第七章 §1 1.4
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有( C )
A．A＝B B．A B
C．A B D．A与B之间没有关系
[解析] 由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A＝{(正，正)}，事件B＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，所以A B．故选C．
2．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( B )
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
[解析] 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．故选B．
3．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
[解析] 由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件．故选C．
4．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( D )
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有白球也有红球
D．取出的3个球不止一个红球
[解析] 从装有3个红球和1个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”．故选D．
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( D )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
[解析] “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选D．
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与至少有一个红球
[解析] 根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab.都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是红球的基本事件为AB，两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件不是互斥事件，故D错误．故选C．
二、填空题
7．某人打靶时连续射击三次，击中靶心分别记为A，B，C，不中分别记为，，，则事件“恰有两次击中靶心”可记为 BC∪AC∪AB .
[解析] 事件“恰有两次击中靶心”说明有两次击中，且有一次未击中．
根据未击中的情形进行分类：
当第一次未击中时，“恰有两次击中靶心”为BC；
当第二次未击中时，“恰有两次击中靶心”为AC；
当第三次未击中时，“恰有两次击中靶心”为AB.
故所求事件BC∪AC∪AB.
8．给出以下三个命题：
(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；
(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；
(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．
其中真命题的个数是_1__.
[解析] 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件，故真命题个数是1.
9．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为_B∪D∪E__.
[解析] 由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.
三、解答题
10．某同学在篮球场上进行了连续3次投篮练习，记Ai＝{第i次投中篮筐}(i＝1，2，3)，试用Ai(i＝1，2，3)表示事件：
(1)Bj＝{连续3次投篮中恰好有j次投中篮筐}(j＝0，1，2，3)；
(2)Ck＝{连续3次投篮中至少有k次投中篮筐}(k ＝0，1，2，3)．
[解析] (1)B0表示“连续3次投篮，均没有投中”，故B0＝123；B1表示“3次投篮恰有1次投中，其他2次均未投中”，故B1＝A123∪1A23∪12A3；B2表示“3次投篮有1次没投中，其他2次都投中”，故B2 ＝A1A23∪A12A3∪1A2A3；B3表示“3次投篮都投中”，故B3＝A1A2A3.
(2)C0表示“连续3次投篮，至少有0次投中”，这是必然事件，故C0＝A1∪1∪A2∪2∪A3∪3；C1表示“连续3次投篮，至少有1次投中”，故C1＝A1∪A2∪A3；C2表示“连续3次投篮，至少有2次投中”，故C2＝A1A2∪A2A3∪A1A3；C3表示“连续3次投篮，3次都投中”，故C3＝A1A2A3.
11．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
B组·素养提升
一、选择题
1．某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是( D )
A．A与B为对立事件 B．B与C为互斥事件
C．C与D为对立事件 D．B与D为互斥事件
[解析] “击中环数大于4”与“击中环数大于0且小于4”不能同时发生，所以为互斥事件．故选D．
2．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为( B )
A．H＋E＋F B．H＋E＋F
C．HE＋HF＋EF D．＋＋
[解析] “恰有一个发生”是指三个事件中只有一个发生，同时另外两个不发生．故选B．
3．(多选题)设A，B，C为三个事件，下列各式意义表述正确的是( )
A．BC表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生
B．＋＋表示事件A，B，C中至少有一个没发生
C．A＋B表示事件A，B至少有一个发生
D．C＋B＋A表示事件A，B，C恰有一个发生
[解析] 根据题意，依次分析选项：
对于A，BC表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生，正确；
对于B，A＋B＋C表示事件A，B，C至少一个发生，则表示事件A，B，C都没有发生，错误；
对于C，A＋B表示事件A，B至少有一个发生，正确；
对于D，C表示事件A，B不发生且事件C发生，B事件A，C不发生且事件B发生，A事件B，C不发生且事件A发生，则C＋B＋A表示事件A，B，C恰有一个发生，D正确．故选ACD．
4．(多选题)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A表示“恰有一件次品”；
事件B表示“至少有两件次品”；
事件C表示“至少有一件次品”；
事件D表示“至多有一件次品”．
则下列说法正确的是( )
A．A∪B＝C B．B∪D是必然事件
C．A∩B＝C D．A∩D＝C
[解析] 事件A∪B表示“至少有一件次品”，即事件C，所以A正确；事件B∪D表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝ ，所以C不正确；事件A∩D表示“恰有一件次品”，即事件A，所以D不正确．故选AB．
二、填空题
5．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有_①④__.
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生．
[解析] 由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件．
6．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是_A，B__，是对立事件的是_A，B__.
[解析] A，B既是互斥事件，也是对立事件．
7．若掷红、蓝两颗骰子，事件A＝“红骰子点数大于3”，事件B＝“蓝骰子点数大于3”，则A∩B＝_{(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}__.(记在点的坐标(x，y)中，x表示红骰子出现的点数，y表示蓝骰子出现的点数)
三、解答题
8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(2)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
[解析] (1)因为R R1，所以事件R1包含事件R；
因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
(2)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
9．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
[解析] 在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ，A∩C＝A，A∩D＝ .
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}，C∩D＝ .
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．
B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．
B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．
C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．
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第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1.4 随机事件的运算
课标要求 核心素养
1．了解随机事件的并、交与互斥的含义．
2．能结合实例进行随机事件的并、交运算. 1．能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养．
2．能根据具体的实例进行事件间的简单运算，培养学生数学运算的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 随机事件的运算
事件的运算 定义 图形表示
交事件 一般地，由事件A与事件B_________所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)
并事件 一般地，由事件A和事件B_____________发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
都发生
至少有一个
知识点2 互斥事件与对立事件
不能同时发生
关键能力 攻重难
●题型一 互斥、对立事件的判定
例1：(1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
[解析] (1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．故选A．
(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．故选D．
[归纳提升]
归纳提升：判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
〉对点训练1
有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
[解析] 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A．
●题型二 事件的运算
例2：在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解析] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6；事件D2包含事件C4,C5,C6；事件F包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件C1,C3,C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}
＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
[归纳提升]
归纳提升：事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
〉对点训练2
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
[解析] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A．
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D．
●题型三 随机事件的表示与含义
例3：设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来．
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生．
[归纳提升]
归纳提升：
清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.
〉对点训练3
[解析] 样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}．
A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，
B＝{(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，2)，(5，4)}，
C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)}，
A∩B＝{(1，2)，(1，4)，(3，2)，(3，4)，(5，2)，(5，4)}，
●易错警示 不能正确区分对立事件和互斥事件致错
例4：进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：
(1)“出现1点”与“出现2点”；
(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；
(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”．
其中是对立事件的组数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[错解] C
[辨析] 错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件．只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件．
[正解] B
[点评] 对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件．忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻．判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.
课堂检测 固双基
1．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．对立事件 D．互斥但不对立事件
[解析] 把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”不可能同时发生，但事件A：“甲得红卡”不发生时，事件B：“乙得红卡”有可能发生，有可能不发生；所以事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是互斥但不对立事件．故选D．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
[答案] B
出现2，
4，6点
出现2，4点
4．从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个不重复的两位数．事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为______________________ ___________________.
{10，20，30，40，50，
32，42，52，54}
