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第七章 概率
§2 古典概型
课标要求 核心素养
1．古典概型的计算方法．
2．运用古典概型计算概率．
3．在实际问题中建立古典概型模型．
4．能够利用互斥事件的概率公式，对立事件的概率公式求解概率问题. 1．明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题．
2．注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少)．
3．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率，体验正难则反的思想.
必备知识 探新知
知识点1 随机事件的概率
对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的_________的大小，这个数就称为随机事件A的概率．概率度量了随机事件发生的_______________，是对随机事件统计规律性的_______刻画．
【批注】随机事件的特点
(1)一个事件可能是一个样本点，也可能是多个样本点；
(2)不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1.
可能性
可能性的大小
数量
知识点2 古典概型
(1)定义：若试验E具有如下特征：
①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数_______，即样本空间Ω为_______________；
②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性_______.
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
有限
有限样本空间
相等
知识点3 互斥事件的概率加法公式
(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝______________.特别地，P(A)＝____________.
(2)一般地，如果事件A1,A2,…,An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪… ∪An)＝_____________________________.
P(A)＋P(B)
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
关键能力 攻重难
●题型一 古典概型的判断
例1：下列试验是古典概型的是_________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
[分析] 紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.
①②④
[解析] ①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
[归纳提升]
归纳提升：
判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性．
〉对点训练1
下列是古典概型的是( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是．故选C．
●题型二 古典概型的概率计算
例2: 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率．
[分析] (1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解．
(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件．
[解析] (1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，
[归纳提升]
归纳提升：
1．对于古典概型，任何事件A的概率为：
2．求古典概型概率的步骤为：
(1)判断是否为古典概型；
(2)算出基本事件的总数n；
(3)算出事件A中包含的基本事件个数m；
在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可．
〉对点训练2
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本空间是：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本空间：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：
[归纳提升]
归纳提升：
(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义．
〉对点训练3
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
[解析] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
●题型四 概率与统计的综合问题
例4：20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)根据频率分布直方图估计20名学生数学成绩的中位数(保留一位小数)和平均值(每组用组中值估计)；
(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．
[解析] (1)根据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由题图知，成绩在[50，60)中的频率为2×0.005×10＝0.1；
成绩在[60，70)中的频率为3×0.005×10＝0.15；
成绩在[70，80)中的频率为7×0.005×10＝0.35；
成绩在[80，90)中的频率为6×0.005×10＝0.3；
成绩在[90，100)中的频率为2×0.005×10＝0.1；
中位数将频率直方图分成1∶1两部分，设中位数为x，由0.1＋0.15<0.5，0.1＋0.15＋0.35>0.5，则x∈[70，80)，
平均数为0.1×55＋0.15×65＋0.35×75＋0.3×85＋0.1×95＝76.5.
(3)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，
成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.记成绩落在[50，60)中的2人为A，B，成绩落在[60，70)中的3人为C，D，E，
[归纳提升]
归纳提升：解决古典概型有关问题的方法
解决古典概型有关问题时，把相关的知识转化为事件，列举样本点，求出样本点和样本空间，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
〉对点训练4
(2023·北京卷节选)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋
第21天到第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明)
[解析] (1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个＋，也就是有16天是上涨的，
(2)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，
因此估计第41次不变的概率最大．
●易错警示 对有序与无序判断不准而致错
例5：甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题．求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．
[辨析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20.
[点评] 在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．
课堂检测 固双基
1．下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
[解析] 根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率不一定相等．故只有B项是古典概型．故选B．
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
4．甲、乙、丙三人玩传球游戏，开始由甲发球，传球三次后，球又回到甲手中的概率是______.第七章 §2
素养作业 提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．下列关于古典概型的说法正确的是( D )
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.
A．②④ B．②③④
C．①②④ D．①③④
[解析] 由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知P(A)＝，故④正确．故选D．
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B．
3．同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 同时掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：(正，正)，则两枚硬币均为正面向上的概率P＝.故选A．
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的两种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的两种花种在另一个花坛中，所有不同的种法有(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种方法，其中，红色和紫色的花不在同一花坛的种法有(红，黄)，(红，白)，(黄，紫)，(白，紫)4种方法，所以所求的概率为＝.故选C．
5．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从八个面中随机选取两个面，则这两个面不相邻的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 结合题意，每个面相邻的面有3个，不相邻的面有4个，故随机取2个面，不相邻的概率为：＝.故选C．
6．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段构成一个三角形的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 从长度分别是1，3，5，7的四条线段中任取三条，所得基本事件有(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)共4个，所取出的三条线段能构成一个三角形的基本事件有(3，5，7)，∴所求概率为.故选A．
二、填空题
7．有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信投入1号或2号信箱的概率是 .
[解析] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3个样本点．投入1号或2号信箱有2个样本点，故A信投入1号或2号信箱的概率为.
8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 .
[解析] 设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为.
9．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
[解析] 方法一：设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.
方法二：同方法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝.
三、解答题
10．甲、乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．
(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．
[解析] (1)由题图可得，甲组同学答对题目的个数分别为：8，9，11，12，
∴甲＝＝10，
s＝×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝.
(2)由题图可得，乙组同学答对题目的个数分别为：8，8，9，11.分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，设“这两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，以(x，y)记录甲、乙两组同学答对题目的个数，基本事件有：(8，8)，(8，8)，(8，9)，(8，11)，(9，8)，(9，8)，(9，9)，(9，11)，(11，8)，(11，8)，(11，9)，(11，11)，(12，8)，(12，8)，(12，9)，(12，11)，共16个．
事件A包含的基本事件有：(9，11)，(11，9)，(12，8)，(12，8)，共4个．故P(A)＝＝.
11．已知围棋盒子中有多枚黑子和多枚白子，从中取出2枚都是黑子的概率是，从中取出2枚都是白子的概率是.现从中任意取出2枚，恰好是同一色的概率是多少？
[解析] 设事件A＝“从中取出2枚都是黑子”，事件B＝“从中取出2枚都是白子”，事件C＝“任意取出2枚恰好是同一色”，则C＝A∪B，事件A与B互斥．
则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即任意取出2枚恰好是同一色的概率是.
B组·素养提升
一、选择题
1．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)内的概率是( B )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
[解析] 利用对立事件的概率公式可得
P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38.故选B．
2．(多选题)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是( )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1∪A2)≤0.5
[解析] 三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件．故选ABC．
3．(多选题)甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，则( )
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 91 86 88 92 93
乙 87 85 86 99 9x
A．甲的平均成绩为91分
B．从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是
C．当x＝3时，甲、乙两人的平均成绩相等
D．乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是
[解析] 甲的平均成绩为＝90(分)，故A错误；从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间Ω＝{(91，86)，(91，88)，(91，92)，(91，93)，(86，88)，(86，92)，(86，93)，(88，92)，(88，93)，(92，93)}，共10个样本点，其中均大于甲的平均成绩的样本点有3个，为(91，92)，(91，93)，(92，93)，故所求概率为，故B正确；由于甲的平均成绩为90分，当x＝3时，则乙的平均成绩为＝90(分)，此时甲、乙两人的平均成绩相等，故C正确；乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能，可知当x＝3时，甲、乙两人的平均成绩相等，所以当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是，故D正确．故选BCD．
4．A，B，C三人同时参加一场活动，活动前A，B，C三人都把手机放在了A的包里．活动结束后B，C两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 设A，B，C三人的手机分别为A′，B′，C′，则B，C两人拿到的手机的可能情况为(B－A′，C－B′)，(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，(B－B′，C－C′)，(B－C′，C－A′)，(B－C′，C－B′)，共6种．这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，共2种．故所求概率为＝.故选B．
二、填空题
5．事件A，B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为，则P()＝ .
[解析] ∵事件A，B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为，∴1－P(A)－P(B)＝1－2P(B)－P(B)＝，解得P(B)＝，∴P(A)＝2P(B)＝，
∴P()＝1－P(A)＝1－＝.
6．下列概率模型中，是古典概型的有_②__(只填序号)．
①从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
[解析] 根据古典概型的定义判断，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”和“反面朝上”出现的可能性不相等，因此不是古典概型，故选②.
7．一个袋子中装有四个完全相同的小球，分别在小球上标记1，2，3，4四个数字，现有放回地随机抽取两次，每次取一个小球，若取出的小球的号码分别为x，y，则满足xy>4的概率为 .
[解析] 由题知，所有可能的结果有4×4＝16种，其中满足条件xy>4的情况有(2，3)，(2，4)，(3，4)，(3，3)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共8种．所以所求概率为.
三、解答题
8．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？
[解析] (1)记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D．这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥．
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P()，则
P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以，他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
9．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
[解析] (1)抽样比为＝，所以应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，所以事件A发生的概率P(A)＝＝.
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