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第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
课标要求 核心素养
1．了解随机现象、样本点和样本空间的概念．
2．理解随机事件的概念，在实际问题中，能正确地求出事件包含的样本点的个数，并会写出相应的样本空间．
3．理解三种常见的事件，并会简单应用. 结合具体实例，利用所学概念，能写出试验的样本空间，并会简单应用，培养学生数学抽象和数学建模的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 确定性现象、随机现象、样本空间
1．确定性现象和随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下__________的现象，称为确定性现象.
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现_______的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象．
(3)随机现象的两个特点：
①结果至少有_____种；
②事先并不知道会出现_____________.
必然出现
不同
2
哪一种结果
2．样本空间
(1)试验与试验结果：在概率与统计中，把观察____________或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为____________.
(2)样本空间：将试验E的________________组成的集合称为试验E的样本空间，记作______.
(3)样本点：样本空间Ω的________，即试验E的_______________，称为试验E的样本点，记作______.
(4)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是__________，那么称样本空间Ω为有限样本空间．
随机现象
试验结果
所有可能结果
Ω
元素
每种可能结果
ω
有限的
知识点2 三种事件的定义
随机
事件 我们将样本空间Ω的_______称为随机事件，简称事件，并把只包含_______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件 Ω作为自身的子集，包含了_________样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
子集
一个
所有的
关键能力 攻重难
●题型一 随机现象和确定性现象的判断
例1：(1)下列现象中，随机现象的个数为( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列现象中，确定性现象的个数为( )
①三角形内角和为180°；
②三角形中大边对大角，大角对大边；
③三角形中两个内角和小于90°；
④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] (1)当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余2个均为随机现象．故选C．
(2)若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故③不一定成立，所以③为随机现象，而①②④均为确定性现象．故选C．
[归纳提升]
归纳提升：随机现象和确定性现象的判断方法
(1)在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为确定性现象；
(2)在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
〉对点训练1
指出下列现象是确定性现象还是随机现象．
(1)小明在校学生会主席竞选中成功；
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(4)骑车经过十字路口时，信号灯的颜色．
[解析] (1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知的．
(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．
(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．
(4)随机现象．因为信号灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．
●题型二 事件类型的判断
例2：在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．
[分析] 依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生．
[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知．
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件．
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件．
(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件．
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件．
[归纳提升]
归纳提升：
判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
〉对点训练2
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标．
[解析] (1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
●题型三 样本点与样本空间
例3：下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素．
[解析] (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．
[归纳提升]
归纳提升：不重不漏地列举试验的所有样本点的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．
〉对点训练3
做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义；
(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示．
[解析] (1)这个试验的样本空间Ω为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)这个试验的结果的个数为36.
(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
●易错警示 忽视试验结果与顺序的关系而致误
例4：已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数．
[错解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)}．
(2)这个试验的基本事件的总数是6.
[辨析] 题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4，3)，(5，－2)，(5，3)，(6，－2)，(6，3)．
[正解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(－4，3)，(5，－2)，(5，3)，(6，－2)，(6，3)}．
(2)这个试验的基本事件的总数是12.，
课堂检测 固双基
1．下列现象中，确定性现象是( )
A．凸四边形的内角和为360°
B．小明放学在十字路口遇到红灯
C．三角形中两边之和小于第三边
D．方程x2＋a＝0有实数根
[解析] C是不可能现象，BD是随机现象．故选A．
2．一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[解析] 随机试验的所有结果要保证等可能性．两个小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C．
3．在50件泰迪熊毛绒玩具中，有2件次品，从中任取3件泰迪熊毛绒玩具，则下列事件是不可能事件的为( )
A．至少有1件正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．3件都是正品
[解析] 因为50件泰迪熊毛绒玩具中只有2件次品，所以不可能取出3件次品．故选C．
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
[解析] 点落在x轴上所包含的样本点为(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)，共9个．故选C．第七章 §1 1.1 1.2 1.3
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是( D )
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
[解析] 依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可能不发生，它们是随机事件，A，B都不是；因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是．故选D．
2．下列事件中，必然事件是( D )
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
[解析] 一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论．故选D．
3．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字的和大于6”这一事件是( C )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
[解析] 从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和可能等于6，也可能大于6，所以是否大于6需要取出数字才知道，故“这3个数字的和大于6”这一事件是随机事件．故选C．
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的样本点个数是( A )
A．3 B．6
C．10 D．45
[解析] 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，从中选2个不同数之和等于30的有(7，23)，(11，19)，(13，17)，共3种．故选A．
5．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”是确定性现象，则下列也是确定性现象的是( B )
A．出现奇数点 B．出现偶数点
C．点数大于3 D．点数是3的倍数
[解析] 若“出现2点”是确定性现象，由2为偶数，故“出现偶数点”也是确定性现象．故选B．
6．在1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么下列事件是不可能事件的是( C )
A．3个数相邻 B．3个数全是偶数
C．3个数的和小于5 D．3个数两两互质
[解析] 从10个数中任取3个数，这3个数的和大于或等于6，和小于5的情况不可能发生，故事件“这3个数的和小于5”是不可能事件．故选C．
二、填空题
7．连续掷一枚骰子两次，出现事件“向上的点数之和为5”的样本点为_(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)__.
8．从1，2，3，4中任取2个数，样本空间为_{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}__，事件A“恰好一个奇数，一个偶数”用集合表示为_A＝{(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)}__.
9．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为_Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}__，满足“它是偶数”样本点的个数为_5__.
[解析] 样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．
三、解答题
10．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
[解析] 以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．
11．从A，B，C，D，E，F 6名学生中选出4人参加数学竞赛．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)用集合表示事件M：A没被选中．
[解析] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}．
(2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为15.
(3)M＝{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}．
B组·素养提升
一、选择题
1．“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( D )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
[解析] 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．故选D．
2．先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( A )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
[解析] “至少一枚硬币正面向上”包括“1分硬币正面向上，2分硬币正面向下”“1分硬币正面向下，2分硬币正面向上”“1分、2分硬币正面都向上”三个样本点．故选A．
3．(多选题)下列事件中的不可能事件为( )
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．太阳可以从西边升起
C．明年的国庆节是晴天
D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾
[解析] A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故是必然事件；太阳东升西落，故B是不可能事件；明年的国庆节那一天的天气还不确定，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是不会沸腾的，故D是不可能事件．故选BD．
4．(多选题)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点为( )
A．(1，2) B．(2，2)
C．(3，1) D．(3，4)
[解析] (a，b)的情况有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共15种．函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点．故选AD．
二、填空题
5．(1)“某人投篮3次，其中投中4次”是_不可能__事件；
(2)“抛掷一枚硬币，落地时正面朝上”是_随机__事件；
(3)“三角形的内角和为180°”是_必然__事件．
[解析] (1)共投篮3次，不可能投中4次，投中4次是一个不可能事件．(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能，是一个随机事件．(3)三角形的内角和等于180°，是一个必然事件．
6．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，在第k次首次摸出红球，则k的最大值为_16__.
[解析] 摸完黑球和白球需至少15次，则下一次必摸出红球，即k的最大值为16.
7．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)_Ω＝{胜，平，负}__；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数__Ω＝{0，1，2，3，4}__.
三、解答题
8．S＝{x||x＋1|≤3，x∈Z}，则S中：
(1)恰含有两个样本点的事件有多少个？
(2)至少含有三个样本点的事件有多少个？
[解析] (1)Ω＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2}，恰含有两个样本点的事件共7×6÷2＝21(个)．
(2)所有事件一共27个，其中不可能事件1个，基本事件7个，含有两个样本点的事件21个，则至少含有三个样本点的事件有27－1－7－21＝99(个)．
9．现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x(1)共有多少个基本事件？并列举出来；
(2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件．
[解析] (1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)共36个．
(2)抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11的基本事件有15个，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)．
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