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第六章 统计
§2 抽样的基本方法
2.2 分层随机抽样
课标要求 核心素养
1．通过案例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性．
2．掌握各层样本量比例分配的方法．
3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 1．理解分层随机抽样的基本思想和适用情形．掌握分层随机抽样的必要性和实施步骤，培养学生数学抽象和数据分析的核心素养．
2．会设计恰当的方法解决简单的应用问题，培养学生数学建模的核心素养.
必备知识 探新知
知识点 分层随机抽样的概念
定义：将总体按其属性特征分成互不交叉的___________(有时称作层)，然后在每个类型中按照___________随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．
【批注】
1．总体是由差异明显的几类个体构成；
2．知道某一类个体在总体中所占的百分比．
若干类型
所占比例
关键能力 攻重难
●题型一 对分层随机抽样概念的理解
例1：(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法 B．随机数
C．简单随机抽样 D．分层随机抽样
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
[分析] 是否适合用分层随机抽样，首先判断总体是否可以“分层”．
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样．故选D．
(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．故选C．
[归纳提升]
归纳提升：
1．使用分层抽样的前提
分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
2．使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比．
〉对点训练1
下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
[解析] A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．故选B．
●题型二 分层随机抽样的应用
例2：一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
[解析] 用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(3)在各层分别按简单随机抽样抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
[归纳提升]
归纳提升：分层随机抽样的步骤
〉对点训练2
某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
[解析] ①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样来抽取样本．
③在各层分别按简单随机抽样抽取样本．
④综合每层抽样，组成容量为200的样本．
●易错警示 忽略抽样的公平性致错
例3：某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个样本量为36的样本，则下列抽样方法适合的是_____.
①简单随机抽样；
②直接运用分层随机抽样；
③先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样．
[错解] ③
②
[点评] 分层随机抽样的一个很重要的特点是每个个体被抽到的机会是相等的．当按照比例计算出的值不是整数时，一般采用四舍五入的方法取值．若四舍五入后得到的样本量与要求的不尽相同，则可根据问题的实际意义适当处理，使之相同，这只是细节性问题，并未改变分层随机抽样的本质．
课堂检测 固双基
1．简单随机抽样，分层抽样之间的共同点是( )
A．都是从总体中逐个抽取
B．将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
C．抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的
D．将总体分成几层，然后分层按照比例抽取
[解析] 只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取，故A错误；只有分层抽样是将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取，故B错误；简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，故C正确；只有分层抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，故D错误．故选C．
2．某市场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
3．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_________.
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
180
4．广东某高中开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
6第六章 §2 2.2
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( D )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层随机抽样
[解析] 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．故选D．
2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( D )
A．7，11，18 B．6，12，18
C．6，13，17 D．7，14，21
[解析] 由题意，老年人、中年人、青年人比例为1∶2∶3.
由分层随机抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42＝7(人)，中年人应抽取的人数为×42＝14(人)，青年人应抽取的人数为×42＝21(人)．故选D．
3．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( A )
A．40 B．30
C．20 D．36
[解析] 由题意可知90×＝40.故选A．
4．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层随机抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( A )
A．20，15，5 B．4，3，1
C．16，12，4 D．8，6，2
[解析] 三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20，40×＝15，40×＝5.故选A．
5．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡8 758人，西乡7 236人，南乡8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡各征集多少人”．在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是( D )
A．112 B．128
C．145 D．167
[解析] 由题意结合分层随机抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为487×＝≈167.故选D．
6．某学校高一、高二、高三共有学生3 500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的抽样比用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取高一学生的人数为( A )
A．8 B．11
C．16 D．10
[解析] 设高一有x人，则高三有2x人，高二有(x＋300)人，
∵高一、高二、高三共有学生3 500人，
∴x＋2x ＋x ＋300＝3 500，∴x＝800.
∵按的抽样比用分层随机抽样的方法抽取样本，
∴抽取高一学生的人数为×800＝8.故选A．
二、填空题
7．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_40__名学生．
[解析] 由题意，C专业有1 200－380－420＝400(人)，所以应抽取的人数为400×＝40.
8．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层随机抽样法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是_10__.
[解析] 从该部门抽取的员工人数是×200＝10.
9．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别 A B C
产品数量/件 1 300
样本量 130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是_800__件．
[解析] 设样本量为x，则×1 300＝130.∴x＝300.
∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．
设C产品的样本量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80.
∴C产品的数量为×80＝800(件)．
三、解答题
10．某学校为了了解2019年高考语文的考试成绩，计划在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中有300名文科考生，600名理科考生，200名艺术类考生，70名体育类考生，30名外语类考生，若要抽出120名考生作为调查分析对象，则按科目应分别抽取多少名考生？
[解析] 从1 200名考生中抽取120名调查，由于各科目的考生人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层随机抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10抽取．
所以300×＝30，600×＝60，200×＝20，70×＝7，30×＝3.
所以抽取的文科考生、理科考生、艺术类考生、体育类考生、外语类考生分别是30名、60名、20名、7名、3名．
11．某校500名学生中，有200人的血型为O型，有125人的血型为A型，有125人的血型为B型，有50人的血型为AB型．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？
[解析] 用分层随机抽样抽取样本．
∵＝，即抽样比为，
∴200×＝8，125×＝5，50×＝2.
故O型血抽取8人，A型血抽取5人，B型血抽取5人，AB型血抽取2人．
B组·素养提升
一、选择题
1．某学校共有师生4 000人，现用分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为( C )
A．100 B．150
C．200 D．250
[解析] 设教师人数为x，由题意知，＝，解得x＝200.故选C．
2．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层随机抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为( D )
A．64 B．96
C．144 D．160
[解析] 60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x人中共抽取30人，每个个体被抽到的概率等于，
∵在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可知128×＝8，解得x＝160.故选D．
3．(多选题)习近平总书记强调：“一个忘记来路的民族是没有出路的民族，一个忘记初心的政党必定是没有未来的政党”．某学校利用学习强国APP安排教职工(共200人)在线学习党史知识．其教职工年龄情况和每周在线学习时长达3小时的情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是( )
A．该学校中年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多
B．该学校老年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多
C．若要从该校的200名教职工中通过分层随机抽样的方法抽取20人，则应该从青年教职工中抽取6人
D．该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的80%
[解析] 由图1得中年教职工占比40%，
所以该校200名教职工中，青年教职工有200×30%＝60人，中年教职工有200×40%＝80人，老年教职工有200×30%＝60人．
由图2可知，教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数中，青年教职工有60×70%＝42人，中年教职工有80×80%＝64人，老年教职工有60×90%＝54人，该学校中年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多，故A项正确，B项错误；根据题意，抽样比为＝，故应该从青年教职工中抽取60×＝6人，故C项正确；该校在线学习党史时长达3小时的人数有42＋64＋54＝160人，占总人数的＝80%，故D项正确．故选ACD．
4．(多选题)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，则( )
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
[解析] 由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．
抽样比例为＝，
因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确．故选ABD．
二、填空题
5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样方法，从该校四个年级本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为1∶2∶3∶4，则应从一年级本科生中抽取_30__名学生．
[解析] 据题意，应从一年级本科生抽取的人数为×300＝30.
6．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁及以上的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，则不到35岁的抽取_9__人，50岁及以上的抽取_6__人．
[解析] 样本量与总体中个体数的比为20∶100＝1∶5，则在不到35岁，35岁到49岁，50岁及以上的抽取人数依次为45×＝9，25×＝5，20－9－5＝6.故不到35岁的抽取9人，50岁及以上的抽取6人．
三、解答题
7．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间 第二车间 第三车间
女工 173 100 y
男工 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
[解析] (1)由＝0.15，得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350(人)，第二车间的工人数是100＋150＝250(人)，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400(人)．
设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20.
∴应在第三车间抽取20名工人．
8．某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2 435 4 567 3 926 1 072
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
[解析] 采用分层随机抽样的方法，抽样比为＝.
持“很喜爱”态度的有2 435人，应抽取2 435×≈12(人)；
持“喜爱”态度的有4 567人，应抽取4 567×≈23(人)；
持“一般”态度的有3 926人，应抽取3 926×≈20(人)；
持“不喜爱”态度的有1 072人，应抽取1 072×≈5(人)．
因此，采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人．
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