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第六章 统计
§4 用样本估计总体的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
课标要求 核心素养
1．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．
2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义. 1．理解分层随机抽样的均值与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的均值与方差，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养．
2．会求频率分布直方图中的p分位数，培养学生数学分析的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 分层随机抽样的均值与方差
(1)概念
(2)应用：求分层随机抽样的均值与方差．
知识点2 百分位数
(1)总体的p分位数的概念：
一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈________，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数_____________它的可能性是p.
(2)四分位数
_____________________分位数是三个常用的百分位数，把总体数据按照___________排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是______，因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．
(0，1)
小于或等于
25%、50%、75%
从小到大
关键能力 攻重难
●题型一 分层随机抽样的均值与方差
例1：甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
[解析] 设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为
设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为
如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为
[归纳提升]
〉对点训练1
已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，经过调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为___________.
118.52
●题型二 百分位数的计算
例2：甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51.
求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数．
[解析] 两组数据都是12个数，而且12×25%＝3，12×75%＝9，12×90%＝10.8，
甲运动员得分的90%分位数为x11＝44.
[归纳提升]
归纳提升：求百分位数的一般步骤
(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn.
(2)计算：求i＝np%的值．
(3)求值：
〉对点训练2
确定数据0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6，6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位数和75%分位数．
[解析] 因为数据已从小到大排列，共有20个．
而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，
i2＝20×75%＝15是整数，
●易错警示 频率分布直方图求百分位数的方法未掌握致错
例3：学期末，某学校对100间学生公寓进行综合评比，考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60，70)为D等级，有15间；分数在[70，80)为C等级，有40间；分数在[80，90)为B等级，有20间；分数在[90，100]为A等级，有25间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的80%分位数是( )
A．90
B．92
C．94
D．95
[错解] C
[正解] B
[点评] 由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2)一般采用方程的思想，设出p分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
课堂检测 固双基
1．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4，9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手本次射击的成绩的75%分位数是( )
A．9.5 B．9.6
C．9.7 D．9.8
[解析] 将12个数从小到大排列：9.0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9.
2．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
则上述数据的50%分位数为___________.
[解析] 把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则10×50%＝5.
44.5
3．(1)有11个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，则该组数据的60%分位数是_____.
(2)有10个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则该组数据的60%分位数是_________.
[解析] (1)数据从小到大排序，这组数据有11个数，因为11×60%＝6.6，所以这组数据的60%分位数是第7个数据，即7.
(2)数据从小到大排序，这组数据有10个数，因为10×60%＝6，
7
6.5
4．为了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170 cm，方差为16，女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均数为______cm，方差为______.
168
25.6第六章 §4 4.2 4.3
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的90%分位数是( C )
A．8 B．9
C．9.5 D．10
[解析] 90%分位数可取为第9个数和第10个数的算术平均值，即＝9.5.故选C．
2．有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A，B两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为( D )
A．18元/千克 B．24元/千克
C．21元/千克 D．22元/千克
[解析] 设A种x千克，则B种2x千克，
∴＝＝22.故选D．
3．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( C )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
[解析] 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C．
4．某高校在2023年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2023届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2023年高考中的平均分和方差分别为( B )
A．661.5，169.5 B．661，187
C．661，175 D．660，180
[解析] 由题意甲的平均值为＝665，方差为s＝131，
乙的平均值是＝658，方差为s＝208，
则总体平均值为＝＋＝661，
方差为s2＝×[131＋(665－661)2]＋×[208＋(658－661)2]＝187.故选B．
5．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( B )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
[解析] 讲座前中位数为>70%，所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%>20%，所以D错．故选B．
6．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)，
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.
若样本数据的90%分位数是173，则x的值为( B )
A．171 B．172
C．173 D．174
[解析] ∵20×90%＝18是整数，
∴90%分位数为＝173.x＝172.故选B．
二、填空题
7．高一(1)班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩(单位：分)分别为：80，68，90，70，88，96，89，98，则该数学成绩的15%和50%分位数分别为_70__88.5__.
[解析] 把数据按照从小到大的顺序排列为：68，70，80，88，89，90，96，98.
因为8×15%＝1.2，所以该数学成绩的15%分位数为70，8×50%＝4，所以该数学成绩的50%分位数为＝88.5.
8．某学校统计教师职称及年龄，其中高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校高级职称教师的平均年龄为_45__岁．
[解析] ＝＝45.
9．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一抽取的样本量为_90__；高一和高二数学竞赛的平均分约为_84.375__.
[解析] ∵＝，
∴高一抽取：160×＝90，
平均分约为＝84.375.
三、解答题
10．计算下表中甲、乙两组数的75%分位数.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
[解析] 因为甲、乙两组数的个数为20，且20×75%＝15.
因此，甲组数的75%分位数为＝9.5，
乙组数的75%分位数为＝12，
所以甲、乙两组数据的75%分位数分别为9.5，12.
11．(1)已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定；
(2)某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差．
[解析] (1)设甲同学的平均分为，方差为s；乙同学的平均分为，方差为s；
＝＝13，
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
＝＝13，
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝.
因为s>s，
所以乙同学的成绩较稳定．
(2)由题意，样本平均数为＝76，
所以样本方差为：[4＋(70－76)2]＋[6＋(80－76)2]＝29.2.
B组·素养提升
一、选择题
1．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为s甲，s乙，则( C )
A．甲<乙，s甲s乙
C．甲>乙，s甲乙，s甲>s乙
[解析] 由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知甲>乙．图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故s甲2．有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( A )
A．6 B．
C．66 D．6.5
[解析] ∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差s2＝＝＝6.故选A．
3．(多选题)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
[答案] CD
4．(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为＝2.7，＝3.1，＝3.3，每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则下列正确的是( )
A．从高二年级抽取30人
B．被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D．估计全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966
[解析] 根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；抽取的高二年级每天的总读书时间为×30＝93，抽取的高一年级每天的总读书时间为×40＝108，高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；被抽取的学生每天的读书时间的平均数为×2.7＋×3.1＋×3.3＝3(小时)，故C正确；被抽取的学生每天的读书时间的方差为：×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[3＋(3.3－3)2]＝1.966，∴估计全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966，故D正确．故选ACD．
二、填空题
5．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二 、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3小时，其中高一学生 、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，则高三学生每天读书时间的平均数3＝ .
[解析] 由＝wii可得3＝×2.6＋×3.2＋3，解得3＝.
6．某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：
等级 三等品 二等品 一等品
重量(克) [5，25) [25，45) [45，55]
(1)这批小龙虾的重量的10%分位数与90%分位数分别是_10，45__.
(2)若该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：则这批小龙虾划分为_二__等品比较合理．
[解析] (1)因为40×10%＝4，所以10%分位数为第4项与第5项的平均数，在[5，15)范围内约为＝10，因为40×90%＝36，所以90%分位数为第36项与第37项的平均数，在[35，55]范围内，约为＝45，所以估计这批小龙虾重量的10%分位数为10，90%分位数为45.
(2)这批小龙虾的重量集中在[10，45]范围内，所以划为二等品比较合理．
三、解答题
7．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(精确到0.1)
[解析] 把甲同学抽取的样本的平均数记为，方差记为s；把乙同学抽取的样本的平均数记为，方差记为s；把合在一起后的样本的平均数记为，方差记为s2.
则＝≈5.4，
s2＝
＝
≈12.4.
即样本的平均数为5.4，方差为12.4.
8．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
[解析] 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝.
则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
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