人教新课标A版选修2-3数学2.3离散型随机变量的均值与方差同步检测
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| 名称 | 人教新课标A版选修2-3数学2.3离散型随机变量的均值与方差同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 426.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 10:17:41 | ||
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文档简介
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2.3离散型随机变量的均值与方差同步检测
一、选择题
1. 甲、乙两位射击运动员，甲击中环数X1～B(10，0.9)，乙击中环数X2＝2Y＋1，其中Y～B(5，0.8)，那么下列关于甲、乙两运动员平均击中环数的说法正确的是( )
A．甲平均击中的环数比乙平均击中的环数多
B．乙平均击中的环数比甲平均击中的环数多
C．甲、乙两人平均击中的环数相等
D．仅依据上述数据，无法判断谁击中的环数多
答案：C
解析：解答：因为E(X1)＝10×0.9＝9，E(X2)＝2E(Y)＋1＝2×5×0.8＋1＝9，所以E(X1)＝E(X2)，故甲、乙两人平均击中的环数相等．
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据离散型随机变量的期望与方差的性质定义进行具体分析.
2. 10件产品，其中3件是次品，任取两件，若表示取到次品的个数，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
答案：A
解析：解答：由题意，知ξ取0，1，2，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
那么,选A
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据离散型随机变量的期望与方差公式进行计算即可.
3. 已知随机变量X～B(n，0.8)，D(X)=1.6，则n的值是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案：B
解析：解答：由,故选B.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给随机变量的方差进行计算即可.
4. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
则E(6X＋8)＝( )
A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2
答案：B
解析：解答：由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给分布列结合均值公式计算即可.
5. 现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A.6 B.7.8 C.9 D.12
答案：B
解析：解答：P(ξ＝6)＝，P(ξ＝9)＝，
P(ξ＝12)＝，则E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是所给事件满足性质求得对应事件的概率，然后利用均值公式计算即可.
6. ．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解答：由题意知X可能的取值为0,1,2,3
故有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给问题求得对应事件的概率然后利用期望公式计算即可.
7. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
解析：解答：由题意知的所有可能取值为，
，，，
，故答案为A.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据古典概型计算所给事件的概率然后计算期望即可.
8. 数据x1，x2，…，xn平均数为6，标准差为2，则数据2x1-6，2x2-6，…，2xn-6的平均数与方差分别为（ ）.
A.6，16 B.12，8 C.6，8 D.12，16
答案：A
解析：解答：由题可知，则
，故选A.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据关于均值与方差的两个公式：
9. 设X为随机变量，X～B ，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：由二项分布X～B 的数学期望E(X)=,知，得，即X～B ，那么
P(X＝2)=.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给期望求得n值，然后利用独立重复试验公式计算即可.
10. 某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给频率分布直方图求得所给事件的分布列，然后计算期望即可.
11. 为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：
月份 1 2 3 4 5 6 7
价格(元/担) 68 78 67 71 72 70
则前七个月该产品的市场收购价格的方差为
A. B. C．11 D.
答案：B
解析：解答：设第七个月该产品的市场收购价格为x，要使最小，所以。前七个月该产品的市场收购价格的平均数为，前七个月该产品的市场收购价格的方差为，故B正确.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给数据计算出事件对应的平均数，然后计算对应的方差即可.
12. 以每束1．6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布：
200 300 400 500
0．20 0．35 0．30 0．15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）
A．706元 B．690元 C．754元 D．720元
答案：A
解析：解答：由分布列可以得到EX=200×0．2+300×0．35+400×0．3+500×0．15=340，
∴利润是（340×5+160×1．6）-500×2．5=706．
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件的分布列求得期望，然后利用对应的利润函数计算即可.
13. 已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：设则由
则
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件的期望求得X=1时的概率，然后计算方差即可.
14. 已知随机变量的分布列是其中，则（ ）
－1 0 2
P
A、 B、 C、0 D、1
答案：D
解析：解答：由随机变量的分布列的性质，得，即，联立，得，解得或（舍），则；则.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据分布列性质结合三角函数公式计算正弦值，然后求得期望.
15. 若离散型随机变量的分布列如下：
0 1
0.4
则的方差( )
A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．1
答案：C
解析：解答：根据题意，利用b+0.4=1,b=0.6,根据题意可知，x的期望值为0.4，
方差为0.5[（0-0.4）+(1-0.4)]=0.24,故可知答案为C.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据分布列性质求得b值，然后计算方差即可.
二、选择题
16. 有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)＞D(X2)，则自动包装机________的质量好．
答案：乙
解析：解答：期望值相等的前提下，方差越小，稳定性越好，质量也越好
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据离散型随机变量的期望与方差的实际意义进行分析即可.
17. 设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为________．
答案：10
解析：解答：设查得的次品数为随机变量X，
由题意得X～B，所以E(X)＝150×＝10.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据二项分布期望公式计算即可.
18. 有一种游戏规则如下：口袋里共装有4个红球和4个黄球，一次摸出4个，若颜色都相同，则得100分；若有3个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分. 小张摸一次得分的期望是_____ .
答案：
解析：解答：小张摸一次得分的情况有100,50,0三种情况，当得分为100分时，概率为，当得分为50分时，概率为,所以期望为
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件求得对应概率，运用期望公式计算即可.
19. 某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为，则随机变量的数学期望为 .
答案：
解析：解答：依题意知的取值为：1,3,4,6. 从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，总的方法数为=12，其中=1时，可能情况有（1,2）（2,3）（3,4）（2,1）（3,2）（4,3）；=3时，可能情况有（1,4）(1，4)；=4时，可能情况有（1,3）(3，1)；=6时，可能情况有，（2,4）(4，2)，所以，随机变量的数学期望为×1+×3+×4+×6=.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件求得对应的事件的概率，然后运用期望公式计算即可.
20. 将编号为1到4的4个小球放入编号为1到4的4个盒子，每个盒子放1个球，记随机变量为小球编号与盒子编号不一致的数目，则的数学期望是
答案：3
解析：解答：首先将四个小球随意放置有种放法。
依题意可得，，其中
表示四个小球编号与盒子编号都一致，则只有1种放法，所以
表示有两个小球编号与盒子编号不一致。从四个小球中任2个，放入对应的盒子中，有 种，剩下的2个小球有1种放法，所以
表示有三个小球编号与盒子编号不一致，即有一个小球编号与盒子编号一致。从四个小球中任一个，放入对应的盒子中，有种，剩下的3个小球有2种放法，所以有
种放法，所以
表示小球编号与盒子编号都不一致。先放1号球，有3种放法；再放装1号球的盒子对应号码的小球，也有3种放法；然后剩下的两个小球各有一种放法，所以有3×3×1×1=9种放法，所以
所以
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件首先求得不同方法的事件的概率值，然后运用期望公式计算即可.
三、解答题
21. 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（1）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
P
（2）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）
答案：
解析：分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是首先根据所给事件求得其分布列，然后根据期望公式计算期望即可.
22. 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各 有六位同学选择科目甲或科 目乙，情况如下表：
科目甲 科目乙 总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小 组中各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
答案：设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件，
“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件.由于事 件、相互独立，
且, .
所以选出的4人均选科目乙的概率为
（2）设为选出的4个人中选科目甲的人数，求的分布列和数学期望．
答案：设可能的取值为0,1,2,3.得
, ,，
，
的分布列为
∴的数学期望
解析：分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是(1)根据相互独立事件概率公式计算事件A,B对应的概率即可；(2)首先根据所求事件求得所以的分布列，然后求其期望即可.
23. 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
答案：由题意可知，样本容量，，
．
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
答案：由题意可知，分数在内的学生有5人，分数在内的学生有2人，共7人．抽取的3名学生中得分在的人数的可能取值为1，2，3，则
，，．
所以的分布列为：
1 2 3
所以．
解析： 分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是（1）直接由样本容量的定义和频率分布直方图即可求出结果；（2）根据题意首先判断各分数段学生的人数，进而判断随机变量的所有可能取值，然后应用古典概型的计算公式分别求出其概率，最后列表并由数学期望的定义求出其数学期望即可．
24. 为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为。
（1）求该小组中女生的人数；
答案：设该小组中有n个女生，由题意得
解得或（舍去），以该小组中有6个女生；
（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
答案：由题意，的取值为0,1,2,3；
所以的分布列为
0 1 2 3
P
解析： 分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是（1）通过条件“恰为一男一女的概率为”列等量关系，设该小组中有n个女生，由题意得解得或（舍去），所以该小组中有6个女生，（2）先确定随机变量取值范围：0,1,2,3；再分别求出对应概率：
最后根据数学期望对应求数学期望
25. 某工厂生产A，B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70,76） [76,82） [82,88） [88,94） [94,100）
玩具A 8 12 40 32 8
玩具B 7 18 40 29 6
（1）试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率；
答案：玩具A为正品的概率约为．
玩具B为正品的概率约为．
（2）生产一件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，
（i）记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率．
答案：解：（ⅰ）随机变量的所有取值为．
； ；
； ．
所以，随机变量的分布列为:
．
（ⅱ）设生产的5件玩具B中正品有件，则次品有件．
依题意，得 ， 解得 ．
所以 ，或．
设“生产5件玩具B所获得的利润不少于140元”为事件，
则 ．
解析：分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是（1）利用频率估计概率；（2）写出随机变量的所有可能取值，分别求出各自概率，列表得到分布列，利用公式求其期望；利用二项分布是概率公式进行求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.3离散型随机变量的均值与方差同步检测
一、选择题
1. 甲、乙两位射击运动员，甲击中环数X1～B(10，0.9)，乙击中环数X2＝2Y＋1，其中Y～B(5，0.8)，那么下列关于甲、乙两运动员平均击中环数的说法正确的是( )
A．甲平均击中的环数比乙平均击中的环数多
B．乙平均击中的环数比甲平均击中的环数多
C．甲、乙两人平均击中的环数相等
D．仅依据上述数据，无法判断谁击中的环数多
答案：C
解析：解答：因为E(X1)＝10×0.9＝9，E(X2)＝2E(Y)＋1＝2×5×0.8＋1＝9，所以E(X1)＝E(X2)，故甲、乙两人平均击中的环数相等．
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据离散型随机变量的期望与方差的性质定义进行具体分析.
2. 10件产品，其中3件是次品，任取两件，若表示取到次品的个数，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
答案：A
解析：解答：由题意，知ξ取0，1，2，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
那么,选A
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据离散型随机变量的期望与方差公式进行计算即可.
3. 已知随机变量X～B(n，0.8)，D(X)=1.6，则n的值是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案：B
解析：解答：由,故选B.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给随机变量的方差进行计算即可.
4. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
则E(6X＋8)＝( )
A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2
答案：B
解析：解答：由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给分布列结合均值公式计算即可.
5. 现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A.6 B.7.8 C.9 D.12
答案：B
解析：解答：P(ξ＝6)＝，P(ξ＝9)＝，
P(ξ＝12)＝，则E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是所给事件满足性质求得对应事件的概率，然后利用均值公式计算即可.
6. ．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解答：由题意知X可能的取值为0,1,2,3
故有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给问题求得对应事件的概率然后利用期望公式计算即可.
7. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
解析：解答：由题意知的所有可能取值为，
，，，
，故答案为A.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据古典概型计算所给事件的概率然后计算期望即可.
8. 数据x1，x2，…，xn平均数为6，标准差为2，则数据2x1-6，2x2-6，…，2xn-6的平均数与方差分别为（ ）.
A.6，16 B.12，8 C.6，8 D.12，16
答案：A
解析：解答：由题可知，则
，故选A.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据关于均值与方差的两个公式：
9. 设X为随机变量，X～B ，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：由二项分布X～B 的数学期望E(X)=,知，得，即X～B ，那么
P(X＝2)=.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给期望求得n值，然后利用独立重复试验公式计算即可.
10. 某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给频率分布直方图求得所给事件的分布列，然后计算期望即可.
11. 为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：
月份 1 2 3 4 5 6 7
价格(元/担) 68 78 67 71 72 70
则前七个月该产品的市场收购价格的方差为
A. B. C．11 D.
答案：B
解析：解答：设第七个月该产品的市场收购价格为x，要使最小，所以。前七个月该产品的市场收购价格的平均数为，前七个月该产品的市场收购价格的方差为，故B正确.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给数据计算出事件对应的平均数，然后计算对应的方差即可.
12. 以每束1．6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布：
200 300 400 500
0．20 0．35 0．30 0．15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）
A．706元 B．690元 C．754元 D．720元
答案：A
解析：解答：由分布列可以得到EX=200×0．2+300×0．35+400×0．3+500×0．15=340，
∴利润是（340×5+160×1．6）-500×2．5=706．
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件的分布列求得期望，然后利用对应的利润函数计算即可.
13. 已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：设则由
则
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件的期望求得X=1时的概率，然后计算方差即可.
14. 已知随机变量的分布列是其中，则（ ）
－1 0 2
P
A、 B、 C、0 D、1
答案：D
解析：解答：由随机变量的分布列的性质，得，即，联立，得，解得或（舍），则；则.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据分布列性质结合三角函数公式计算正弦值，然后求得期望.
15. 若离散型随机变量的分布列如下：
0 1
0.4
则的方差( )
A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．1
答案：C
解析：解答：根据题意，利用b+0.4=1,b=0.6,根据题意可知，x的期望值为0.4，
方差为0.5[（0-0.4）+(1-0.4)]=0.24,故可知答案为C.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据分布列性质求得b值，然后计算方差即可.
二、选择题
16. 有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)＞D(X2)，则自动包装机________的质量好．
答案：乙
解析：解答：期望值相等的前提下，方差越小，稳定性越好，质量也越好
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据离散型随机变量的期望与方差的实际意义进行分析即可.
17. 设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为________．
答案：10
解析：解答：设查得的次品数为随机变量X，
由题意得X～B，所以E(X)＝150×＝10.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据二项分布期望公式计算即可.
18. 有一种游戏规则如下：口袋里共装有4个红球和4个黄球，一次摸出4个，若颜色都相同，则得100分；若有3个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分. 小张摸一次得分的期望是_____ .
答案：
解析：解答：小张摸一次得分的情况有100,50,0三种情况，当得分为100分时，概率为，当得分为50分时，概率为,所以期望为
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件求得对应概率，运用期望公式计算即可.
19. 某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为，则随机变量的数学期望为 .
答案：
解析：解答：依题意知的取值为：1,3,4,6. 从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，总的方法数为=12，其中=1时，可能情况有（1,2）（2,3）（3,4）（2,1）（3,2）（4,3）；=3时，可能情况有（1,4）(1，4)；=4时，可能情况有（1,3）(3，1)；=6时，可能情况有，（2,4）(4，2)，所以，随机变量的数学期望为×1+×3+×4+×6=.
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件求得对应的事件的概率，然后运用期望公式计算即可.
20. 将编号为1到4的4个小球放入编号为1到4的4个盒子，每个盒子放1个球，记随机变量为小球编号与盒子编号不一致的数目，则的数学期望是
答案：3
解析：解答：首先将四个小球随意放置有种放法。
依题意可得，，其中
表示四个小球编号与盒子编号都一致，则只有1种放法，所以
表示有两个小球编号与盒子编号不一致。从四个小球中任2个，放入对应的盒子中，有 种，剩下的2个小球有1种放法，所以
表示有三个小球编号与盒子编号不一致，即有一个小球编号与盒子编号一致。从四个小球中任一个，放入对应的盒子中，有种，剩下的3个小球有2种放法，所以有
种放法，所以
表示小球编号与盒子编号都不一致。先放1号球，有3种放法；再放装1号球的盒子对应号码的小球，也有3种放法；然后剩下的两个小球各有一种放法，所以有3×3×1×1=9种放法，所以
所以
分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是根据所给事件首先求得不同方法的事件的概率值，然后运用期望公式计算即可.
三、解答题
21. 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（1）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
P
（2）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）
答案：
解析：分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是首先根据所给事件求得其分布列，然后根据期望公式计算期望即可.
22. 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各 有六位同学选择科目甲或科 目乙，情况如下表：
科目甲 科目乙 总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小 组中各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
答案：设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件，
“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件.由于事 件、相互独立，
且, .
所以选出的4人均选科目乙的概率为
（2）设为选出的4个人中选科目甲的人数，求的分布列和数学期望．
答案：设可能的取值为0,1,2,3.得
, ,，
，
的分布列为
∴的数学期望
解析：分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是(1)根据相互独立事件概率公式计算事件A,B对应的概率即可；(2)首先根据所求事件求得所以的分布列，然后求其期望即可.
23. 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
答案：由题意可知，样本容量，，
．
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
答案：由题意可知，分数在内的学生有5人，分数在内的学生有2人，共7人．抽取的3名学生中得分在的人数的可能取值为1，2，3，则
，，．
所以的分布列为：
1 2 3
所以．
解析： 分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是（1）直接由样本容量的定义和频率分布直方图即可求出结果；（2）根据题意首先判断各分数段学生的人数，进而判断随机变量的所有可能取值，然后应用古典概型的计算公式分别求出其概率，最后列表并由数学期望的定义求出其数学期望即可．
24. 为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为。
（1）求该小组中女生的人数；
答案：设该小组中有n个女生，由题意得
解得或（舍去），以该小组中有6个女生；
（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
答案：由题意，的取值为0,1,2,3；
所以的分布列为
0 1 2 3
P
解析： 分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是（1）通过条件“恰为一男一女的概率为”列等量关系，设该小组中有n个女生，由题意得解得或（舍去），所以该小组中有6个女生，（2）先确定随机变量取值范围：0,1,2,3；再分别求出对应概率：
最后根据数学期望对应求数学期望
25. 某工厂生产A，B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70,76） [76,82） [82,88） [88,94） [94,100）
玩具A 8 12 40 32 8
玩具B 7 18 40 29 6
（1）试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率；
答案：玩具A为正品的概率约为．
玩具B为正品的概率约为．
（2）生产一件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，
（i）记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率．
答案：解：（ⅰ）随机变量的所有取值为．
； ；
； ．
所以，随机变量的分布列为:
．
（ⅱ）设生产的5件玩具B中正品有件，则次品有件．
依题意，得 ， 解得 ．
所以 ，或．
设“生产5件玩具B所获得的利润不少于140元”为事件，
则 ．
解析：分析：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，解决问题的关键是（1）利用频率估计概率；（2）写出随机变量的所有可能取值，分别求出各自概率，列表得到分布列，利用公式求其期望；利用二项分布是概率公式进行求解．
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