第七章 §4
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由独立事件概率公式计算可得：该生各项均合格的概率为××＝.故选B．
2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，
∴P()＝P()＝.
∴P(A)＝.故选D．
3．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )
A．P1＋P2
B．P1P2
C．1－P1P2
D．1－(1－P1)(1－P2)
[解析] 甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，
则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，
则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P1)(1－P2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1)(1－P2)．故选D．
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.故选B．
5．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P()·P()]·P(A1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－×))×＝.
故选A．
6．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( B )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
[解析] 2个球都是红球的概率为×＝，A错误；2个球中恰有1个红球的概率为×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×＝，B正确；至少有1个红球的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝，C错误；2个球不都是红球的概率为1－×＝，D错误．故选B．
二、填空题
7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P()＝ .
[解析] 因为P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，P()＝.又因为A，B是相互独立事件，所以和也为相互独立事件，所以P()＝P()P()＝×＝.
8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为 .
[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .
[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
三、解答题
10．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别记为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
[解析] 记事件Ai表示“电流能通过Ti”，i＝1，2，3，4，事件A表示“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，事件B表示“电流能在M与N之间通过”．
(1)因为＝123，A1，A2，A3相互独立，
所以P()＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3.
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
所以(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.
(2)B＝A4＋4A1A3＋41A2A3，
P(B)＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(41A2A3)
＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9
＝0.989 1.
11．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：
(1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率；
(2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；
(3)这名学生至少遇到一次红灯的概率．
[解析] (1)设事件A为在途中遇到4次红灯，P(A)＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())4×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×5＝.
(2)设首次停车前经过3个路口为事件B，
则P(B)＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))3×＝.
(3)设至少遇到一次红灯为事件C，
则其对立事件为全遇到绿灯，
所以P(C)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))5＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有1人选择“礼”的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，甲和乙不选择“礼”的概率均是，且相互独立，所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是×＝，所以甲乙两人至少有1人选择“礼”的概率是1－＝.故选D．
2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.故选A．
3．(多选题)掷一枚均匀的硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，则有( )
A．A与B相互独立
B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A与B互斥
D．P(AB)＝
[解析] 对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确；对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故选项B，C不正确；对于选项D，由于A与B相互独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝，所以D正确．故选AD．
4．(多选题)甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数，则( ABD )
A．事件A，B相互独立
B．事件，B相互独立
C．P(AB)＝
D．P(B)＝
[解析] 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立，与B也相互独立，所以P(B)＝P()P(B)＝.故选ABD．
二、填空题
5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为 .
[解析] 设“从甲袋中取白球”为事件A，则P(A)＝＝.设“从乙袋中取白球”为事件B，则P(B)＝＝.取得同色球为AB＋.
P(AB＋)＝P(AB)＋P()
＝P(A)·P(B)＋P()·P()
＝×＋×＝.
6．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是_0.24__，三人中至少有一人达标的概率是_0.96__.
[解析] 三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04，三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.
三、解答题
7．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
[解析] (1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4) ＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前2个球是甲、乙各得1分，后2个球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×(1－0.4) ＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
8．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，p，q(p(1)求p，q的值；
(2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
[解析] (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1( 1－p 1－q ＝，,pq＝，))即eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(1－ p＋q ＋pq＝，,pq＝，))则p＋q＝.
又p(2)由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率P1＝××eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＋×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))××＝，
所以甲得4分或6分的概率P＝＋＝.
故乙得4分或6分的概率为，
因为>，所以甲获得最终胜利的可能性大．
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第七章 概率
§4 事件的独立性
课标要求 核心素养
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．
2．结合古典概型，利用独立性计算概率. 1．会计算相互独立事件的概率，培养学生数学运算的核心素养．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养学生数据分析和数学建模的核心素养.
必备知识 探新知
知识点 相互独立事件的概念和性质
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的_______没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件
计算公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)
性质 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．即当事件A，B相互独立时，则事件______与事件______相互独立，事件______与事件______相互独立，事件______与事件______相互独立
概率
A
B
【批注】互斥事件与相互独立事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
关键能力 攻重难
●题型一 相互独立事件的判断
例1：从一副扑克牌(52张，除去大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A．
[归纳提升]
归纳提升：两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
〉对点训练1
现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件A表示“第一次取出的球的数字是3”，事件B表示“第二次取出的球的数字是2”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是7”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是6”，则( )
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．C与D相互独立
●题型二 相互独立事件同时发生的概率
例2：根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
[分析] 根据相互独立事件的概率公式求解．
[归纳提升]
归纳提升：
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件是相互独立的；
(2)其次确定各事件会同时发生；
(3)最后求每个事件发生的概率后再求其积．
〉对点训练2
(1)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是( )
A．0.42 B．0.49
C．0.7 D．0.91
●题型三 相互独立事件的综合应用
例3：小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[归纳提升]
归纳提升：与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B；
(2)A，B都发生为事件AB；
它们之间的概率关系如表所示：
〉对点训练3
(1)若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．
[解析] 设Ai(i＝1，2，3，4，5)表示甲队在第i场比赛获胜，
课堂检测 固双基
1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
3．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
[解析] 至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.
0.98
4．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论事件A与B的相互独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解析] (1)家庭中有两个小孩，小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
此时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}．
由此知P(AB)≠P(A)P(B)，
故事件A，B不相互独立．
(2)家庭中有三个小孩，小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
