人教新课标A版选修4-1数学2.1圆周角定理同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-1数学2.1圆周角定理同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 11:07:25 | ||
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文档简介
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2.1圆周角定理同步检测
一、选择题
1. 如图,在☉O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于（ ）
A.25° B.50°
C.30° D.12.5°
答案：B
解析：解答：根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
2. 如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案：C
解析：解答：∠BDC=∠BAC=60°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
3. 如图,AB是☉O的直径,C是上的一点,且AC=4,BC=3,则☉O的半径r等于（ ）
A. B.5 C.10 D.不确定
答案：A
解析：解答：∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴AB 5.
∴2r=AB=5.∴r= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 .
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
4. 下列结论错误的是（ ）
A.圆上一条弧所对的圆周角等于它对的圆心角的一半
B.圆心角的度数等于它所对弧的度数
C.相等的圆周角所对的弧相等
D.90°的圆周角所对的弦是直径
答案：C
解析：解答：选项A是圆周角定理;选项B是圆心角定理;选项D是圆周角定理的推论2;选项C中,缺少前提条件“在同圆或等圆中”,故选C.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析即可
5. 如图,CD是☉O的直径,A,B是☉O上的两点,若∠ABD=20°,则∠ADC的度数为（ ）
A.40° B.50°
C.60° D.70°
答案：D
解析：解答：∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=20°.
又∵CD是☉O的直径,
∴∠CAD=90°.
∴∠ADC=90°-∠ACD=90°-20°=70°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
6. 已知P,Q,R都在弦AB的同侧,且点P在上,点Q在所在的圆内,点R在所在的圆外（如图）,则（ ）
A.∠AQB<∠APB<∠ARB
B.∠AQB<∠ARB<∠APB
C.∠APB<∠AQB<∠ARB
D.∠ARB<∠APB<∠AQB
答案：D
解析：解答：如图,延长AQ交圆O于点C,设AR与圆O相交于点D,连接BC,BD,
则有∠AQB>∠ACB,∠ADB>∠ARB.
因为∠ACB=∠APB=∠ADB,
所以∠AQB>∠APB>∠ARB.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析即可解决
7. 如图,在☉O中,∠AOB=160°,则∠D+∠E=（ ）
A.170° B.160°
C.100° D.80°
答案：C
解析：解答：如图,连接CO,
则有∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=360°-160°=200°.
又∵∠ADC=∠AOC,
∠BEC=∠BOC,
∴∠ADC+∠BEC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 （∠AOC+∠BOC）=100°,
即∠D+∠E=100°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
8. 如图,已知△ABC内接于☉O,AB=AC,D为弧BC上一点,E是直线AD和☉O的交点,则AB2等于 （ ）
A.AC·BC B.AD·AE C.AD·DE D.BD·DC
答案：B
解析：
解答：如图,连接BE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠ABC=∠AEB.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE=AD∶AB,
即AB2=AD·AE.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
9. 如图,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A.80° B.100° C.120° D.130°
答案：D
解析：解答：∵∠AOB=100°,∴的度数为100°.∴∠ACB= =130°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
二、填空题
10. 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD= °.
答案：105
解析：解答：BAD是所对的圆周角,∠BCD是所对的圆周角,则所对的圆心角为2×75°=150°.
又∵和所对圆心角的和是周角360°,
∴所对圆心角是360°-150°=210°,
∴所对圆周角∠BCD=×210°=105°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
11. 如图,弦AC与BD相交于圆内一点P,且AB=10,CD=5,BP=8,则PC= .
答案：4
解析：解答：∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△ABP∽△DCP.
∴.∴ ,解得PC=4.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析即可
12. 如图,AC是☉O的直径,B是圆上一点,∠ABC的平分线与☉O相交于点D,已知BC=1,AB=,则AD= .
答案：
解析：解答：如图,连接OD,由于AC是☉O的直径,
则∠ABC=90°.
又BC=1,AB= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,
则AC=
= =2,
所以OA=OD=AC=1.
又∠AOD=2∠ABD=∠ABC=90°,
故△AOD是等腰直角三角形,
则AD=OA= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ×1= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 .
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析计算即可，难度不大
13. 如图,点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于 度。
答案：60
解析：解答：∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
14. AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3BD,则= .
答案：
解析：解答：如图,连接AC,BC,则
∠ACB=90°.
设BD=k,则AD=3k.
∵CD⊥AB,
∴CD2=AD·BD=3k2.
∴CD=k,
∴
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析即可
15. 如图,两个同心圆中, 的度数是30°,且大圆的半径R=4,小圆的半径r=2,则的度数是 度.
答案：30
解析：解答：的度数等于∠AOB,又的度数也等于∠AOB,则的度数是30°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析即可
三、解答题
16. 如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与BC边和☉O分别交于点D,E.
（1）指出图中相似的三角形,并说明理由;
答案：解：△ABD∽△CED,△AEC∽△CED
理由：∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.
（2）若EC=4,DE=2,求AD的长.
答案：解：∵△CED∽△AEC,∴
∴CE2=ED·AE,
∴16=2AE,∴AE=8.
∴AD=AE-DE=6.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是 （1）本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;（2）要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,再求其长度.
17. 如图,已知△ABC内接于☉O,,点D是上任意一点,AD与BC交于点E,AD=6 cm,BD=5 cm,CD=3 cm,求DE的长.
答案：解：∵,∴∠ADB=∠CDE.
又∵,∴∠BAD=∠ECD,
∴△ABD∽△CED,
∴,即 ,∴ED=2.5 （cm）.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理根据所给条件结合定理进行计算即可
18. 如图,BC为圆O的直径,AD⊥BC,,BF和AD相交于E,求证:AE=BE
答案：证明：∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC为直角.
又∵AD⊥BC,
∴Rt△BDA∽Rt△BAC.
∴∠BAD=∠ACB.
∵,
∴∠FBA=∠ACB,
∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE为等腰三角形.
∴AE=BE.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理要证明AE=BE,只需在△ABE中证明∠ABE=∠EAB,而要证明这两个角相等,只需借助建立与∠ACB的关系即可
19. 如图,△ABC内接于☉O,D,E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2,求证:AB=AC.
答案：证明：如图,延长AD,AE分别交☉O于点F,G,连接BF,CG.
∵∠1=∠2,∴,∴BF=CG,,∴∠FBD=∠GCE.
又∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴,
∴AB=AC.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件构造辅助线计算即可
20. 如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,求证:BD=DC
答案：证明：如图,连接AD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵AC=AB,
∴BD=CD.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
21. 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,AD的延长线交外接圆于点F,求证:.
答案：证明：∵AE是直径,
∴∠ABE=90°.
又∵∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠ABE.
又∵∠AEB=∠DCA,
∴△ABE∽△ADC.
∴∠BAE=∠FAC,
∴
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是转化为证明∠BAE=∠FAC,再转化为证明△ABE∽△ADC.
22. 如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
（1）证明:△ABE∽△ADC;
答案：证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAD.
又∵∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角,
∴∠AEB=∠ACD.
∴△ABE∽△ADC.
（2）若△ABC的面积S= AD·AE,求∠BAC的大小.
答案：解:∵△ABE∽△ADC,
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,
即AB·AC=AD·AE.
又S= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AB·ACsin∠BAC,且S= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AD·AE,
∴AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
∴sin∠BAC=1.
又∵∠BAC为三角形的内角,
∴∠BAC=90°.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是:（1）证明两个三角形的两个角对应相等;（2）利用（1）的结论和三角形面积公式,转化为求sin∠BAC.
23. 如图,☉O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=AC,连接AD交☉O于点E,连接BE与AC交于点F,求证:BE平分∠ABC.
答案：证明：∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.
又∵∠ACB=∠D+∠CAD,
∴∠ACB=2∠CAD.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC=2∠CAD.
又∵∠EBC=∠CAD,
∴∠ABC=2∠EBC,即BE平分∠ABC.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所学条件分析证明即可
24. 如图,☉O是△ABC的外接圆,D是的中点,BD交AC于点E.
（1）求证:CD2=DE·DB;
答案：证明:由已知,得∠ABD=∠CBD.
又∵∠ECD=∠ABD,∴∠CBD=∠ECD.
又∵∠BDC=∠CDE,
∴△BCD∽△CED.
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,即CD2=DE·DB.
（2）若CD=2,O到AC的距离为1,求☉O的半径.
答案：解:如图,连接OD交AC于点F,连接OC.
∵D是的中点,∴OD⊥AC,垂足为点F.
在Rt△CFO中,OF=1,设☉O的半径OC=R,
∴CF= .
在Rt△CFD中,DC2=CF2+DF2.
∴（2）2=（R2-1）+（R-1）2,
整理得R2-R-6=0,解得R=3或R=-2（舍去）,
∴R=3,即☉O的半径为3.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是 （1）转化为证明△BCD与△CED相似;（2）作出点O到AC的距离,利用勾股定理列出方程求解.
25. 足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好;沿着球门跑,射点要选好.”可见踢足球是有“学问”的.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到点A时,乙已跟随冲到点B,此时是甲直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好
答案：解：如图,连接MB,MA,NA,NB,MA交圆于点C,连接NC,
则∠MBN=∠MCN.
又∵∠MCN>∠MAN,
∴∠MBN>∠MAN.
∴甲应该传给乙,让乙射门好.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是要确定较好的射门位置,关键是看这两点各自对球门MN的张角大小,当张角较小时,普通被对方守门员拦截
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2.1圆周角定理同步检测
一、选择题
1. 如图,在☉O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于（ ）
A.25° B.50°
C.30° D.12.5°
答案：B
解析：解答：根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
2. 如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案：C
解析：解答：∠BDC=∠BAC=60°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
3. 如图,AB是☉O的直径,C是上的一点,且AC=4,BC=3,则☉O的半径r等于（ ）
A. B.5 C.10 D.不确定
答案：A
解析：解答：∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴AB 5.
∴2r=AB=5.∴r= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 .
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
4. 下列结论错误的是（ ）
A.圆上一条弧所对的圆周角等于它对的圆心角的一半
B.圆心角的度数等于它所对弧的度数
C.相等的圆周角所对的弧相等
D.90°的圆周角所对的弦是直径
答案：C
解析：解答：选项A是圆周角定理;选项B是圆心角定理;选项D是圆周角定理的推论2;选项C中,缺少前提条件“在同圆或等圆中”,故选C.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析即可
5. 如图,CD是☉O的直径,A,B是☉O上的两点,若∠ABD=20°,则∠ADC的度数为（ ）
A.40° B.50°
C.60° D.70°
答案：D
解析：解答：∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=20°.
又∵CD是☉O的直径,
∴∠CAD=90°.
∴∠ADC=90°-∠ACD=90°-20°=70°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
6. 已知P,Q,R都在弦AB的同侧,且点P在上,点Q在所在的圆内,点R在所在的圆外（如图）,则（ ）
A.∠AQB<∠APB<∠ARB
B.∠AQB<∠ARB<∠APB
C.∠APB<∠AQB<∠ARB
D.∠ARB<∠APB<∠AQB
答案：D
解析：解答：如图,延长AQ交圆O于点C,设AR与圆O相交于点D,连接BC,BD,
则有∠AQB>∠ACB,∠ADB>∠ARB.
因为∠ACB=∠APB=∠ADB,
所以∠AQB>∠APB>∠ARB.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析即可解决
7. 如图,在☉O中,∠AOB=160°,则∠D+∠E=（ ）
A.170° B.160°
C.100° D.80°
答案：C
解析：解答：如图,连接CO,
则有∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=360°-160°=200°.
又∵∠ADC=∠AOC,
∠BEC=∠BOC,
∴∠ADC+∠BEC= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 （∠AOC+∠BOC）=100°,
即∠D+∠E=100°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
8. 如图,已知△ABC内接于☉O,AB=AC,D为弧BC上一点,E是直线AD和☉O的交点,则AB2等于 （ ）
A.AC·BC B.AD·AE C.AD·DE D.BD·DC
答案：B
解析：
解答：如图,连接BE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠ABC=∠AEB.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE=AD∶AB,
即AB2=AD·AE.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
9. 如图,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A.80° B.100° C.120° D.130°
答案：D
解析：解答：∵∠AOB=100°,∴的度数为100°.∴∠ACB= =130°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
二、填空题
10. 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD= °.
答案：105
解析：解答：BAD是所对的圆周角,∠BCD是所对的圆周角,则所对的圆心角为2×75°=150°.
又∵和所对圆心角的和是周角360°,
∴所对圆心角是360°-150°=210°,
∴所对圆周角∠BCD=×210°=105°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
11. 如图,弦AC与BD相交于圆内一点P,且AB=10,CD=5,BP=8,则PC= .
答案：4
解析：解答：∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△ABP∽△DCP.
∴.∴ ,解得PC=4.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析即可
12. 如图,AC是☉O的直径,B是圆上一点,∠ABC的平分线与☉O相交于点D,已知BC=1,AB=,则AD= .
答案：
解析：解答：如图,连接OD,由于AC是☉O的直径,
则∠ABC=90°.
又BC=1,AB= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,
则AC=
= =2,
所以OA=OD=AC=1.
又∠AOD=2∠ABD=∠ABC=90°,
故△AOD是等腰直角三角形,
则AD=OA= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ×1= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 .
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析计算即可，难度不大
13. 如图,点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于 度。
答案：60
解析：解答：∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析计算即可
14. AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3BD,则= .
答案：
解析：解答：如图,连接AC,BC,则
∠ACB=90°.
设BD=k,则AD=3k.
∵CD⊥AB,
∴CD2=AD·BD=3k2.
∴CD=k,
∴
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析即可
15. 如图,两个同心圆中, 的度数是30°,且大圆的半径R=4,小圆的半径r=2,则的度数是 度.
答案：30
解析：解答：的度数等于∠AOB,又的度数也等于∠AOB,则的度数是30°.
分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理分析即可
三、解答题
16. 如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与BC边和☉O分别交于点D,E.
（1）指出图中相似的三角形,并说明理由;
答案：解：△ABD∽△CED,△AEC∽△CED
理由：∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.
（2）若EC=4,DE=2,求AD的长.
答案：解：∵△CED∽△AEC,∴
∴CE2=ED·AE,
∴16=2AE,∴AE=8.
∴AD=AE-DE=6.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是 （1）本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;（2）要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,再求其长度.
17. 如图,已知△ABC内接于☉O,,点D是上任意一点,AD与BC交于点E,AD=6 cm,BD=5 cm,CD=3 cm,求DE的长.
答案：解：∵,∴∠ADB=∠CDE.
又∵,∴∠BAD=∠ECD,
∴△ABD∽△CED,
∴,即 ,∴ED=2.5 （cm）.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理根据所给条件结合定理进行计算即可
18. 如图,BC为圆O的直径,AD⊥BC,,BF和AD相交于E,求证:AE=BE
答案：证明：∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC为直角.
又∵AD⊥BC,
∴Rt△BDA∽Rt△BAC.
∴∠BAD=∠ACB.
∵,
∴∠FBA=∠ACB,
∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE为等腰三角形.
∴AE=BE.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理要证明AE=BE,只需在△ABE中证明∠ABE=∠EAB,而要证明这两个角相等,只需借助建立与∠ACB的关系即可
19. 如图,△ABC内接于☉O,D,E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2,求证:AB=AC.
答案：证明：如图,延长AD,AE分别交☉O于点F,G,连接BF,CG.
∵∠1=∠2,∴,∴BF=CG,,∴∠FBD=∠GCE.
又∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴,
∴AB=AC.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件构造辅助线计算即可
20. 如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,求证:BD=DC
答案：证明：如图,连接AD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵AC=AB,
∴BD=CD.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
21. 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,AD的延长线交外接圆于点F,求证:.
答案：证明：∵AE是直径,
∴∠ABE=90°.
又∵∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠ABE.
又∵∠AEB=∠DCA,
∴△ABE∽△ADC.
∴∠BAE=∠FAC,
∴
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是转化为证明∠BAE=∠FAC,再转化为证明△ABE∽△ADC.
22. 如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
（1）证明:△ABE∽△ADC;
答案：证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAD.
又∵∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角,
∴∠AEB=∠ACD.
∴△ABE∽△ADC.
（2）若△ABC的面积S= AD·AE,求∠BAC的大小.
答案：解:∵△ABE∽△ADC,
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,
即AB·AC=AD·AE.
又S= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AB·ACsin∠BAC,且S= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 AD·AE,
∴AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
∴sin∠BAC=1.
又∵∠BAC为三角形的内角,
∴∠BAC=90°.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是:（1）证明两个三角形的两个角对应相等;（2）利用（1）的结论和三角形面积公式,转化为求sin∠BAC.
23. 如图,☉O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=AC,连接AD交☉O于点E,连接BE与AC交于点F,求证:BE平分∠ABC.
答案：证明：∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.
又∵∠ACB=∠D+∠CAD,
∴∠ACB=2∠CAD.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC=2∠CAD.
又∵∠EBC=∠CAD,
∴∠ABC=2∠EBC,即BE平分∠ABC.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是根据圆周角定理结合所学条件分析证明即可
24. 如图,☉O是△ABC的外接圆,D是的中点,BD交AC于点E.
（1）求证:CD2=DE·DB;
答案：证明:由已知,得∠ABD=∠CBD.
又∵∠ECD=∠ABD,∴∠CBD=∠ECD.
又∵∠BDC=∠CDE,
∴△BCD∽△CED.
∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,即CD2=DE·DB.
（2）若CD=2,O到AC的距离为1,求☉O的半径.
答案：解:如图,连接OD交AC于点F,连接OC.
∵D是的中点,∴OD⊥AC,垂足为点F.
在Rt△CFO中,OF=1,设☉O的半径OC=R,
∴CF= .
在Rt△CFD中,DC2=CF2+DF2.
∴（2）2=（R2-1）+（R-1）2,
整理得R2-R-6=0,解得R=3或R=-2（舍去）,
∴R=3,即☉O的半径为3.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是 （1）转化为证明△BCD与△CED相似;（2）作出点O到AC的距离,利用勾股定理列出方程求解.
25. 足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好;沿着球门跑,射点要选好.”可见踢足球是有“学问”的.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到点A时,乙已跟随冲到点B,此时是甲直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好
答案：解：如图,连接MB,MA,NA,NB,MA交圆于点C,连接NC,
则∠MBN=∠MCN.
又∵∠MCN>∠MAN,
∴∠MBN>∠MAN.
∴甲应该传给乙,让乙射门好.
解析：分析：本题主要考查了圆周角定理，解决问题的关键是要确定较好的射门位置,关键是看这两点各自对球门MN的张角大小,当张角较小时,普通被对方守门员拦截
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