人教新课标A版选修4-1数学1.4直角三角形的射影定理同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-1数学1.4直角三角形的射影定理同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 368.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 11:03:50 | ||
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文档简介
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1.4直角三角形的射影定理同步检测
一、选择题
1. 线段MN在直线l上的射影不可能是（ ）
A.点 B.线段 C.与MN等长的线段 D.直线
答案：D
解析：解答：当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不可能是直线.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理的原理分析即可
2. 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且CD=4,则AD·DB等于（ ）
A.16 B.4 C.2 D.不确定
答案：A
解析：解答：∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2.又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可
3. 在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,如图,若NQ=3,则MN等于（ ）
A.3PN B.PN C. D.9PN
答案：C
解析：解答：∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.又∵NQ=3,∴MN=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可
4. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若,则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：如图,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,∴
即 ,∴
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可
5. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,则线段AC在AB上的射影长等于（ ）
A.4 B.6 C.2 D.2
答案：A
解析：解答：∵BC⊥AB,∴AC在AB上的射影是AB.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可，难度不大
6. 如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,若BD·DC=16,则AD等于（ ）
A.2 B.4 C.16 D.不确定
答案：B
解析：解答：由题意知,AD2=BD·DC=16,故AD=4.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可解决问题
7. 如图,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于（ ）
A.1 B.3 C.9 D.27
答案：A
解析：解答：∵MN2=NQ·NP,∴32=9NQ.∴NQ=1.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理计算即可，属于普通题目
8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=3,BD=2,则AC∶BC的值是（ ）
A.3∶2 B.9∶4 C. D.
答案：C
解析：解答：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理知,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.
又∵AD=3,BD=2, ∴AB=AD+BD=5,
∴AC2=3×5=15,BC2=2×5=10. ∴,即AC∶BC=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件复数计算即可解决问题，有一定难度
二、填空题
9. 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影为点D,且AC=3,AD=2,则AB= .
答案：
解析：解答：∵AC⊥CB,又∵点D是点C在AB上的正射影,∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.
又∵AC=3,AD=2,∴AB=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给几何关系分析计算即可
10. 在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则tan∠BCD= .
答案：
解析：解答：在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD.
又BD∶AD=1∶9,令BD=x,则AD=9x（x>0）.∴CD2=9x2.∴CD=3x.
在Rt△CDB中,tan∠BCD=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件计算即可
11. 如图,Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,垂足为点C,且AB=2,AC=4,则PB= .
答案：2
解析：解答：∵在Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,∴AB2=AC·AP,即（2）2=4AP,解得AP=6.
在Rt△ABP中,由勾股定理,得BP==2.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理集合所给条件运用勾股定理计算即可
12. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CD=,AB=5,则AD=
答案：AD=2或3
解析：解答：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.
∵CD=,∴AD·DB=6.又∵AB=5,∴DB=5-AD.
∴AD（5-AD）=6,解得AD=2或3.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件计算即可
13. 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为 .
答案：8
解析：
解答：设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.
如图,由射影定理得
CD2=AD·BD=8,
则CD=2.
在Rt△OCD中,
DE=
则CE= ,EO=OC-CE=3- .
因此=8.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足的条件分析计算即可
14. 直角三角形斜边上的高把斜边分成了3∶2两段，且斜边上的高为2厘米，则斜边长为 厘米.
答案：10
解析：解答：设斜边长为5a cm,则斜边上的高把斜边分成两段的长分别为3a cm,2a cm,则由射影定理得3a·2a=（2）2,解得a=2, 则斜边长为5a=5×2=10（cm）.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足条件分析计算即可
15.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是 ．
答案：①④
解析：解答：由所给的正方体知，△PAC在该正方体上下面上的射影是①，
△PAC在该正方体左右面上的射影是④，△PAC在该正方体前后面上的射影是④
故答案为：①④
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理根据点的投影的做法，做出△PAC在该正方体各个面上的射影，这里应该有三种情况，做出在前后面上的投影，在上下面上的投影，在左右面上的投影，得到结果．
16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BC=，AC=3，则BD= ．
答案：
解析：解答：由勾股定理得AB= ==2．由直角三角形射影定理，BC2=BD×BA，3=2×BD，BD=
故答案为：
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理应用勾股定理先求出AB，再由直角三角形射影定理，BC2=BD×BA 代入数据求出BD．
17. 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．
答案：5
解析：解答：AB为圆的直径，∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，
∴AD=2，∴半径=5
故答案为：5
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．
三、解答题
18. 若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.
答案：解：∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
∴AD==16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD==12.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用射影定理求出CD.
19. 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长
答案：解：∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB=2×6=12,
∴CD==2（cm）
∵AC2=AD·AB=2×（2+6）=16,
∴AC==4（cm）.
∵BC2=BD·AB=6×（2+6）=48,
∴BC==4（cm）.
所以CD,AC,BC的长分别为2cm，4 cm，4cm.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给直角三角形满足条件计算即可
20. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.
答案：证明：C=90°,AD⊥BC,由射影定理,知AC2=CD·BC,即.
∵BE平分∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC,
∴AE=EF.∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴EF∥AD.∴,
∴.∴,
即EF∶DF=BC∶AC.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先由射影定理得AC2=CD·BC,即.又由EF∥AD,得 ,通过中间变量即可得证.
21. 如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为D,E,F.求证:
答案：证明：由射影定理,得BD2=BE·AB,即BE= ①
同理得CD2=CF·AC,即CF= ②
故 ③
由射影定理,得AB2=BC·BD,即BD=
同理得AC2=CD·BC,即CD=. 故 ④
将④代入③,得.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足条件计算证明即可
22. 如图,已知AD是△ABC的高,DP⊥AB,DQ⊥AC,垂足分别为点P,Q.求证:AP·AB=AQ·AC.
答案：证明：∵DP⊥AB,DQ⊥AC,AD⊥BC,
∴在Rt△ADB中,有AD2=AP·AB.
在Rt△ADC中,有AD2=AQ·AC.
∴AP·AB=AQ·AC.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理应用射影定理转化为证明
AP·AB=AD2,AQ·AC=AD2.
23. 如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE·BF·AB=CD3.
答案：证明：∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴CD2=AD·BD,∴CD4=AD2·BD2.
又∵在Rt△ADC中,DE⊥AC,在Rt△BDC中,DF⊥BC,
∴AD2=AE·AC,BD2=BF·BC,
∴CD4=AE·BF·AC·BC.
又∵∠A=∠A,∠ACD=∠ABC,
∴△ABC∽△ACD.
∴ ,
即AC·BC=AB·CD,
∴CD4=AE·BF·AB·CD.
∴AE·BF·AB=CD3.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分别在Rt△ABC,Rt△ADC,Rt△BDC中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.
24. 如图,分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且 ,AH和BM相交于点P,求证:AP=9PH.
答案：证明：在正方形ABCD中,∵,∴
∴.
又∵∠ABH=∠C=90°,
∴△ABH∽△BCM,∠PBH=∠BAH.
又∵∠BAH+∠BHA=90°,
∴∠PBH+∠BHP=90°,即BP⊥AH.
在Rt△ABH中,设BH=k,则AB=3k,AH=k.
∴AB2=AP·AH,BH2=PH·AH.
∴
∴AP=9PH.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给矩形满足的条件分析计算即可证明问题，有一定难度.
25. 如图,在△ABC中,D,F两点分别在AC,BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC的长
答案：解答：在△ABC中,设AC=x,∵AB⊥AC,AF⊥BC,
又FC=1,根据射影定理,得AC2=FC·BC,即BC=x2.
再由射影定理,得AF2=BF·FC=（BC-FC）·FC,即AF2=x2-1.
∴AF= .
在△BDC中,过点D作DE⊥BC于点E,如图,
又∵BD=DC=1,
∴BE=EC,
又∵AF⊥BC,
∴DE∥AF,
∴
∴DE= .
在Rt△DEC中,∵DE2+EC2=DC2,
即=12,
∴ =1.
整理得x6=4.∴x=.∴AC=.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给直角三角形满足的条件构造辅助线计算即可，属于较难题目
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1.4直角三角形的射影定理同步检测
一、选择题
1. 线段MN在直线l上的射影不可能是（ ）
A.点 B.线段 C.与MN等长的线段 D.直线
答案：D
解析：解答：当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不可能是直线.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理的原理分析即可
2. 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且CD=4,则AD·DB等于（ ）
A.16 B.4 C.2 D.不确定
答案：A
解析：解答：∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2.又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可
3. 在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,如图,若NQ=3,则MN等于（ ）
A.3PN B.PN C. D.9PN
答案：C
解析：解答：∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.又∵NQ=3,∴MN=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可
4. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若,则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：如图,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,∴
即 ,∴
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可
5. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,则线段AC在AB上的射影长等于（ ）
A.4 B.6 C.2 D.2
答案：A
解析：解答：∵BC⊥AB,∴AC在AB上的射影是AB.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可，难度不大
6. 如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,若BD·DC=16,则AD等于（ ）
A.2 B.4 C.16 D.不确定
答案：B
解析：解答：由题意知,AD2=BD·DC=16,故AD=4.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可解决问题
7. 如图,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于（ ）
A.1 B.3 C.9 D.27
答案：A
解析：解答：∵MN2=NQ·NP,∴32=9NQ.∴NQ=1.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理计算即可，属于普通题目
8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=3,BD=2,则AC∶BC的值是（ ）
A.3∶2 B.9∶4 C. D.
答案：C
解析：解答：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理知,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.
又∵AD=3,BD=2, ∴AB=AD+BD=5,
∴AC2=3×5=15,BC2=2×5=10. ∴,即AC∶BC=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件复数计算即可解决问题，有一定难度
二、填空题
9. 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影为点D,且AC=3,AD=2,则AB= .
答案：
解析：解答：∵AC⊥CB,又∵点D是点C在AB上的正射影,∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.
又∵AC=3,AD=2,∴AB=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给几何关系分析计算即可
10. 在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则tan∠BCD= .
答案：
解析：解答：在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD.
又BD∶AD=1∶9,令BD=x,则AD=9x（x>0）.∴CD2=9x2.∴CD=3x.
在Rt△CDB中,tan∠BCD=
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件计算即可
11. 如图,Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,垂足为点C,且AB=2,AC=4,则PB= .
答案：2
解析：解答：∵在Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,∴AB2=AC·AP,即（2）2=4AP,解得AP=6.
在Rt△ABP中,由勾股定理,得BP==2.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理集合所给条件运用勾股定理计算即可
12. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CD=,AB=5,则AD=
答案：AD=2或3
解析：解答：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.
∵CD=,∴AD·DB=6.又∵AB=5,∴DB=5-AD.
∴AD（5-AD）=6,解得AD=2或3.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件计算即可
13. 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为 .
答案：8
解析：
解答：设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.
如图,由射影定理得
CD2=AD·BD=8,
则CD=2.
在Rt△OCD中,
DE=
则CE= ,EO=OC-CE=3- .
因此=8.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足的条件分析计算即可
14. 直角三角形斜边上的高把斜边分成了3∶2两段，且斜边上的高为2厘米，则斜边长为 厘米.
答案：10
解析：解答：设斜边长为5a cm,则斜边上的高把斜边分成两段的长分别为3a cm,2a cm,则由射影定理得3a·2a=（2）2,解得a=2, 则斜边长为5a=5×2=10（cm）.
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足条件分析计算即可
15.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是 ．
答案：①④
解析：解答：由所给的正方体知，△PAC在该正方体上下面上的射影是①，
△PAC在该正方体左右面上的射影是④，△PAC在该正方体前后面上的射影是④
故答案为：①④
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理根据点的投影的做法，做出△PAC在该正方体各个面上的射影，这里应该有三种情况，做出在前后面上的投影，在上下面上的投影，在左右面上的投影，得到结果．
16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BC=，AC=3，则BD= ．
答案：
解析：解答：由勾股定理得AB= ==2．由直角三角形射影定理，BC2=BD×BA，3=2×BD，BD=
故答案为：
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理应用勾股定理先求出AB，再由直角三角形射影定理，BC2=BD×BA 代入数据求出BD．
17. 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．
答案：5
解析：解答：AB为圆的直径，∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，
∴AD=2，∴半径=5
故答案为：5
分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．
三、解答题
18. 若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.
答案：解：∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
∴AD==16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD==12.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用射影定理求出CD.
19. 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长
答案：解：∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB=2×6=12,
∴CD==2（cm）
∵AC2=AD·AB=2×（2+6）=16,
∴AC==4（cm）.
∵BC2=BD·AB=6×（2+6）=48,
∴BC==4（cm）.
所以CD,AC,BC的长分别为2cm，4 cm，4cm.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给直角三角形满足条件计算即可
20. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.
答案：证明：C=90°,AD⊥BC,由射影定理,知AC2=CD·BC,即.
∵BE平分∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC,
∴AE=EF.∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴EF∥AD.∴,
∴.∴,
即EF∶DF=BC∶AC.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先由射影定理得AC2=CD·BC,即.又由EF∥AD,得 ,通过中间变量即可得证.
21. 如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为D,E,F.求证:
答案：证明：由射影定理,得BD2=BE·AB,即BE= ①
同理得CD2=CF·AC,即CF= ②
故 ③
由射影定理,得AB2=BC·BD,即BD=
同理得AC2=CD·BC,即CD=. 故 ④
将④代入③,得.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足条件计算证明即可
22. 如图,已知AD是△ABC的高,DP⊥AB,DQ⊥AC,垂足分别为点P,Q.求证:AP·AB=AQ·AC.
答案：证明：∵DP⊥AB,DQ⊥AC,AD⊥BC,
∴在Rt△ADB中,有AD2=AP·AB.
在Rt△ADC中,有AD2=AQ·AC.
∴AP·AB=AQ·AC.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理应用射影定理转化为证明
AP·AB=AD2,AQ·AC=AD2.
23. 如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE·BF·AB=CD3.
答案：证明：∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴CD2=AD·BD,∴CD4=AD2·BD2.
又∵在Rt△ADC中,DE⊥AC,在Rt△BDC中,DF⊥BC,
∴AD2=AE·AC,BD2=BF·BC,
∴CD4=AE·BF·AC·BC.
又∵∠A=∠A,∠ACD=∠ABC,
∴△ABC∽△ACD.
∴ ,
即AC·BC=AB·CD,
∴CD4=AE·BF·AB·CD.
∴AE·BF·AB=CD3.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分别在Rt△ABC,Rt△ADC,Rt△BDC中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.
24. 如图,分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且 ,AH和BM相交于点P,求证:AP=9PH.
答案：证明：在正方形ABCD中,∵,∴
∴.
又∵∠ABH=∠C=90°,
∴△ABH∽△BCM,∠PBH=∠BAH.
又∵∠BAH+∠BHA=90°,
∴∠PBH+∠BHP=90°,即BP⊥AH.
在Rt△ABH中,设BH=k,则AB=3k,AH=k.
∴AB2=AP·AH,BH2=PH·AH.
∴
∴AP=9PH.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给矩形满足的条件分析计算即可证明问题，有一定难度.
25. 如图,在△ABC中,D,F两点分别在AC,BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC的长
答案：解答：在△ABC中,设AC=x,∵AB⊥AC,AF⊥BC,
又FC=1,根据射影定理,得AC2=FC·BC,即BC=x2.
再由射影定理,得AF2=BF·FC=（BC-FC）·FC,即AF2=x2-1.
∴AF= .
在△BDC中,过点D作DE⊥BC于点E,如图,
又∵BD=DC=1,
∴BE=EC,
又∵AF⊥BC,
∴DE∥AF,
∴
∴DE= .
在Rt△DEC中,∵DE2+EC2=DC2,
即=12,
∴ =1.
整理得x6=4.∴x=.∴AC=.
解析：分析：本题主要考查了直角三角形的射影定理，解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给直角三角形满足的条件构造辅助线计算即可，属于较难题目
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