第十一章 不等式与不等式组 第29讲一元一次不等式组的应用 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

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一元一次不等式组的应用
方法技巧
1.新定义型问题，程序框图问题，抓住定义或规则，直接代入，运用程序化的思想逐步解决问题.
2.坐标系相关问题，抓住象限内及坐标轴上的点坐标的符号特点，点到坐标轴的距离公式解决问题.
题型一 新定义型问题
【例1】 我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[ 用 表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.解决下列问题:
(2)若[x]=2,则x的取值范围是 ;若=-1,则y的取值范围是 .
(3)已知x，y满足方程组 求x，y的取值范围.
【练1】定义[x]为不超过x的最大整数,如[ .对于任意实数x，下列式子中错误的是( )
A.[x]=x(x为整数) B.0≤x-[x]<1
C.[x+y]≤[x]+[y] D.[n+x]=n+[x](n为整数)
题型二 坐标系相关问题
【例2】 在平面直角坐标系中,有点 A(3,2a+6).
(1)若点 A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值；
(2)若点 A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围.
【练2】 若点. )在第二象限，则m的取值范围为 .
题型三 程序框图问题
【例3】 如图所示的是一个运算程序.
例如：根据所给的运算程序可知，当x=5时， ,再把x=27代入,得 37,则输出的值为137.
(1)填空:当x=10时,输出的值为 ;当x=2时,输出的值为 .
(2)若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围.
【练3】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是( )
A. x≥11 B.11≤x<23 D. x≤23
针对练习4
1.在平面直角坐标系中，点. 在第四象限，则实数x的取值范围是 .
2.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88 ”为一次操作.如果操作进行了两次就停止，则x的取值范围是 .
3.对于任意实数m，n定义一种新运算m※ ，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：3※5=3×5-3+3=15.请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中恰有两个整数解，则a的取值范围为 .
4.对点(x ,y )和( 定义两种新运算 和 ，规定：
例如:(1,2) (-2,3)=(1+(-2),2+3)=(-1,5),
(1,2) (-2,3)=1×(-2)+2×3=-2+6=4.
(1)试计算
(2)已知若(a,-1) (4,b)=(5,-3),求a,b的值;
(3)关于x的不等式(x,-1) (4,x-1)≥p恰好有3个负整数解,求实数p的取值范围.
5.设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”.
(1)数表A 如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；(写出一种方法即可)
1 2 3 -7
-2 -1 0 1
(2)数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值.
a a -1 -a -a
2-a 1-a a-2 a
一元一次不等式组的应用
方法技巧
1.新定义型问题，程序框图问题，抓住定义或规则，直接代入，运用程序化的思想逐步解决问题.
2.坐标系相关问题，抓住象限内及坐标轴上的点坐标的符号特点，点到坐标轴的距离公式解决问题.
题型一 新定义型问题
【例1】 我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3;用表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.解决下列问题:
(1)[-4.5]= ,<3.5>= .
(2)若[x]=2,则x的取值范围是 ;若=-1,则y的取值范围是 .
(3)已知x，y满足方程组 求x，y的取值范围.
【分析】 (1)根据题目所给信息求解；(2)根据[a]表示不大于a的最大整数，可得[x]=2中的2≤x<3，根据表示大于a的最小整数,可得=-1中,-2≤y<-1;(3)先求出[x]和的值,然后求出x和y的取值范围.
【解答】 (1)由题意得,[-4.5]=-5,<3.5>=4;
(2)∵[x]=2,∴x的取值范围是2≤x<3;
∵=-1,∴y(的取值范围是-2≤y<-1;
(3)解方程组得：
∴x,y的取值范围分别为-1≤x<0,2≤y<3.
【练1】定义[x]为不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[0.6]=0,[-3.6]=-4.对于任意实数x，下列式子中错误的是( C )
A.[x]=x(x)为整数) B.0≤x-[x]<1
C.[x+y]≤[x]+[y] D.[n+x]=n+[x](n为整数)
题型二 坐标系相关问题
【例2】 在平面直角坐标系中,有点A(3,2a+6).
(1)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值；
(2)若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围.
【分析】 (1)先求出点A到两坐标轴的距离，再列出关于a的方程，求出a的值即可；
(2)分点A在第一象限、第四象限及x轴上三种情况进行讨论.
【解答】 (1)∵点A到y轴的距离为3,∴|2a+6|=3,解得 或
(2)①若点 A在第一象限，则 解得
②若点A 在第四象限，则 解得
③若点A在x轴上,则2a+6=0,解得a=-3.
综上所述，a的取值范围为：
【练2】 若点 P(m-3,m+1)在第二象限,则m的取值范围为 -1题型三 程序框图问题
【例3】如图所示的是一个运算程序.
例如:根据所给的运算程序可知,当x=5时,5×5+2=27<37,再把x=27代入,得5×27+2=137>37,则输出的值为137.
(1)填空:当x=10时,输出的值为 ;当x=2时,输出的值为 .
(2)若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围.
【分析】 (1)根据运算流程分别代入x=10、x=2，求出输出y值即可得出结论；
(2)根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论.
【解答】 (1)当x=10时,5×10+2=52>37,所以输出52;当x=2时,5×2+2=12<37,把x=12代入,得5×12+2=62>37,所以输出62.
(2)由题意得： 解得:1≤x<7.
【练3】 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是( )
A. x≥11 B.11≤x<23 C.11【解答】 由题意得 解得11针对练习4
1.在平面直角坐标系中，点A(x-1，2-x)在第四象限，则实数x的取值范围是 x>2 .
2.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88 ”为一次操作.如果操作进行了两次就停止，则x的取值范围是
3.对于任意实数m，n定义一种新运算m※n=mn-m+3，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：3※5=3×5-3+3=15.请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中恰有两个整数解，则a的取值范围为 1≤a<3 .
4.对点(x ,y )和(x ,y )定义两种新运算 和 ,规定:
(
例如:(1,2) (-2,3)=(1+(-2),2+3)=(-1,5),
(1,2) (-2,3)=1×(-2)+2×3=-2+6=4.
(1)试计算(-1,3) (4,-2)= (3,1) ;(-1,3) (4,-2)= -10 ;
(2)已知若(a,-1) (4,b)=(5,-3),求a,b的值;
(3)关于x的不等式(x,-1) (4,x-1)≥p恰好有3个负整数解,求实数p的取值范围.
【解答】(1)(3,1),-10;(2)a=1,b=-2;(3)-115.设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”.
(1)数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；(写出一种方法即可)
1 2 3 -7
—2 -1 0 1
(2)数表A 如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值.
a a -1 -a -a
2-a 1-a a-2 a
【解答】 (1)略;(2)a=1.