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第六章 统计
§2 抽样的基本方法
2.1 简单随机抽样
课标要求 核心素养
1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．
2．掌握两种简单随机抽样. 在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，选择恰当的抽样方法解决问题，培养学生数据分析和逻辑推理的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 随机抽样
在抽样调查中，每个个体被抽到的_______________的抽样方法，称为随机抽样．
知识点2 简单随机抽样
(1)定义
一般地，从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，____________地抽取n(1≤n可能性均相同
逐个不放回
相等
(2)常用方法
①_________
第一步：把总体中的N(N为正整数)个个体_______，并把_______依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)；
第二步：将这些号签放在同一个_________的箱子里搅拌均匀，每次随机地从中抽取一个；
第三步：将箱中余下的号签___________，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．
抽签法
编号
编号
不透明
搅拌均匀
②_____________
第一步：给总体中的每个个体编号；
第二步：在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法；
第三步：依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码，直至抽满为止．
随机数表法
【批注】简单随机抽样的注意问题
(1)简单随机抽样的特点：总体有限，逐个抽取，不放回地抽取，等可能抽取．
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法．
(3)利用随机数表抽取个体时，关键是先确定随机数表的起点、方向．读数时需结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位两位地读取；编号为三位，则三位三位地读取.
关键能力 攻重难
●题型一 简单随机抽样的概念理解
例1：(1)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中不正确的是( )
A．要求总体中的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．这是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关
(2)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是( )
A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
[解析] (1)简单随机抽样，除具有A，B，C三个特点外，还具有等可能性，每个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关．故选D．
(2)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样．故选C．
[归纳提升]
归纳提升：可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异；
(2)总体中个体数N有限；
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N；
(4)逐个不放回地抽取；
〉对点训练1
下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是( )
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；
④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样．综上，只有③是简单随机抽样．故选B．
●题型二 抽签法的应用
例2：从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
[解析] 第一步，将20架钢琴编号，号码是1，2，…，20.
第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．
[归纳提升]
归纳提升：
1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．
2．应用抽签法时应注意以下几点：
(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；
(2)号签要求大小、形状完全相同；
(3)号签要均匀搅拌；
(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．
〉对点训练2
为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
[解析] (1)将30名志愿者编号，号码分别是1，2，…，30.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
●题型三 随机数法及综合应用
例3：某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.
(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500 g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：
502，500，499，497，503，499，501，500，498，499.
计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．
[解析] (1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500；
第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数；
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本；
第四步,重复上述过程,直到产生的不同编号等于样本所需要的数量.
(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.
＝499.8<500，所以该公司的牛奶质量不合格．
[归纳提升]
归纳提升：用样本平均数估计总体平均数的步骤
〉对点训练3
(1)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A．08 B．07
C．02 D．01
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
(2)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数并判断选谁参加比赛比较合适？
甲 27 38 30 37 35 31
乙 35 29 40 34 30 36
[解析] (1)从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件的数字依次为02，14，07，01，故第5个数为01.故选D．
●易错警示 对简单随机抽样的等可能性理解不透致误
例4：在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与样本量也无关
[错解] B
[正解] 由简单随机抽样的定义知简单随机抽样与第几次抽样无关，在每一次抽取时被抽到的可能性相等，不能认为先抽可能性大，后抽可能性小．故C正确．故选C．
课堂检测 固双基
1．抽签法确保样本代表性的关键是( )
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
[解析] 若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．故选B．
2．由60个个体组成的总体中，并且编号为00，01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11，12列的18开始，依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，则抽取样本的第5个号码是_______.
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
08
[解析] 由随机数表法可得，抽取样本的号码是18，24，54，38，08，22，23，01.
3．在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N的值为_________.
120
4．某大学要去贫困地区参加支教活动，需要从每班选10名男生，8名女生参加，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加支教活动的同学．
[解析] 第一步，将32名男生从0到31进行编号．
第二步，用相同的小纸片制成32个号签，在每个号签上写上这些编号．
第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，不放回地从中逐个抽出10个号签．
第四步，相应编号的男生参加支教活动．
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加支教活动．第六章 §2 2.1
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表(如下)第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( C )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A．23 B．20
C．04 D．17
[解析] 根据随机数表法的定义，从第 1行的第5列数字开始由左向右选取两个数字43开始，凡不在01～ 33内的跳过并剔除相同的号码，得到17，23，20，24，06，04，则第6个红色球的编号为04.故选C．
2．下列抽样方法是简单随机抽样的是( D )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其质量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中各抽取2人，调查他们对学校某项机构改革的意见
D．从10件产品中随机抽取3件进行质量检验
[解析] 分析每个选项中抽样的特征，A、B选项抽取的个体间的间隔是固定的，不是简单随机抽样；C选项中个体有明显的层次差异，不是简单随机抽样；D选项符合简单随机抽样的特征．故选D．
3．下列抽样试验中，用抽签法方便的有( B )
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
[答案] B
4．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①01，02，03，…，100；②001，002，003，…，100；③00，01，02，…，99.其中正确的序号是( C )
A．①② B．①③
C．②③ D．③
[解析] 根据随机数表的要求，只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．故选C．
5．为了调查高一学生的数学学习状况，从50名高一同学的数学成绩中用抽签法随机抽取5名同学数学成绩为：80分，85分，75分，60分，90分，那么据此可以估计这50名同学的数学平均分约为( B )
A．76 B．78
C．80 D．82
[解析] 由题意可估计这50名同学的数学平均分约为(80＋85＋75＋60＋90)＝78.故选B．
6．从一群做游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( C )
A． B．k＋m－n
C． D．不能估计
[解析] 设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.故选C．
二、填空题
7．一次体育运动会，某代表团有6名代表参加，欲从中抽取一人检查是否服用兴奋剂，抽检人员将6名队员名字编号为1～6号，然后抛掷一枚骰子，朝上的一面是几就抽检几号对应的队员，问这种抽检方式是简单随机抽样吗？_是__(填“是”或“不是”)．
[解析] 抛掷一枚均匀的骰子，各面向上的机会是均等的，故每名队员被抽到的机会相等．
8．为了检验某种产品的质量，决定从1 001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是_四__.
[解析] 由于所编号码的位数要一致，因此所编号码的位数最少是四位．从0000到1000，或者是从0001到1001等．
9．为了调查该市城区某小河流的水体污染状况，就某个指标，某学校甲班每个同学在河流上抽取了50个样本点，乙班的每个同学在河流上抽取了100个样本点，现分别从两个班各选5位同学得到如下数据：
学生序号 1 2 3 4 5
甲班同学的平均数 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6
乙班同学的平均数 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2
据此可以认定_乙__班的同学调查结果能够更好地反映总体，这两个班的同学调查的该项指标约为_120(答案不唯一，只要合理即可)__.
[解析] 由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体，由表可知，该项指标约为120.
三、解答题
10．现有120台机器，试用随机数法抽取10台机器，写出抽样过程．
[解析] 使用随机数(表)法步骤如下：
第一步，先将120台机器编号，可以编为000，001，002，…，119；
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，每次读取三位，凡不在000～119中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，直到取满10个小于120的数为止，说明10个样本号码已取满；
第三步，根据对应的编号，再对应抽出10台机器，这10台机器就是要抽取的对象．
11．某市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通，为保障市民出行安全，还需要从某社区的28名志愿者中随机抽取6人组成志愿者小分队．请用抽签法设计抽样方案．
[解析] 抽样方案如下：
第一步，将28名志愿者编号，号码分别是1，2，…，28.
第二步，将28个号码分别写在形状、大小、材质等均相同的号签上．
第三步，将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步，从容器中连续不放回地抽取6个号签，并记录上面的号码．
所得号码对应的志愿者就是组成志愿者小分队的成员．
B组·素养提升
一、选择题
1．下列调查方式合适的是( A )
A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
[解析] 对于A，不可能普查，采用抽样调查的方式合适；对于B，因调查范围广，工作量大，采用普查的方式不合适；对于C，因调查范围小，采用抽样调查的方式不合适；对于D，因调查范围广，采用普查的方式不合适．故选A．
2．某校为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本量是( C )
A．8 B．400
C．96 D．96名学生的成绩
[解析] 在本题所叙述的问题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，8×12＝96(名)学生的数学成绩是样本，400是总体量，96是样本量．故选C．
3．(多选题)下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本
B．从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查
C．一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
[解析] A中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；B中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；C、D符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样．故选CD．
4．(多选题)关于简单随机抽样，下列说法正确的是( )
A．它要求被抽取样本的总体的个数有限
B．它是从总体中逐个地进行抽取
C．它可以是一种有放回抽样
D．它是一种等可能性抽样
[解析] 简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，A正确；简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，B正确；简单随机抽样是一种不放回抽样，C不正确；简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，D正确．故选ABD．
二、填空题
5．某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：
直径(单位：cm) 12 13 14
频数 12 34 4
估计这50个零件的直径大约为_12.84__cm.
[解析] ＝＝12.84(cm)．
6．一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是 ，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是 .
[解析] 因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为，所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为.
三、解答题
7．欲从某单位45名职工中随机抽取10名职工参加一项社区服务活动，试用随机数表法确定这10名职工．请写出抽样过程．现将随机数表部分摘录如下：
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07
[解析] 先将这45名职工依次编号为01，02，03，…，44，45.
选择一个位置进行读数，比如从所给数表第一行第一列的数字开始向右读，首先取16，然后是22；77，94大于45，继续读数得到39；49，54大于45；继续可以得到43，然后同样跳过大于45及与前面重复的数字可以得到17，37，23，35，20，42.最后确定编号为16，17，20，22，23，35，37，39，42，43的职工是参加社区服务活动的人选．
8．一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．
[解析] 方法一：抽签法：
第一步，将试题的编号1～47分别写在一张纸条上，将纸条揉成团儿制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在一个不透明的袋子中并搅匀．
第二步，从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号，这便是所要回答的问题的序号．
方法二：随机数法：
第一步，将物理题的序号对应改成01，02，…，15，其余两科题的序号不变．
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，每次读取两位，凡不在01～47中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从01～15中选3个号码，从16～35中选3个号码，从36～47中选2个号码．直到取满8个数为止，说明8个样本号码已取满．
第三步，对应以上号码找出所要回答的问题的序号．
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