第九章 平面直角坐标系 第19讲面积法求坐标 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

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面积法求坐标
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1.求直线与坐标轴的交点坐标；
2.求非坐标轴上点的坐标.
【板块一】 求直线与坐标轴的交点坐标
方法技巧
这类问题一般是告诉直线经过两个已知点，求这条直线与坐标轴的交点坐标，在七年级一般是通过面积计算出线段长，从而得到点的坐标.
题型一 求直线与y轴的交点坐标
【例1】 如图,点A(-2,4),B(4,1),AB交y轴于点C,求点C的坐标.
题型二 求直线与x轴的交点坐标
【例2】 如图,点A(-2,4),B(4,1),直线AB交x轴于点D,求点 D的坐标.
针对练习1
1.如图,点A(-1,1),B(2,3),直线AB交y轴于点P,求点 P 的坐标.
2.如图,点A(-1,1),B(2,3),直线AB交x轴于点Q,求点 Q的坐标.
【板块二】 求非坐标轴上的点的坐标
方法技巧
依然采取两种不同方法来表示同一个图形的面积，从而列出等量关系建立方程，得出线段长，进而得出所求点的坐标.
【例1】 如图,点A(-4,0),B(0,2),D(3,0),过点 D作 轴，交直线AB 于点C，求点C的坐标.
【例2】 如图,点A(-4,0),B(0,2),点. )为第一象限内的一点，若点 P 在直线AB 上，求点 P 的坐标.
【例3】如图,点A(-4,0),B(0,2),C(0,6),D(4,0),直线AB,CD交于第一象限内的一点P，求点 P 的坐标.
针对练习2
1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,4),B(3,1),连接AB.
(1)如图1,延长AB交x轴于点C.
①补全图形，并求出点 C的坐标；
②点 P为x轴上的一点，若 的面积为4，求点 P 的坐标.
(2)①如图2,若过点 C(0,2)的直线 轴，且交AB 于点D，求点 D 的坐标；
②若Q(m,2),△ABQ的面积大于5,则m的取值范围为 (直接写出结果)；
(3)如图3,若T(a,b)在线段AB上(不与A,B重合),求a,b满足的等量关系式.
面积法求坐标
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1.求直线与坐标轴的交点坐标；
2.求非坐标轴上点的坐标.
【板块一】 求直线与坐标轴的交点坐标
方法技巧
这类问题一般是告诉直线经过两个已知点，求这条直线与坐标轴的交点坐标，在七年级一般是通过面积计算出线段长，从而得到点的坐标.
题型一 求直线与y轴的交点坐标
【例1】 如图,点A(-2,4),B(4,1),AB交y轴于点C,求点C的坐标.
【分析】 过点 B作BH⊥y轴,垂足为H,连接AH,先求△ABH的面积,
再用CH为底，A，B两点到y轴距离为高计算△ABH的面积，得出CH的长，进而得出点C的坐标.
【解答】 过点B作BH⊥y轴,垂足为 H,连接AH,
又
CH×6=6,∴CH=2,∴OC=1+2=3,∴C(0,3).
题型二 求直线与x轴的交点坐标
【例2】 如图,点A(-2,4),B(4,1),直线AB交x轴于点D,求点 D的坐标.
【分析】 过点B作BH⊥x轴,垂足为H,连接AH,先求△ABH的面积,再用DH为底，A，B两点到x轴距离为高，利用面积差计算△ABH的面积，得出DH的长，进而得出点D的坐标.
【解答】 过点B作BH⊥x轴,垂足为 H,连接AH,
又
DH×3=3,∴DH=2,∴OD=4+2=6,∴D(6,0).
针对练习1
1.如图,点A(-1,1),B(2,3),直线AB交y轴于点P,求点 P 的坐标.
【解答】 过点A作 轴，垂足为C，连接 由 有
2.如图,点A(-1,1),B(2,3),直线AB交x轴于点Q,求点 Q的坐标.
【解答】 过点 A作 轴，垂足为D，连接BD D(-1,0),由 有
【板块二】 求非坐标轴上的点的坐标
方法技巧
依然采取两种不同方法来表示同一个图形的面积，从而列出等量关系建立方程，得出线段长，进而得出所求点的坐标.
【例1】 如图,点A(-4,0),B(0,2),D(3,0),过点 D作 轴，交直线AB于点C，求点C的坐标.
【分析】 连接OC，以OB为底，A，C两点到OB 的距离为高，先算出 的面积，再以OA为底，CD为高计算△AOC的面积，可得出CD的长，即可得C点坐标.
【解答】 连接OC,
又°。
∴C(3, ).
【例2】 如图,点A(-4,0),B(0,2),点P(m,-2m+7)为第一象限内的一点,若点 P在直线AB上,求点 P 的坐标.
【分析】 连接OP，用不同方法表示出△AOP的面积，即可建立关于m的方程.
【解答】 连接OP,
又∵
∴14-4m=m+4,∴m=2,∴-2m+7=-4+7=3,∴P(2,3).
【例3】 (2019·原创)如图,点A(-4,0),B(0,2),C(0,6),D(4,0),直线AB,CD交于第一象限内的一点P，求点 P 的坐标.
【分析】 连接OP，设点P的坐标为(a，b)，利用△COD的面积可得a，b的关系式，同理利用△AOP的面积也可得a，b的一个关系式，从而可求出a，b的值，得点P的坐标.
【解答】 连接OP,设点 P的坐标为(a,b),
b=3a+2b,
又 ).
针对练习2
1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,4),B(3,1),连接AB.
(1)如图1,延长AB交x轴于点C.
①补全图形，并求出点C的坐标；
②点 P 为x轴上的一点，若△PAB的面积为4，求点 P 的坐标.
【解答】 ①过A作AD⊥x轴于点D,连接BD,则 D(1,0),
又
②由S△PAB=4,有
∴P的横坐标为 或 P(1,0);
(2)①如图2,若过点C(0,2)的直线CD∥x轴,且交AB于点D,求点D的坐标;
【解答】 过点A作AH⊥CD,垂足为点 H,连接BH.
则
又
②若Q(m,2),△ABQ的面积大于5,则m的取值范围为 或m<-1 (直接写出结果)；
(3)如图3,若T(a,b)在线段AB上(不与A,B重合),求a,b满足的等量关系式.
【解答】 a,b的等量关系式为3a+2b=11.
过点M作直线m∥x轴,过A作AH⊥m于点H,连接BH,则 b,又