人教新课标A版选修2-3数学1.3二项式定理同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-3数学1.3二项式定理同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 305.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 09:52:26 | ||
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文档简介
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1.3二项式定理同步检测
一、选择题
1. 二项式展开式中的常数项是（ ）
A．180 B．90 C．45 D．360
答案：A
解析：解答：二项式展开式的通项为令得所以二项式展开式中的常数项是故选A．
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.
2. 二项式的展开式中的系数是（ ）
A．84 B．-84 C．126 D．-126
答案：B
解析：解答：由于二项式的通项公式为
令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x3的系数是 （ 1）3 ,
故答案为B．
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
3. 设，则（ ）
A．﹣2014 B．2014 C．﹣2015 D．2015
答案：D
解析：解答：由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.
4. (n∈N＋)的展开式中含有常数项为第( )项
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
解析：解答：由二项展开式公式：，当，即时,为常数项,所以常数项为第5项.故选B
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.
5. 若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A B. C. D.
答案：B
解析：解答：因为，
所以，故选择B.
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.
6. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
答案：B
解析：解答：由二项式定理知，二项式的展开式通项为：
，令，得，则的项的系数为：.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.
7. 展开式中不含项的系数的和为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：B
解析：解答：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.
8. 除以100的余数是( )
A．1 B．79 C．21 D．81
答案：C
解析：解答：
=
=4，即除以100的余数为21.
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.
9. S＝＋＋…＋除以9的余数为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案：B
解析：解答：依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9(×98－×97＋…＋)－2.∵×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.
10. 二项式展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
答案：C
解析：解答：根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.
11. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：由题意可得，成等差数列，∴，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中 项的系数为 ，故选：A．
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.
12. 将二项式的展开式按的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开
式中的指数是整数的项共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：A
解析：解答：展开式的通项为
∴前三项的系数分别是，
∵前三项系数成等差数列
∴
∴
∴当时，
∴，展开式中的指数是整数，故共有3个，答案为A.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.
13. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：C
解析：解答：展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可.
14. 展开式中的系数为10，则实数a等于（ ）
A.-1 B. C.1 D.2
答案：D
解析：解答：二项式的展开式的通项，当时，，系数，解得，答案选D.
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.
15. 在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：C
解析：解答：因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.
二、填空题
16. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则 ＝ .
答案：4
解析：解答：由题设知：，解得：，所以答案应填：4.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
17. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．
答案：40
解析：解答：由题意， ，解得：
所以的展开式中常数项为：
所以答案应填：40.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.
18. 的展开式中一次项的系数为,则的系数为
答案：39
解析：解答：由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.
19. 已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是
答案：
解析：解答：∵的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与 有四个交点
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∵，两函数图象有四个交点，必有 解得，故填：．
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.
20. 对任意实数，有，
则的值为 .
答案：8
解析：解答：
，所以.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开
三、解答题
21. 求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.
答案：解：，所以二项式系数为，系数为.
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.
22. 在二项式的展开式中
（1）求展开式中含项的系数；
答案：解：展开式第项：
令，解得，
∴展开式中含项的系数为
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
答案：解：∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数
∴
故或 解得或
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第项和第项的二项式系数相等，表示出一个关于的方程，解方程即可．
23. 已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
答案：解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴22n－2n＝992，n＝5
∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝()3(3x2)2＝90x6，T4＝()2(3x2)3＝270
(2)展开式中系数最大的项．
答案：解：设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝()5－r(3x2)r＝3r，
∴?≤r≤，∴r＝4，
即展开式中第5项系数最大，T5＝()(3x2)4＝405.
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.
24. 已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ ＋anxn．
（1）求n的值；
答案：解：由已知得：
，由于,n=15
（2）求a1＋a2＋a3＋ ＋an的值
答案：解：当x=1时， +
当x=0时，
……+
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求a1＋a2＋a3＋ ＋an，所以首先令x=1,得 +；然后就只要求出的值来即可，因此需令x=0，得=1，从而得结果
25. 已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为.
（1）求的值；
答案：解：由题意，，则，由通项公式，则，所以，所以
（2）求展开式中含项的系数.
答案：解：
，所以展开式中含项的系数为．
答案：（1），；（2）.
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得，其次利用二项展开式的通项公式中令，易求得；（2）在前小题已求得的的基础上，要求展开式中求特定项（含项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.
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1.3二项式定理同步检测
一、选择题
1. 二项式展开式中的常数项是（ ）
A．180 B．90 C．45 D．360
答案：A
解析：解答：二项式展开式的通项为令得所以二项式展开式中的常数项是故选A．
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.
2. 二项式的展开式中的系数是（ ）
A．84 B．-84 C．126 D．-126
答案：B
解析：解答：由于二项式的通项公式为
令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x3的系数是 （ 1）3 ,
故答案为B．
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
3. 设，则（ ）
A．﹣2014 B．2014 C．﹣2015 D．2015
答案：D
解析：解答：由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.
4. (n∈N＋)的展开式中含有常数项为第( )项
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
解析：解答：由二项展开式公式：，当，即时,为常数项,所以常数项为第5项.故选B
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.
5. 若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A B. C. D.
答案：B
解析：解答：因为，
所以，故选择B.
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.
6. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
答案：B
解析：解答：由二项式定理知，二项式的展开式通项为：
，令，得，则的项的系数为：.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.
7. 展开式中不含项的系数的和为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：B
解析：解答：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.
8. 除以100的余数是( )
A．1 B．79 C．21 D．81
答案：C
解析：解答：
=
=4，即除以100的余数为21.
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.
9. S＝＋＋…＋除以9的余数为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案：B
解析：解答：依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9(×98－×97＋…＋)－2.∵×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.
10. 二项式展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
答案：C
解析：解答：根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.
11. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：由题意可得，成等差数列，∴，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中 项的系数为 ，故选：A．
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.
12. 将二项式的展开式按的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开
式中的指数是整数的项共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：A
解析：解答：展开式的通项为
∴前三项的系数分别是，
∵前三项系数成等差数列
∴
∴
∴当时，
∴，展开式中的指数是整数，故共有3个，答案为A.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.
13. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：C
解析：解答：展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可.
14. 展开式中的系数为10，则实数a等于（ ）
A.-1 B. C.1 D.2
答案：D
解析：解答：二项式的展开式的通项，当时，，系数，解得，答案选D.
分析：本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.
15. 在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：C
解析：解答：因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.
二、填空题
16. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则 ＝ .
答案：4
解析：解答：由题设知：，解得：，所以答案应填：4.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
17. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．
答案：40
解析：解答：由题意， ，解得：
所以的展开式中常数项为：
所以答案应填：40.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.
18. 的展开式中一次项的系数为,则的系数为
答案：39
解析：解答：由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.
19. 已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是
答案：
解析：解答：∵的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与 有四个交点
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∵，两函数图象有四个交点，必有 解得，故填：．
分析：本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.
20. 对任意实数，有，
则的值为 .
答案：8
解析：解答：
，所以.
分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开
三、解答题
21. 求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.
答案：解：，所以二项式系数为，系数为.
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.
22. 在二项式的展开式中
（1）求展开式中含项的系数；
答案：解：展开式第项：
令，解得，
∴展开式中含项的系数为
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
答案：解：∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数
∴
故或 解得或
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第项和第项的二项式系数相等，表示出一个关于的方程，解方程即可．
23. 已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
答案：解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴22n－2n＝992，n＝5
∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝()3(3x2)2＝90x6，T4＝()2(3x2)3＝270
(2)展开式中系数最大的项．
答案：解：设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝()5－r(3x2)r＝3r，
∴?≤r≤，∴r＝4，
即展开式中第5项系数最大，T5＝()(3x2)4＝405.
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.
24. 已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ ＋anxn．
（1）求n的值；
答案：解：由已知得：
，由于,n=15
（2）求a1＋a2＋a3＋ ＋an的值
答案：解：当x=1时， +
当x=0时，
……+
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求a1＋a2＋a3＋ ＋an，所以首先令x=1,得 +；然后就只要求出的值来即可，因此需令x=0，得=1，从而得结果
25. 已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为.
（1）求的值；
答案：解：由题意，，则，由通项公式，则，所以，所以
（2）求展开式中含项的系数.
答案：解：
，所以展开式中含项的系数为．
答案：（1），；（2）.
解析：分析：本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得，其次利用二项展开式的通项公式中令，易求得；（2）在前小题已求得的的基础上，要求展开式中求特定项（含项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.
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