的图象，只需将函数y＝log2(2x)图象上( )
A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．所有点沿y轴向下平移1个单位长度
D．所有点沿x轴向右平移个单位长度
[解析] 函数y＝log2(2x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y＝log2＝log2x的图象，则A正确；函数y＝log2(2x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数y＝log2(2x×2)＝log2(4x)的图象，故B错误；log2(2x)＝1＋log2x，将y＝1＋log2x图象上的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数y＝log2x的图象，故C正确；函数y＝log2(2x)图象上所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y＝log22＝log2(2x－1)的图象，故D错误．故选AC．
4．(多选题)已知log2(5x－2)＝log2(x2＋4)，则x的值可以为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
[解析] 由题意可知5x－2＝x2＋4，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.经检验x＝2或x＝3均符合题意．故选AB．
二、填空题
5．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f＝ ，当x<0时，f(x)＝_－log2(－x)__.
[解析] 设x<0，则－x>0，又x>0时，f(x)＝log2x，所以f(－x)＝log2(－x)，
由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝log2(－x)
故f(x)＝－log2(－x)(x<0)，
所以f＝－log2＝－log22＝.
6．函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上的最大值与最小值之差为_1__.
[解析] 因为f(x)＝log2x在区间[a，2a]上是增函数，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.
三、解答题
7．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？
(2)在给出的坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象；
(3)设函数y＝x与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝x1x2－2(x1＋x2)＋4，请判断M的符号．
[解析] (1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位得到的．
(2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．
(3)设函数y＝x与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则12.
所以M＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝(x1－2)(x2－2)<0，故M<0.
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第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
必备知识 探新知
知识点 函数y＝log2x的性质
(1)函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是_____函数，且值域为____；
(2)若x>1，则y_____0；若x＝1，则y＝0；若0(3)函数y＝log2x与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称．
增
R
>
y<0
关键能力 攻重难
●题型一 函数y＝log2x的图象及其变换
例1：作出函数y＝|log2x|＋2的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
[解析] 先作出函数y＝log2x的图象，如图甲．再将y＝log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变)，得函数y＝|log2x|的图象，如图乙；然后将y＝|log2x|的图象向上平移2个单位长度，得函数y＝|log2x|＋2的图象，如图丙．由图丙得函数y＝|log2x|＋2的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)，值域是[2，＋∞)．
图甲 图乙 图丙
[归纳提升]
归纳提升：
利用函数y＝log2x的图象，可以得到的函数y＝log2(－x)，y＝|log2x|，y＝log2|x|等常见的函数图象，要熟悉这些函数的图象，并加以推广．
〉对点训练1
求函数y＝f(x)＝log2|x|的定义域，画出它的图象并写出单调区间．
[解析] 函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
因为f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，
所以函数y＝log2|x|为偶函数．所以函数的图象关于y轴对称，结合函数y＝log2x的图象，可得函数y＝log2|x|的图象如图所示．
单调增区间为(0，＋∞)；单调减区间为(－∞，0)．
●题型二 比较两个数的大小
例2：比较下列各组数的大小．
(1)log23.2，log23.8；
[解析] (1)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且3.2<3.8，所以log23.2 [归纳提升]
归纳提升：关于对数大小的比较
(1)对于底数相同的对数，首先考查所涉及的函数的单调性，再比较真数的大小，最后利用单调性比较两个对数的大小．
(2)对于底数不同的对数，可以借助换底公式化同底，再比较大小．
〉对点训练2
a●题型三 函数y＝log2x的性质的应用
例3：使不等式log2(2x)>log2(5x－3)成立的实数x的集合为_________.
[解析] 因为函数y＝log2x是(0，＋∞)上的增函数，
[归纳提升]
归纳提升：关于与对数函数有关的不等式(方程)的解法
(1)转化：将含对数的不等式(方程)转化为一元一次、一元二次不等式(方程)求解．
(2)定义域：求出的范围(值)要与定义域取交集(验证是否在定义域内)．
〉对点训练3
{x|x>1}
课堂检测 固双基
1．函数y＝log2x的图象大致是( )
A B C D
[解析] ∵对数函数y＝log2x的底数大于1，
∴y＝log2x为增函数．
又对数函数的图象必过(1，0)点．故选C．
2．函数y＝log2x在[1，2]上的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0，1]
[解析] ∵函数y＝log2x在[1，2]上单调递增且1≤x≤2，∴log21≤ log2x≤log22，即0≤y≤1.故选D．
A．(1，1) B．(1，0)
C．(0，1) D．(0，0)
4．已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为( )
A．9 B．1
[解析] y＝g(x)与y＝log2x互为反函数，故g(x)＝2x，故g(2)＝22＝4.故选D．
5．使不等式log2(2x－1)>－1成立的实数x的集合为__________.