人教新课标A版选修4-1数学1.1平行线等分线段定理同步检测

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1.1平行线等分线段定理同步检测
一、选择题
1. 如图,l1∥l2∥l3,直线a分别与l1,l2,l3相交于点A,B,C,且AB=BC,直线b分别与l1,l2,l3相交于点A1,B1,C1,则有( )
A.A1B1=B1C1
B.A1B1>B1C1
C.A1B1D.A1B1与B1C1的大小不确定
答案：A
解析：解答：∵l1∥l2∥l3,AB=BC,根据平行线等分线段定理,∴A1B1=B1C1.故选A.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向即可.
2. 如图,DE是△ABC的中位线,点F是BC上任一点,AF交DE于点G,则有( )
A.AG>GF
B.AG=GF
C.AGD.AG与GF的大小不确定
答案：B
解析：解答：∵DE是△ABC的中位线,∴在△ABF中,DG∥BF.又∵AD=DB,∴点G平分AF,即AG=GF.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向即可.
3. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10 cm,E为AB的中点,点F在DC上,且EF∥AD,则EF的长为( )
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.不确定
答案：A
解析：解答：由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线,则
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向即可.
4. 梯形的中位线长为15 cm,一条对角线把中位线分成3∶2两段,那么梯形的两底长分别为( )
A.12 cm和18 cm B.20 cm和10 cm
C.14 cm和16 cm D.6 cm和9 cm
答案：A
解析：解答：如图,不妨设MP∶PN=2∶3,则MP=6 cm,PN=9 cm.∵MN为梯形ABCD的中位线,∴MN∥AD.∴在△BAD中,MP为其中位线,∴AD=2MP=12 cm.同理可得BC=2PN=18 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
5. 在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AD,BC的中点,且EF=2 cm,则AB+CD等于( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
答案：D
解析：解答：∵点E,F是梯形ABCD的中位线,∴AB+CD=2EF=4 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行截割定理计算即可.
6. 在△ABC中,D,E分别是AB,AC边的中点,且BC=8,则DE等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案：C
解析：解答：∵DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=4.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
7. 如图,AB∥CD,AO=OD,BC=4 cm,则CO等于( )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.不确定
答案：B
解析：解答：如图,过点O作l∥AB,则l∥AB∥CD,
∵AO=OD,∴BO=OC,∴CO=BC=2 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
8. 如图,AD是△ABC的高,E为AB的中点,EF⊥BC于点F,如果DC=BD,那么FC是BF的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
答案：A
解析：解答：∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD.∵E为AB的中点,∴由推论1知,F为BD的中点,即BF=FD.又∵DC=BD,∴DC=BF.∴FC=FD+DC=BF+DC=BF.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向计算即可.
9. 如图,A,B,C,D把OE五等分,且AA'∥BB'∥CC'∥DD'∥EE',如果OE'=20 cm,那么B'D'等于( )
A.12 cm B.10 cm
C.6 cm D.8 cm
答案：D
解析：解答：∵A,B,C,D把OE五等分,AA'∥BB'∥CC'∥DD',∴OA'=A'B'=B'C'=C'D'=D'E'.
又∵OE'=20 cm,∴OA'=A'B'=B'C'=C'D'=D'E'=4 cm.∴B'D'=B'C'+C'D'=8 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
10. 如图,在△ABC中,D,E三等分AB,DF∥BC,EG∥BC,分别交AC于F,G,若AC=15 cm,则FC=( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案：C
解析：解答：∵DF∥BC,EG∥BC,∴DF∥EG∥BC.由已知,得AD=DE=EB,∴AF=FG=GC.
又∵AC=15 cm,∴FG=GC=AC=5 cm.∴FC=FG+GC=10 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
11. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,E,F分别为对角线BD,AC的中点,则EF=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：A
解析：解答：如图,过点E作GE∥BC交BA于点G.∵E是DB的中点,∴G是AB的中点.
又∵F是AC的中点,∴GF∥BC,∴G,E,F三点共线,∴GE=AD=1,GF=BC=3.∴EF=GF-GE=3-1=2.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
12. 如图,AB∥EM∥DC,AE=ED,EF∥BC,EF=12 cm,则BC的长为( )
A.6 B.12 C.24 D.36
答案：C
解析：解答：∵AB∥EM∥DC,AE=ED,∴BM=MC.又∵EF∥BC,∴EF=MC=12 cm.∴BC=2MC=24 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
13. 已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN=（ ）
A.2 B.5 C. D.
答案：A
解析：解答：如图，连接AM并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，
又∵M为BD中点，
∴△AMD≌△GMB，
∴BG=AD，AM=MG．
在△AGC中，MN为中位线，
∴MN=GC=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=(7-3)=2．
故选：A．
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是连接AM并延长，交BC于点G，根据全等三角形的判定和性质，可以证明MN是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可求出MN的大小．
14. 如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线BD=12米，现想用篱笆围成四边形EFGH的场地，则需用的篱笆总长度是（ ）
A.12米 B.24米 C.36米 D.48米
答案：B
解析：解答：连接BD．
根据三角形中位线定理，得
EF=HG=AC=6，EH=FG=BD．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．
∴EF=FG=GH=HE=6．
∴需篱笆总长度是EF+HG+EH+GF=2BD=2×12=24（米）．
故选B．
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据三角形中位线定理和等腰梯形的对角线相等可证明篱笆的形状为菱形，且边长等于等腰梯形的对角线的一半，即可求得篱笆总长度．
15. 如图，已知AD∥BE∥CF，下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：过点D作DG∥AC，交BE于H，交CF于G，则AB=DH，AC=DG
∵BE∥CF，∴ 故选D．
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是过点D作DG∥AC，交BE于H，交CF于G，则AB=DH，AC=DG，再利用BE∥CF，可得比例线段，从而可得结论．
二、填空题
16. 如图,AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点O,若AO=OD=DF,BE=10 cm,则BO= cm.
答案：
解析：解答：如图,过点O作l∥AB,则l∥AB∥CD∥EF.∵AO=OD=DF,∴BO=OC=CE,∴BO=BE= cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
17. 如图,在正方形A'B'C'D'中,O'是两条对角线A'C'与B'D'的交点,作O'F'∥C'D'交A'D'于点F',且正方形边长等于12,则A'F'= .
答案：6
解析：解答：因为四边形A'B'C'D'是正方形,O'是A'C'与B'D'的交点,所以A'O'=O'C'.又因为O'F'∥C'D',所以A'F'=F'D',即A'F'=A'D'=×12=6.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.
18. 在△ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD的中点,BM的延长线交AC于点N,AN=4 cm,则CN= cm.
答案：8
解析：解答：如图,过点D作DE∥BN,交AC于点E.∵D为BC的中点,∴NE=EC.又∵M为AD的中点,MN∥DE,∴AN=NE,∴AN=NE=EC.∴CN=2AN=8 cm.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向计算即可.
19. 如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E在CA上,且AE=2CE,AD,BE相交于点F,则____.
答案：
解析：解答：如图,过点D作DG∥AC且交BE于点G,因为点D为BC的中点,
所以EC=2DG.因为AE =2CE,所以 .从而 .
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向计算即可.
20. 如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于点F,交BE于点E.AC=2CF,∠ADC=60°,AC⊥DC,则BE=_______.
答案：a
解析：解答：如图,延长DC交BE于点M,∵BE∥AC,AB∥DC,∴四边形ABMC是平行四边形.∴CM=AB.又∵在 ABCD中,AB=CD,∴CM=CD.∴C为DM的中点.∵BE∥AC,∴DF=FE.
所以CF是△DME的中位线,故ME=2CF.∵AC=2CF,∴ME=AC.∵四边形ABMC是平行四边形,∴BM=AC.∴ME=BM.∴BE=2BM=2ME=2AC.又∵AC⊥DC,∠ADC=60°,∴在Rt△ADC中,利用勾股定理,得AC=a.∴BE=2AC=a.
分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据所给条件结合平行线等分线段定理以及构造辅助线方向计算即可.
三、解答题
21. 如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明.
答案：解：作法:如图，①作射线AC;
②在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5;
③连接D5B;
④分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
证明：过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
解析：分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是利用平行线等分线段定理来作图.
22. 如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,O是CD的中点,求证:OA=OB.
答案：证明：过点O作AB的垂线,垂足为E,如图.∵AC⊥AB,DB⊥AB,∴OE∥AC∥DB.
又∵O为CD的中点,∴E为AB的中点.又∵OE⊥AB,∴OA=OB.
解析：分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据线段OA和OB有共同端点,所以证明点O在AB的垂直平分线上即可.
23. 如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC,求证:BC=2EF.
答案：证明：如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.∵AB∥DC,∴四边形ABCG是平行四边形.∴AG=BC,AG∥BC.又∵EF∥BC,∴EF∥AG.∵E为AD的中点,∴F是DG的中点.EF= AG. ∴EF=BC,即BC=2EF.
解析：分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
24. 如图,已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作 ACED,DC的延长线交BE于F.求证:EF=BF.
答案：证明：如图,连接AE交DC于点O.∵四边形ACED是平行四边形,∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分).∵四边形ABCD是梯形,∴DC∥AB.在△EAB中,OF∥AB,O是AE的中点,∴F是EB的中点.∴EF=BF.
解析：分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据平行线等分线段定理结合所给条件以及构造辅助线怎么即可.
25. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,BA,CD的延长线分别与EF的延长线交于点M,N.求证:∠AME=∠CNE.
答案：证明：如图,连接BD,取BD的中点G,连接GE,GF. 在△ABD中,∵G,F分别是BD,AD的中点∴GF= AB,GF∥BM.同理可证:GE=CD,GE∥CN.∵AB=CD,∴GF=GE.∴∠GEF=∠GFE.
∵GF∥BM,∴∠GFE=∠AME.∵GE∥CN,∴∠GEF=∠CNE.∴∠AME=∠CNE.
解析： 分析：本题主要考查了平行线等分线段定理，解决问题的关键是根据所给条件结合平行线等分线段定理以及构造辅助线怎么即可.
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