第六章 §3 3.1 3.2
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．容量为100的样本数据，分组后的频数如表
分组 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 5 12 20 38 17 8
则样本数据落在区间[80，100]内的频率是( A )
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
[解析] 由题意可得样本数据落在区间[80，100]内的频数为17＋8＝25，则所求频率为＝0.25.故选A．
2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60)内的汽车有( C )
A．30辆 B．40辆
C．60辆 D．80辆
[解析] 因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆)．故选C．
3．某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．
则根据折线图，下列结论错误的是( D )
A．最高气温高于25 ℃的月份有3个
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D．最低气温低于0 ℃的月份有4个
[解析] 在A中，最高气温高于25 ℃的月份有3个，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0 ℃的月份有3个，故D错误．故选D．
4．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2 700，3 000)内的频率为( D )
A．0.001 B．0.01
C．0.003 D．0.3
[解析] 频率＝×组距，组距＝3 000－2 700＝300，＝0.001，∴频率＝0.001×300＝0.3.故选D．
5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( A )
A．200，20 B．100，20
C．200，10 D．100，10
[解析] 该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.故选A．
6．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则估计样本中在[40，50)，[50，60)内的数据共有( B )
A．14个 B．15个
C．16个 D．17个
[解析] ∵样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，∴样本中数据在[20，60)内的频数为30×0.8 ＝24，∴样本中在[40，50)，[50，60)内的数据共有24－4－5＝15(个)．故选B．
二、填空题
7．一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n＝_144__，频率为的乙组的频数x＝_24__.
[解析] 由题意得＝，所以n＝36×4＝144，同理＝，x＝24.
8．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186 cm，最小值为154 cm，根据身高数据绘制频率分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_7__.
[解析] 第一组[153.5，158.5)；第二组[158.5，163.5)；第三组[163.5，168.5)；第四组[168.5，173.5)；第五组[173.5，178.5)；第六组[178.5，183.5)；第七组[183.5，188.5]．所以组数为7.
9．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000)(单位：元)内的应抽取_40__人．
[解析] 月收入在[3 000，4 000)的频率为1－(0.000 10＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05)×1 000＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)．
三、解答题
10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？
[解析] (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，所以样本量＝＝＝150.
(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率约为×100%＝88%.
11．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段(单位：分)：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，然后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率；
(2)补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)．
[解析] (1)根据各小组的频率之和等于1，可得第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
(2)补全直方图如图．
根据题意知，考试得60分及以上的分数在第三、四、五、六小组，频率之和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽取学生的成绩的及格率为75%，据此估计这次考试的及格率为75%.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为( C )
A．16 B．20
C．24 D．36
[解析] 因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.故选C．
2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86)．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( D )
A．12 B．18
C．25 D．90
[解析] 净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.故选D．
3．(多选题)如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图可知下列信息正确的有( )
A．家用电器部所得利润最高
B．服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元
C．副食的销售额为该商场营业额的10%
D．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%
[解析] 由某商场一天营业额的扇形统计图得：对于A，家用电器的销售额最高，但利润不一定最高，故A错误；副食的销售额占该商场营业额的比重为1－40%－30%－20%＝10%，副食的销售额为5 800元，所以服装鞋帽和百货日杂共售出(30%＋20%)×＝29 000(元)，故B，C正确；对于D，该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%，故D正确．故选BCD．
4．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a－b|的值等于( B )
A．h·m B．
C． D．与m，h无关
[解析] 小长方形的高＝，|a－b|＝＝.故选B．
二、填空题
5．如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70， 80)，[80，90)，[90， 100]，则图中x的值是_0.018__.
[解析] 由图可知纵轴表示.故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－ 0.006－0.006＝0.018.
6．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为_48__.
[解析] 前3个小组的频率和为1－0.037 5×5－0.012 5×5＝0.75.又因为前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第2小组的频率为×0.75＝0.25.又知第2小组的频数为12，则＝48，即为所抽样本的人数．
三、解答题
7．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
[解析] (1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.
即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，×1 000＝160(人)．
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
8．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分)如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，，90，95，由于保存不利，其中[80，90)内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图(如图所示)也被墨水覆盖了部分区域．
(1)求成绩在区间[50，60)内的频率及抽样人数；
(2)求成绩在区间[80，90)内的频数，并计算频率分布直方图中区间[80，90)对应的小矩形的高；
(3)试估计全班成绩在82分以下的学生比例．
[解析] (1)易知成绩在区间[50，60)内的频率为0.008×10＝0.08，成绩在区间[50，60)内的频数为2，所以抽样人数为＝25.
(2)成绩在区间[80，90)内的频数为25－21＝4；
频率分布直方图中区间[80，90)对应的小矩形的高为÷10＝0.016.
(3)成绩在82分以下的学生比例为学生成绩不足82分的频率，设相应频率为b，学生成绩在[82，100)内的频率为0.016×(90－82)＋0.008×10＝0.208，则b＝1－0.208＝0.792，由此估计全班成绩在82分以下的学生约占79.2%.
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第六章 统计
§3 用样本估计总体分布
3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
课标要求 核心素养
1．了解频数与频率的关系．
2．掌握频率分布直方图的画法．
3．会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布. 1．结合实例，能用样本估计总体的取值规律，培养学生数据分析的核心素养．
2．会利用频率分布直方图或频率折线图解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 从频数到频率
(1)频数：将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有的个体数目．
(2)频率：频数与总数的比值．
【批注】频数与频率的关系及应用
(1)频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数；
(2)总体容量较小时，频数也可以较客观地反映总体分布；
(3)总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布．
知识点2 频率分布直方图
2．频率分布直方图与频率的关系
频率分布直方图以_______的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小．
组距
频率
组距
频率
频率
面积
3．频率分布直方图的好处
(1)能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别；
(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用____________ _______来表示．
4．画频率分布直方图的步骤
(1)计算_______；
(2)确定_______与_______；
(3)_______；
(4)_______________；
(5)画频率分布直方图．
相应矩形面
积之和
极差
组距
组数
分组
列频率分布表
知识点3 频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的_______开始，用线段依次连接各个矩形的顶端_______，直至右边所加区间的_______，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
中点
中点
中点
关键能力 攻重难
●题型一 频数与频率的关系
例1：(1)某市高三一模考试中某校高三1，2班各有50人参加了考试，考试结束后他们的数学老师对数学成绩做了分析．单从成绩是否及格来看，1班有10人不及格，2班的及格率是90%，则下列说法正确的是( )
A．2班数学成绩及格的有40人
B．1班数学成绩的及格率是90%
C．2班数学成绩的及格率高于1班
D．1班不及格的人数比2班少
(2)已知样本：
7 10 14 8 7 12 11 10 8 10
13 10 8 11 8 9 12 9 13 12
那么这组样本数据落在范围8.5～11.5内的频数为_____，频率为_________.
8
0.4
[解析] (1)由题意，1班有10人不及格，40人及格，及格率是80%，2班有5人不及格，45人及格，及格率是90%.故选C．
(2)样本容量是20，落在8.5～11.5内的数据有2个9，4个10，2个11，共8个数据，所以频数为8，频率是8÷20＝0.4.
[归纳提升]
归纳提升：频率的应用
频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布．
〉对点训练1
某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计,将学生去图书馆的次数分为5组：[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20]，制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为_______.
分组 人数 频率
[0，4) 3
[4，8) 9
[8，12) 9
[12，16) 0.2
[16，20] 0.1
30
●题型二 绘制频率分布直方图
例2：为了检测某种产品的质量，抽取了一个样本量为100的样本，数据的分组如下：
[10.75，10.85)，3；[10.85，10.95)，9；[10.95，11.05)，13；[11.05，11.15)，16；[11.15，11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35，11.45)，7；[11.45，11.55)，4；[11.55，11.65]，2.
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
[分析] 题目要求列出样本的频率分布表、画出频率分布直方图，应注意到已知条件中虽未提供原始数据，但组距、组数及频数都已给出，可由此来列表、画图．
[解析] (1)频率分布表如下：
分组 频数 频率
[10.75，10.85) 3 0.03
[10.85，10.95) 9 0.09
[10.95，11.05) 13 0.13
[11.05，11.15) 16 0.16
[11.15，11.25) 26 0.26
[11.25，11.35) 20 0.20
[11.35，11.45) 7 0.07
[11.45，11.55) 4 0.04
[11.55，11.65] 2 0.02
合计 100 1.00
(2)频率分布直方图如图
[归纳提升]
归纳提升：绘制频率分布直方图应注意的问题
(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.
〉对点训练2
在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
分组 频数 频率
[1.30，1.34) 4
[1.34，1.38) 25
[1.38，1.42) 30
[1.42，1.46) 29
[1.46，1.50) 10
[1.50，1.54] 2
合计 100
[解析] (1)频率分布表如下：
分组 频数 频率
[1.30，1.34) 4 0.04
[1.34，1.38) 25 0.25
[1.38，1.42) 30 0.30
[1.42，1.46) 29 0.29
[1.46，1.50) 10 0.10
[1.50，1.54] 2 0.02
合计 100 1.00
频率分布直方图如图所示．
(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38，1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
●题型三 频率分布直方图的应用
例3：从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100，250)内的户数．
(2)∵数据落在[100，250)内的频率为
(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，
∴所求户数为0.7×100＝70.
[归纳提升]
归纳提升：频率分布直方图的性质
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
(3)样本量＝频数/相应的频率．
〉对点训练3
如图是样本量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，下列说法正确的是( )
A．样本数据落在[6，10)内的频数为64，数据落在[2，10)内的百分比为0.4
B．样本数据落在[6，10)内的频数为16，数据落在[2，10)内的百分比为0.1
C．样本数据落在[10，14)内的频数为18，数据落在[6，14)内的百分比为0.68
D．样本数据落在[14，22]内的频数为48，数据落在[10，18)内的百分比为0.12
●易错警示 误将频率分布直方图中的纵坐标当作频率
例4：中小学生的视力状况受到社会的广泛关注．某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图．从左至右五个小组的频率之比为5∶7∶12∶10∶6，则该市6万名高一学生中视力在[3.95，4.25)内的学生约有多少人？
[辨析] 造成错解的原因是将该频率分布直方图中的纵坐标(频率与组距的比)看成频率．
[正解] 由图可知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，
所以该市6万名高一学生中视力在[3.95，4.25)内的学生约有60 000× 0.125＝7 500(人)．
课堂检测 固双基
1．200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为( )
A．65辆
B．76辆
C．88辆
D．95辆
[解析] 由频率分布直方图可得数据落在[60，80)内的频率是(0.028＋0.010)×10＝0.38，故时速超过60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为200× 0.38＝76(辆)．故选B．
2．甲、乙两个城市2023年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是_____城市(填“甲”或“乙”)．
[解析] 从折线统计图可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大．
甲
3．某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是_________.
0.1
4．如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内的频数为8.
(1)求样本在[15，18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33]内的频数．
[解析] 由样本频率分布直方图可知组距为3.
(3)∵在[12，15)内的小矩形面积为0.06，
∴样本在[12，15)内的频率为0.06，
故样本在[15，33]内的频数为50×(1－0.06)＝47，
又∵在[15，18)内的频数为8，
∴在[18，33]内的频数为47－8＝39.
