人教新课标A版选修2-3数学3.2独立性检验的基本思想及其初步应用同步检测

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3.2独立性检验的基本思想及其初步应用同步检测
一、选择题
1. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表．
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
A.95% B.99% C.99.5% D.99.9%
答案：C
解析：解答：根据所给的列联表，
得到K2= =8.333＞7.879，
∴至少有99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关．
故选：C．
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数
2. 以下四个命题中：
①从匀速传递的产品流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2；
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值K来说，K越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中真命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：解答：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样，故①错误；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，线性相关性越弱，相关系数的绝对值越接近于0，故②正确；若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为4，故③错误；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值K来说，K越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小，故④错误；故真命题有1个，故选：A
分析：本题主要考查了独立性检验的基本思想，解决问题的关键是对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；对于②，根据相关系数与相关性的关系可知正确；对于③根据数据扩大n倍，方差扩大n2倍，可得2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为4，对于④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值K来说，K越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小
3. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05.则下列表述中正确的是（ ）
A．有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒
C．这种血清预防感冒的有效率为95℅
D．这种血清预防感冒的有效率为5℅
答案：A
解析：解答：由题可知，在假设成立情况下，的概率约为0.05，即在犯错的概率不错过0.05的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95℅是我们判断不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故B错误.C，D也犯有B中的错误.
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据独立性检验的原理分析计算即可
4. 在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查,在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力（ ）
A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．独立性检验 D．概率
答案：C
解析：解答：根据所学内容以及此题的背景条件可知：要想回答性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用独立性检验最有说服力
分析：本题主要考查了独立性检验，解决问题的关键是根据独立性检验的概念分析即可
5. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
A.成绩
B.视力
C.智商
D.阅读量
答案：D
解析：解答：根据公式分别计算得：A. ， B. C. D. ，选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据独立性检验的原理计算即可
6. 若由一个2×2列联表中的数据计算得Χ2=6.825，那么确认两个变量有关系的把握性有（ ）
A．90% B．95% C．99% D．99.5%
答案：C
解析：解答：∵一个2×2列联表中的数据计算得Χ2=6.825，6.825＞6.635，
∴有99%的把握说这两个变量有关系，故答案为：C
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据所给实际问题结合独立性检验的原理分析计算即可
7. 在下边的列联表中，类1中类B所占的比例为 （ ）
Ⅱ
类1 类2
Ⅰ 类A a b
类B c d
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：由联表可知，在类1中B所占比例为
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据所给数据结合独立性检验的原理计算即可
8. 为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A.0.1% B．1% C．99% D．99.9%
答案：C
解析：解答：∵,对照表格：
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．
故选：C．
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据独立性检验的原理结合所给数据分析计算验证即可
9. 在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那么的一个可能取值为( )
A．6.635 B．5.024 C．7.897 D．3.841
答案：C
解析：解答：根据计算结果可知,这说明两件事无关的可能性不足，即判断吸烟与患肺炎有关，合理的程度约为以上，由此可得C正确.故选C.
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据独立性检验的原理分析计算即可
10. 某高校《统计》课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：
非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，得 EMBED Equation.DSMT4 ，因为，所以可以判定选修统计专业与性别有关.那么这种判断出错的可能性为（ ）
A．5% B．95% C．1% D．99%
答案：A
解析：解答：若，说明有95%的把握认为选修统计专业与性别有关，即有5%的把握认为选修统计专业与性别无关，也就是“选修统计课程与性别有关”出错的可能性为5%.
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据独立性检验的原理分析即可
11. 对于独立性检验，下列说法错误的是（ ）
A．两事件频数相关越小，就越小
B．两事件频数相关越小，就越大
C．时，事件A与事件B无关
D．＞时，有99%的把握说事件A与事件B有关
答案：B
解析：解答：两事件频数相关越小，就越小
分析：本题主要考查了独立性检验的基本思想，解决问题的关键是根据独立性检验的基本思想分析即可
12. 分类变量X和Y的列联表如下：
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
则下列说法中正确的是（ ）
A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
答案：C
解析：解答：(ad－bc)2越大，说明值越大，则拒假设可能性越大，关系越强
分析：本题主要考查了相关系数，解决问题的关键是根据独立性检验的基本思想结合所给数据分析即可
二、填空题
13. 下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A= ，B= ，C= ，D= .
晚上 白天 总计
男 45 A 92
女 B 35 C
总计 98 D 180
答案：47|53|88|82
解析：解答：从列联表中的数据可知：
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据所给数据结合独立性检验的的原理分析计算即可
14. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：
喜欢数学课 不喜欢数学课 合计
男 30 60 90
女 20 90 110
合计 50 150 200
经计算K2≈6．06，根据独立性检验的基本思想，约有 （填百分数）的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．
答案：97.5%
解析：解答：因为K2≈6．06》5．024，对照表格：
0．100 0．050 0．025 0．010 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 10．828
所以有97．5%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．
分析：本题主要考查了独立性检验的基本思想，解决问题的关键是根据所给变量关系结合独立性检验的基本思想分析计算即可
15. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7．069，则最高有 （填百分数）的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
附：
P（K2≥k0） 0．100 0．050 0．025 0．010 0．001
k0 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828
答案：99%
解析： 解答：，所以有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
分析：本题主要考查了独立性检验的基本思想，解决问题的关键是根据所给数据结合独立性检验的基本思想分析即可
16. 为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表
患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计
吸烟 43 162 205
不吸烟 13 121 134
合计 56 283 339
根据列联表数据，求得 ．
答案：7.469
解析：解答：将数据代入下面公式，计算可得7.469。
分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是根据独立性检验的原理计算即可
三、解答题
17. 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
患三高疾病 不患三高疾病 合计
男 6 30
女
合计 36
下面的临界值表供参考：
0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001
2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
（参考公式，其中）
（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽人，其中女性抽多少人？
答案：解：
患三高疾病 不患三高疾病 合计
男 24 6 30
女 12 18 30
合计 36 24 60
在患三高疾病人群中抽人，则抽取比例为
∴女性应该抽取人．
（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？
答案：解：∵，
那么，我们有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．
答案：（1）3人;（2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是（1）根据题中所给数据，通过2×2连列表，直接将如图的列联表补充完整；通过分层抽样求出在患三高疾病的人群中抽9人的比例，即可求出女性抽的人数．（2）通过题中所给共识计算出，结合临界值表，即可说明有多大的把握认为三高疾病与性别有关．
18. 为考察高中生的性别与喜欢数学课程之间的关系，在某学校高中生中随机抽取了250名学生，得到如图的二维条形图．
（1）根据二维条形图，完成下表：
男 女 合计
喜欢数学课程
不喜欢数学课程
合计
答案：100|60|160|50|40|90|150|100|250
（2）对照如表，利用列联表的独立性检验估计，请问有多大把握认为“性别与喜欢数学有关系”？
答案：解：，所以有60%的把握认为“性别与喜欢数学有关系”.
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是（1）根据所给的二维条形图看出喜欢数学课程和不喜欢数学课程的学生数，得到列联表；（2）把列联表中的数据代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有60%的把握认为“性别与喜欢数学有关系”
19. 高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下
表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问：在出错概率不超过0.01的前提下文
科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
总成绩好 总成绩不好 总计
数学成绩好 20 10 30
数学成绩不好 5 15 20
总计 25 25 50
(P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥6.635)≈0.01)
答案：解：依题意，计算K2的观测值：k＝≈8.333＞6.635.
∵P(K2≥6.635)＝0.01，∴犯错误的概率不超过0.01.所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”.
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是本小题独立性检测的应用，本小题的关键是计算出的观测值,选择合适的临界值，然后根据计算出，并判断其与的大小关系，得出结论.
20. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下
男 女 合计
需要 40 30
不需要 160 270
合计
附表：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（1）将表格填写完整，
男 女 合计
需要 40 30
不需要 160 270
合计
并估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例 （填百分数）;
答案：70|330|200|300|500|14%
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关系
答案：解：的观测值9.967.
由于9.967>6.635, 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关系．
（3）根据（2）的结论,能否提出更好的调查方法估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例 说明理由.
答案：解：由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是（1）考察学生比例估值（2）考察学生对独立检验的理解与应用，先根据表格确定观测值．（3）比较分层抽样与简单抽样的优劣点.
21. 在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，
其中为样本容量。
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据以上数据建立一个的列联表；
答案：解：2×2列联表如下：
晕机 不晕机 合计
男乘客 28 28 56
女乘客 28 56 84
合计 56 84 140
（2）试判断是否有95％的把握认为是否晕机与性别有关？
答案：解：假设是否晕机与性别无关，则 的观测值
所以，我们有95％的把握认为是否晕机与性别有关
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是（1）根据男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，画出列联表；（2）根据公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，即可得到结论．.
22. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
附表：
P（） 0．100 0．010 0．001
k 2．706 6．635 10．828
，（其中）
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．
答案：解：由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名
所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），
记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，
从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，
其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，．故所求的概率：
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
答案：解：由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：
生产能手 非生产能手 合计
周岁以下组
周岁以上组
合计
所以得：
因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关.
解析：分析：本题主要考查了，解决问题的关键是（1）样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有3人，周岁以下组工人有2人，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，所求的概率：（2）在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手有15人 “周岁以下组”中的生产能手有15人，列出列联表，代入公式求出的值，即可判断.
23. 某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高二年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．
分数段
男 3 9 18 15 6 9
女 6 4 5 10 13 2
附表及公式：
0．100 0．050 0．010 0．001
k 2．706 3．841 6．635 10．828
（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；
答案：解：男生的平均分为：
女生的平均分为：
从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关.
（2）规定80分以上者为优分（含80分），请你根据已知条件作出列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．
答案：解：由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得列联表如下：
优分 非优分 合计
男生 15 45 60
女生 15 25 40
合计 30 70 100
可得，
因为，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是（1）根据分层比，男生抽取60人，女生抽取40人，利用频数分布表计算平均值，用每一段的中点计算加权平均数，（2）根据频数分布表填写列联表，根据的计算公式，和比较大小，小说明没有把握认为有关．
24. 为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，测试成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)设m，n表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|>2”的概率；
答案：解：从频率分布直方图中可以看出，成绩在的人数为 (人)，设为；成绩在的人数为 (人)，设为.
有一种情况；时有三种情况；分别在和时有六种情况，所有基本事件总数为10.
而事件“”由6个基本事件即组成．
所以.
(2)根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如附表：
根据上表数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：
答案：解：依题意得到相应的列联表如下：
.
由于，故在犯错误的概率不超过的前提下认为“体育达标与性别有关”．
故可以根据男女生性别划分达标的标准．
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是(1) 根据频率从分布直方图及公式分别求出第一组和第五组的人数.然后用例举法将从这两组中随机抽取两人的所有基本事件一一例举,然后再将的所有事件一一例举,根据古典概型概率公式求其概率. (2)根据频率分布直方图求出不达标的总人数,则可得,从而可得的值.根据公式计算,若说明两变量有关,否则无关.
25. “ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中恰有2个人接受挑战的概率是多少？
答案：解：这3个人接受挑战分别记为，则分别表示这3个人不接受挑战．
这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种；
其中，恰好有2个人接受挑战的可能结果有： ，，，共有3种.
根据古典概型的概率公式，所求的概率为.
（另解：可用二项分布 ）
（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性 50 10 60
女性 25 15 40
合计 75 25 100
根据表中数据，是否有99％的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
答案：解：假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，
根据列联表，得到的观测值为：
．
所以没有99％的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”
解析：分析：本题主要考查了独立性检验的应用，解决问题的关键是（1）3人中参加挑战的情况种数有种，恰有2个参加挑战的有3中，根据古典概型概率可得其概率为；（2）根据列联表结合公式计算出的值，与表格中的参照数据比较，若，则有99％的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”，若，则没有
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