第四章 §4
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( C )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
[解析] 通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C．
2．一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( A )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
[解析] 由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．故选A．
3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( C )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
[解析] 对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；
对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；
对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；
对于D中的函数，当x＝2，3，4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小．故选C．
4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是( C )
[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A，D)．故选C．
二、填空题
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是 y＝x2 .
[解析] 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比xln x增长得要快．
6．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为，则a的值为 4 ，x的值为 .
[解析] 由logax＋2logxa＋logxy＝－3，得logax＋＋＝－3(x>0，y>0，x≠1)，
整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2.
设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－2＋.
因为a>1，所以当t＝－时，y取得最大值，
即loga＝，解得a＝4，从而log4x＝－，即x＝4＝.
三、解答题
7．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后出售再重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则＝.
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
B组·素养提升
一、选择题
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( D )
A．y＝2x－2 B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
[解析] 方法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次函数模型的拟合程度最好．故选D．
方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D．
2．(多选题)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的是( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢
B．f(x)的衰减速度越来越快
C．g(x)的衰减速度越来越慢
D．g(x)的衰减速度越来越快
[解析] 在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(0
二、填空题
3．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_④__；B对应_①__；C对应_③__；D对应_②__.
[解析] A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg的函数关系是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的 e6－1 倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
[解析] 设M＝tm，则有2 000ln(1＋t)＝12 000，
即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.
三、解答题
5．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a L水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t min后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5 min时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有.
[解析] 由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝，设再过t分钟水桶甲中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，
所以e－n(t＋5)＝＝3＝e－15n，
∴t＋5＝15，∴t＝10.
∴再过10分钟水桶甲中的水只有.
6．节约资源和保护环境是中国的基本国策，某化工企业积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少，已知改良工艺前所排放的废气中每立方米污染物数量y0＝4 mg，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为y1＝3.94 mg.第n次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为yn，可由函数模型yn＝y0－(y0－y1)×51.5n＋b(b∈R，n∈N*)给出，其中n是指改良工艺的次数．
(1)求b的值；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08 mg，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：lg 2≈0.3)
[解析] (1)由题意得y0＝4，y1＝3.94，
所以当n＝1时，y1＝y0－(y0－y1)×51.5＋b，
即3.94＝4－(4－3.94)×51.5＋b，解得b＝－1.5.
(2)由(1)得，yn＝4－0.06×51.5n－1.5，
若是企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08 mg，
则4－0.06×51.5n－1.5≤2.08，整理得，51.5n－1.5≥32，
两边同时取常用对数，得1.5n－1.5≥，
整理得，1.5n≥＋1.5，将lg 2≈0.3代入，得n>2.42，
又因为n∈N*，所以n≥3.
综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
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第四章 对数运算与对数函数
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
课标要求 核心素养
1．能从教材实例中归纳出指数函数与一元一次函数、对数函数与一元一次函数增长的差异．
2．能从教材实例中理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，应用函数模型解决实际问题的重要特征是将实际问题中的变量关系用函数表示出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题.
必备知识 探新知
知识点 三种函数的性质及增长速度比较
指数函数 对数函数 幂函数
解析式 y＝ax(a>1) y＝logax____________ y＝xc(c>0)
单调性 在(0，＋∞)上单调________
图象
(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 逐渐上升
增长速度
(随x的增大) y的增长速度越来越______ y的增长速度越来越______ y的增长速度_______
增长关系 存在一个x0，当x>x0时，ax>xc>logax
(a>1)
递增
快
慢
较快
关键能力 攻重难
●题型一 函数模型的增长差异
例1：四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数函数变化的变量是________.
[分析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
y2
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[归纳提升]
归纳提升：三种函数模型的增长规律
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
〉对点训练1
下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
x 2x x2 2x＋7 log2x
1 2 1 9 0
2 4 4 11 1
3 8 9 13 1.585
4 16 16 15 2
5 32 25 17 2.322
6 64 36 19 2.585
7 128 49 21 2.807
8 256 64 23 3
9 512 81 25 3.170
10 1 024 100 27 3.322
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
●题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较
例2：已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 024)，g(2 024)的大小．
[分析] 由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
[解析] 列表：
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2 024)>g(2 024)>g(8)>f(8)．
[归纳提升]
归纳提升：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
〉对点训练2
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)．
●题型三 几种增长函数模型的应用
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
[归纳提升]
归纳提升：实际问题中对几种增长模型的选择技巧
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；
(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律．
〉对点训练3
某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x 38 40 44 46 48 50 52 56
y 45 55 61 63 65 66 67 68
(2)若(1)中的a＝7，b＝1.2，c＝4.2，d＝0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z＝200y－x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？
[解析] (1)补齐的图如图：
则有z＝－t2＋14t＋840，z＝－(t－7)2＋889.
故当t＝7即投入的年宣传费x＝49千元时，年利润取到最大值．，
课堂检测 固双基
1．下列函数增长速度最快的是( )
A．y＝1.1x B．y＝2 024x2
C．y＝log2 024x D．y＝2 024x
[解析] 由函数y＝1.1x为单调递增的指数函数，函数y＝2 024x2为二次函数，y＝log2 024x为递增的对数函数，y＝2 024x为递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．故选A．
2．若－1A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
[解析] 在同一坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图象，由－13．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
[解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x.故选D．
4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：
①前三年中总产量增长的速度越来越快；
②前三年中总产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是________.
[解析] 由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0②③