第十一章 不等式与不等式组 第24讲不等式 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

中小学教育资源及组卷应用平台
不等式
知识导航
1.不等式的概念，不等式的解与解集.
2.不等式性质及其应用，作差法比较大小.
3.用数轴表示不等式的解集.
【板块一】 不等式及其解集
方法技巧
1.常见的不等号有:>,<,≤,≥,≠.
2.满足不等式的未知数的值叫做不等式的解，所有解组成不等式的解集.
3.用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.
题型一 不等式的概念
【例1】 现有以下数学表达式:①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x + xy+y ;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.其中是不等式的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.1个
【练1】 在下列式子中，不属于不等式的是( )
A.2x<1 B. x=3 C.4x+5>0 D. x≠-2
题型二 不等式的解(集)
【例2】 已知实数a>2，且a是关于x的不等式x+b≥3的一个解，则b不可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【练2】 下列哪些数是不等式2x-5>3的解 哪些不是
-3,0,2,4,4.001,5,51
题型三 在数轴上表示不等式的解集
【例3】 若一个不等式的正整数解恰为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( )
【练3】 如图所示的不等式的解集是 .
针对练习1
1. “a>b”的反面是( )
A. a2.数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( )
A. a>b B. ab>0 C.|a|<|b| D. a+b<0
3.如图，天平左盘中物体A的质量为 mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为( )
4. x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为 .
5.若x的取值范围在数轴上的表示如图所示，则x为整数的个数是 个.
6.定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a*b=b(a-b)-b，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,例如:2*5=5×(2-5)-5=-20.
(1)求2*(-5)的值;
(2)若x*(-2)的值大于-6且小于9，求x的取值范围，并在如图所示的所画的数轴上表示出来.
3
【板块二】 不等式的性质
方法技巧
1.若a>b,则b2.若a>b,b>c则a>c.
3.若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c.
4.若a>b,c>0则 若a>b,c<0则
题型一 根据不等式的性质变形
【例1】 若a>b，则下列不等式变形一定正确的是( )
C.-ca<-cb D.3a-c>3b-c
【练1】 若aA. a+c题型二 根据不等式的性质求取值范围
【例2】 根据不等式性质，把下列不等式化为x>a或x(2)-0.3x<-1.5.
【练2】 把下列不等式化成x>a或x(1)2x+5>3;
(2)-6(x-1)<0.
题型三 根据不等式的性质比较大小
【例3】 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a(1)比较 与 的大小；
(2)若 ，则a，b的大小关系是 .(直接写出答案)
【练3】 运用不等式的性质比较下列式子的大小.
(1)2a-3与
(2)3a与-a.
针对练习2
1.(2018·河南模拟)下列式子一定成立的是( )
A.若 则a=b B.若 则
C.若 则 D.若 则
2.已知a>5,不等式( 的解集为 .
3.若 且 ，则m的取值范围是 .
4.若 ,则1、1-a、1-b三个数之间的大小关系为: (用“<”连接).
5.已知( ，则a+b的取值范围是 .
6.根据不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5;(2)10x-1>7x;(3)- x>-1;(4)-2x-16<1.
7.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大
8.用等号或不等号填空：
(1)比较4m与 的大小
当m=3时,4m m +4;
当m=2时,
当m=-3时,4m m +4;
(2)无论m取何值,4m与 总有怎样的大小关系 并说明理由；
(3)比较 与 的大小关系，并说明理由；
.(4)比较2x+3与-3x-7的大小关系.
不等式
知识导航
1.不等式的概念，不等式的解与解集.
2.不等式性质及其应用，作差法比较大小.
3.用数轴表示不等式的解集.
【板块一】 不等式及其解集
方法技巧
1.常见的不等号有:>,<,≤,≥,≠.
2.满足不等式的未知数的值叫做不等式的解，所有解组成不等式的解集.
3.用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.
题型一 不等式的概念
【例1】 现有以下数学表达式:①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x + xy+y ;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.其中是不等式的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.1个
【分析】 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有：>，<，≤，≥，≠.
【解答】 ③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，共4个.故选 B.
【练1】 在下列式子中，不属于不等式的是( B )
A.2x<1 B. x=3 C.4x+5>0 D. x≠-2
题型二 不等式的解(集)
【例2】 已知实数a>2，且a是关于x的不等式x+b≥3的一个解，则b不可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】 能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解.不等式的所有解，叫做这个不等式的解集.求出b=0、1、2、3时不等式的解集，判断是否包括实数a即可得.
【解答】 A.当b=0时，不等式x+b≥3的解集为x≥3，此时不一定包括实数a的解，此选项符合题意；B.当b=1时，不等式x+b≥3的解集为x≥2，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意；C.当b=2时，不等式x+b≥3的解集为x≥1，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意；D.当b=3时，不等式x+b≥3的解集为x≥0，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意；故选A.
【练2】 下列哪些数是不等式2x-5>3的解 哪些不是
-3,0,2,4,4.001,5,51
【解答】 4.001,5,51是不等式的解,-3,0,2,4不是不等式的解.
题型三 在数轴上表示不等式的解集
【例3】 若一个不等式的正整数解恰为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( )
【分析】 根据不等式解集的表示方法：>，≥向右画；<，≤向左画；在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.
【解答】 选D.
【练3】 如图所示的不等式的解集是 c≤2 ·
针对练习1
1. “a>b”的反面是( D )
A. a2.数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( D )
A. a>b B. ab>0 C.|a|<|b| D. a+b<0
3.如图，天平左盘中物体A的质量为 mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为( D )
4. x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为
5.若x的取值范围在数轴上的表示如图所示，则x为整数的个数是 5 个.
6.定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a*b=b(a-b)-b，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,例如:2*5=5×(2-5)-5=-20.
(1)求2*(-5)的值;
(2)若x*(-2)的值大于-6且小于9，求x的取值范围，并在如图所示的所画的数轴上表示出来.
【解答】 (1)-30;(2)-5.5【板块二】 不等式的性质
方法技巧
1.若a>b,则b2.若a>b,b>c则a>c.
3.若a>b,则a+c>b+c,a-c>b--c.
4.若a>b,c>0则 若a>b,c<0则.
题型一 根据不等式的性质变形
【例1】 若a>b，则下列不等式变形一定正确的是( )
C.-ca<-cb D.3a-c>3b-c
【分析】 直接利用不等式的基本性质，注意不等式两边乘以或除以负数时需改变不等号方向.
【解答】 选D.
【练1】若aA. a+c题型二 根据不等式的性质求取值范围
【例2】 根据不等式性质，把下列不等式化为x>a或x(2)-0.3x<--1.5.
【分析】 (1)不等式的两边先减去 x，再乘以2；(2)不等式的两边同时除以-0.3.
【解答】 (1)原不等式的两边同时减去 x,得 不等式的两边同时乘以2，得x>-12；
(2)原不等式的两边同时除以-0.3，不等号的方向改变，即x>5.
【练2】 把下列不等式化成x>a或x(1)2x+5>3;
(2)--6(x-1)<0.
【解答】 (1)x>-1;(2)x>1.
题型三 根据不等式的性质比较大小
【例3】 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a比较 与 的大小；
(2)若2a+2b-1>3a+b,则a,b的大小关系是 .(直接写出答案)
【分析】 根据作差法，差大于零被减数大，差小于零被减数小，可得答案.
【解答】 (1)4+ -2b+1;
(2)两边都减(3a+b),得-a+b-1>0,即b-a>1,∴a【练3】 运用不等式的性质比较下列式子的大小.
(1)2a-3与2a+1;
(2)3a与-a.
【解答】 (1)2a-3<2a+1;
(2)当a>0时,3a>-a;当a=0时,3a=-a;当a<0时,3a<-a.
针对练习2
1.下列式子一定成立的是( D )
A.若 则a=b B.若 ac> bc,则a>b
C.若a>b,则( D.若a2.已知a>5,不等式(5-a)x>a-5的解集为
3.若x(m--2)y,则m的取值范围是 m<2 ·
4.若a5.已知06.根据不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5;(2)10x-1>7x;(3)- x>-1;(4)-2x-16<1.
【解答】
7.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大
【解答】 a>b.
8.用等号或不等号填空：
(1)比较4m与 的大小
当m=3时,
当m=2时,
当m=--3时,
(2)无论m取何值,4m.与 总有怎样的大小关系 并说明理由；
(3)比较 与 的大小关系，并说明理由；
(4)比较2x+3与-3x-7|的大小关系.
【解答】 ∴无论m取何值，总有
(3)∵(2 -6;
(4)∵(2x+3)-(-3x-7)=5x+10,∴当x>-2时,5x+10>0,2x+3>-3x-7;当x=-2时,5x+10=0,2x+3=-3x-7;当x<-2时,5x+10<0,2x+3<-3x-7.