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第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
课标要求 核心素养
1．探索用二分法求方程近似解的思路．
2．了解用二分法求方程近似解具有一般性. 会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，从而求得方程的近似解，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．
知识点2 用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
关键能力 攻重难
●题型一 二分法的概念
例1：已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4
B．3，4
C．5，4
D．4，3
[解析] 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D．
[归纳提升]
归纳提升：运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右两侧函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
〉对点训练1
(多选题)下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是( )
●题型二 用二分法求函数零点的近似值
例2：求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
[分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．
[解析] 由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：
因此可以看出，区间[1.718 75，1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解．
[归纳提升]
归纳提升：
用二分法求函数零点的近似值，关键是找一个区间[m，n]，使f(m)·f(n)＜0.用二分法求函数零点的近似值的步骤如下：
(1)依据图象估算初始区间(一般采用估值的方法完成)；
〉对点训练2
(1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
(2)用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝___________.
1.437 5
[解析] (1)二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足f(a)·f(b)＜0.
本题中函数f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3，f(1)＝6，显然满足f(－2)·f(1)＜0，因此 x0∈(－2，1)，f(x0)＝0，故求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是[－2，1]．故选A．
课堂检测 固双基
1．函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )
A B C D
[解析] 选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．故选B．
2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是( )
A．－2.0 B．－2.1
C．－2.2 D．－2.3
[解析] f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0.故选C．
3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间________________.
[解析] 本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0，f(1.5)>0和f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25，1.5)．
(1.25，1.5)
4．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．
[解析] 设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，零点x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，第五章 §1 1.2
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．以下每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点的是( C )
A B C D
[解析] 根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二或多个小区间，然后采用二分法逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选C．
2．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0.则( B )
A．f(x)在上一定有零点
B．f(x)在上一定有零点
C．f(x)在上一定无零点
D．f(x)在上一定无零点
[解析] a<3．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 令f(x)＝x2－2mx＋4，由题意可知即所以即m>.故选B．
4．关于x的方程3x＝a2＋2a在(－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是( C )
A．[－2，－1)∪(0，1] B．[－3，－2)∪[0，1]
C．[－3，－2)∪(0，1] D．[－2，－1)∪[0，1]
[解析] 当x∈(－∞，1]时，y＝3x∈(0，3]，若关于x的方程3x＝a2＋2a在(－∞，1]上有解，则a2＋2a∈(0，3]，解得a∈[－3，－2)∪(0，1]．故选C．
5．若函数f(x)的零点与g(x)＝512x3－125的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是( B )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝|2x－1|
C．f(x)＝x3＋x－2 D．f(x)＝(3x＋1)2
[解析] 对A，f＝4x－1的零点为；对B，f(x)＝|2x－1|的零点为；对C，f(x)＝x3＋x－2的零点为1；对D，f(x)＝(3x＋1)2的零点为－；g＝512×－125＝64－125＝－61<0，g(1)＝512－125＝387>0，g(1)·g<0，故g(x)零点在之间，再用二分法，取x＝，g＝512×－125＝216－125＝91>0，g·g<0，故g(x)的零点x∈，由题f(x)，g(x)的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有f(x)＝|2x－1|的零点符合．故选B．
二、填空题
6．若定义在[－1，1]上的函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1，1)上存在零点，则实数a的取值范围为 (－∞，－1)∪ .
[解析] 由题意可知f(－1)·f(1)＜0，
即(－5a＋1)(a＋1)＜0，
解得a＜－1或a＞.
∴a∈(－∞，－1)∪.
7．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝_1__，b＝_2__.
[解析] 因为函数f(x)＝3x＋x－5，所以f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，所以f(1)f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，所以f(x)有且只有一个零点x0，并且x0在区间(1，2)内．所以根据题意可得，a＝1，b＝2.
三、解答题
8．求函数y＝x3－2x2－3x的零点，并作出它的图象．
[解析] ∵x3－2x2－3x＝x(x2－2x－3)＝x(x－3)(x＋1)，
∴函数的零点为－1，0，3.三个零点把x轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1，0]，(0，3]，(3，＋∞)，在这四个区间内，取x的一些值，列出这个函数的对应值表如下：
x … －2 －1 － 0 1 2 3 4 …
y … －10 0 0 －4 －6 0 20 …
在直角坐标系内描点、连线，这个函数的图象如下图所示．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)在(1，2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( )
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
[解析] 设对区间(1，2)二等分n次，初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；…；第5次计算后区间长度为＞0.02；第6次计算后区间长度为＜0.02；第7次计算区间长度为<0.01.故至少计算7次．故选C．
2．(多选题)若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同时在(0，4)，(0，2)，(1，2)，，内，则与f(0)符号不同的是( )
A．f(4) B．f(2)
C．f(1) D．f
[解析] 由二分法的步骤可知：
①零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)＜0，不妨设f(0)＞0，f(4)＜0，取中点2；
②零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)＜0，则f(0)＞0，f(2)＜0，取中点1；
③零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，则f(1)＞0，f(2)＜0，取中点；
④零点在内，则有f(1)·f＜0，则f(1)＞0，f＜0，取中点；
⑤零点在内，则有f·f＜0，则f＞0，f＜0.
所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f.故选ABD．
3．(多选题)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是( )
A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数
B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根
C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称
D．方程f(x)＝0最多有两个实根
[解析] 当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－，B正确，结合图象(如图)知C正确，D不正确．故选ABC．
二、填空题
4．给出以下结论，其中正确结论的序号是_②③__.
①函数图象通过零点时，函数值一定变号；
②连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．
5．设函数f(x)＝若f(－4)＝2， f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是_3__.
[解析] 由已知得
∴f(x)＝作图象如图所示．
由图象可知f(x)＝x的解的个数为3.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
[解析] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0，1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
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