人教新课标A版选修4-1数学2.2圆内接四边形的性质与判定定理同步检测
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| 名称 | 人教新课标A版选修4-1数学2.2圆内接四边形的性质与判定定理同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 478.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 11:10:13 | ||
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文档简介
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2.2圆内接四边形的性质与判定定理同步检测
一、选择题
1. 四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于（ ）
A.25° B.75° C.115° D.155°
答案：D
解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∵∠A=25°,∴∠C=180°-∠A=155°
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
2. 如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若∠ADC=32°,则∠CBE等于（ ）
A.32° B.58°
C.64° D.148°
答案：A
解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠CBE=∠ADC=32°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
3. 下列四边形的四个顶点共圆的是（ ）
A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形
答案：B
解析：解答：根据四边形性质与判断定理可知矩形四点共圆.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
4. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于 （ ）
A.20° B.40° C.80° D.100°
答案：
解析：解答：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得∠CBE=∠COA=40°.故选B.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据 “外角等于它的内角的对角”的准确含义.所谓的“内角的对角”通常是指圆周角.
5. 下列说法正确的有（ ）
①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角;
②圆内接四边形的对角相等;
③圆内接四边形不能是梯形;
④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：B
解析：解答：①是圆内接四边形的性质定理2,则①正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,则②不正确;圆的内接四边形可以是梯形,则③不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形,则④不正确
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
6. 圆内接平行四边形的对角线（ ）
A.互相垂直 B.互相垂直平分
C.互相平分且相等 D.相等且平分每组对角
答案：C
解析：解答：圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
7. 如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点P,对角线AC和BD交于点Q,则图中共有相似三角形的对数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：A
解析：解答：利用圆周角和圆内接四边形的性质,可得△PCD∽△PAB,△QCD∽△QBA,△AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD,因此共有4对.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
8. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AH⊥CD,如果∠HAD=30°,那么∠B=（ ）
A.90° B.120°
C.135° D.150°
答案：B
解析：解答：∵AH⊥CD,∴∠AHD=90°.
∵∠HAD=30°,∴∠D=90°-∠HAD=60°.
又∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠B=180°-∠D=120°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算
9. 如图,在☉O中,弦AB的长等于半径,若∠DAE=80°,则∠ACD=（ ）
A.30° B.45° C.50° D.60°
答案：C
解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DAE=∠BCD=80°.
∵弦AB的长等于半径,∴弦AB所对圆心角为60°.
∴∠ACB=×60°=30°.∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理集合所给条件计算即可
二、填空题
10. 四边形ABCD内接于圆O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D= °.
答案：120
解析：解答：∵圆的内接四边形的对角互补,
∴∠A+∠C=180°.
又∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,
∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=140°.
又∵∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-60°=120°
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
11. 如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠BAC=20°,, 则∠DAC= °.
答案：35
解析：解答：∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°.
又∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.
则在△ADC中,∠DAC+∠DCA=70°.
又∵,∴∠DAC=∠DCA.
∴∠DAC=35°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给几何特征满足条件分析计算即可
12. 如图,☉O1与☉O2相交于点A,B,且☉O2经过点O1,若∠D=40°,则∠C= °.
答案：70
解析：解答：如图,连接O1A,O1B,
则四边形AO1BD内接于☉O2,
故∠AO1B+∠D=180°.
又∵∠D=40°,∴∠AO1B=140°,
∴∠ACB=∠AO1B=×140°=70°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
13. 如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若,则 的值为 .
答案：
解析：解答：由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,
则△PAD∽△PCB,故 .
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算即可
14. 如图,两圆相交于A,B两点,过点A的直线交两圆于点C,D,过点B的直线交两圆于点E,F,连接CE,DF,若∠C=95°,则∠D= °.
答案：85
解析：解答：∵A,B,C,E四点共圆,∴∠ABE+∠C=180°,
∴∠ABE=180°-95°=85°.
又∵∠ABE是四边形ABFD的外角,
∴∠D=∠ABE=85°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算即可
15. 已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD的面积等于
答案：8
解析：解答：由于四点共圆,∴∠B+∠D=180°.
∴cos B=-cos D.
根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D,
∴AC2=22+62-2×2×6cos B
=22+62+2×2×6cos D,
AC2=42+42-2×4×4cos D,
∴cos D=-,sin D=sin B=.
∴四边形ABCD的面积=AB·BC·sin B+AD·DC·sin D=8
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件根据余弦定理计算即可
三、解答题
16. 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°,求证:四边形ABCD内接于圆.
答案：证明：∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.
则∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.
∴四边形ABCD内接于圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
17. 如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且AP⊥BC于点P,求证:E,D,P,F四点共圆.
答案：证明：如图,连接PF.
∵AP⊥BC,F为AC的中点,
∴PF是Rt△APC斜边上的中线.
∴PF=FC,∴∠FPC=∠C.
∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,
∴EF∥CD,ED∥FC.
∴四边形EDCF为平行四边形.
∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED.
∴E,D,P,F四点共圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,利用中点证明∠FED=∠C,利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出∠FED=∠FPC.
18. 在锐角△ABC中,AD是BC边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是垂足.
求证:E,B,C,F四点共圆.
答案：证明：如图,连接EF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴A,E,D,F四点共圆.
∴∠1=∠2.
∵AD是BC边上的高,∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°.
∴∠BEF+∠C=180°.∴B,E,F,C四点共圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件最高辅助线计算即可
19. 如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:∠CFG=∠DGF.
答案：证明：∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠EBF=∠ADE.
又EF是∠AED的平分线,
则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG.
∴∠EFB=∠DGF.
又∵∠EFB=∠CFG,
∴∠CFG=∠DGF.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
20. 如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F.
（1）证明:若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
答案：证明：如图,连接AE,AF,AC,AD,
则∠3=∠4,∠5=∠6.
又∵∠1=∠2,∴.
∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD.
故CE=DF.
（2）证明:若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
答案：证明：由（1）得∠3=∠4,∠5=∠6.
又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD,
∴AD=AE,
∴∠1=∠2,即∠DBA=∠CBA.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件构造辅助线证明即可
21. 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.
答案：证明：如图,连接EF.
∵ABCD为平行四边形,
∴∠B+∠C=180°.
∵四边形ABFE内接于圆,
∴∠B+∠AEF=180°.
∴∠AEF=∠C.
∴C,D,E,F四点共圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给图像构造辅助线证明即可
22. 如图,AB,CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点,延长FD,AB使它们交于点E.求证:AE·AC=AF·DE.
答案：证明：如图,连接BD,
∵AB∥CD,∴BD=AC.
∵A,B,D,F四点共圆,
∴∠EBD=∠F.
又∵∠DEB=∠FEA,
∴△EBD∽△EFA.
∴ .∴,
即AE·AC=AF·DE.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件构造辅助线计算即可
23. 如图,两圆相交于A,B两点,过点A作两直线CD,EF分别交两圆于点C,D和点E,F.若∠EAB=∠DAB,求证:CD=EF.
答案：证明：如图,连接CB,BF,
因为四边形ABEC为圆内接四边形,
所以∠2=∠CEB.
又因为∠1=∠ECB,∠1=∠2,
所以∠CEB=∠ECB.所以BC=BE.
又因为∠BCD=∠BEF,∠D=∠F,BC=BE,
所以△CBD≌△EBF.
所以CD=EF.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据连接CB,BF,要证CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF即可.
24. 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,∠B=60°,点F在AC上,且AE=AF.
（1）证明B,D,H,E四点共圆;
答案：证明：∵在△ABC中,∠B=60°,
∴∠BAC+∠BCA=120°.
∵AD,CE是角平分线,
∴∠HAC+∠HCA=60°.
∴∠AHC=180°-∠HAC-∠HCA=120°.
∴∠EHD=∠AHC=120°.
∴∠EBD+∠EHD=180°.
∴B,D,H,E四点共圆.
（2）证明CE平分∠DEF.
答案：证明：如图,连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°.
由（1）知B,D,H,E四点共圆,
∴∠CED=∠HBD=30°,∠AHE=∠EBD=60°.
又∵AE=AF,AD平分∠BAC,∴EF⊥AD.
∴∠CEF=30°.∴∠CEF=∠CED.
∴CE平分∠DEF.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理构造辅助线证明即可
25. 如图,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过点P作正方形的边的垂线,垂足分别为点E,F,G,H.你能判断出点E,F,G,H是否在同一个圆上吗 试证明你的猜想.
答案：解：猜想:E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.
证明如下:如图,连接OE,OF,OG,OH.
在△OBE,△OBF,△OCG,△OAH中,OB=OC=OA.
∵四边形PEBF为正方形,∴BE=BF=CG=AH,
∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°.
∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.
∴OE=OF=OG=OH.
由圆的定义,可知E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点在以O为圆心的圆上,于是连接线段OE,OF,OG,OH,再设法证明这四条线段相等.
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2.2圆内接四边形的性质与判定定理同步检测
一、选择题
1. 四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于（ ）
A.25° B.75° C.115° D.155°
答案：D
解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∵∠A=25°,∴∠C=180°-∠A=155°
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
2. 如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若∠ADC=32°,则∠CBE等于（ ）
A.32° B.58°
C.64° D.148°
答案：A
解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠CBE=∠ADC=32°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
3. 下列四边形的四个顶点共圆的是（ ）
A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形
答案：B
解析：解答：根据四边形性质与判断定理可知矩形四点共圆.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
4. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于 （ ）
A.20° B.40° C.80° D.100°
答案：
解析：解答：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得∠CBE=∠COA=40°.故选B.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据 “外角等于它的内角的对角”的准确含义.所谓的“内角的对角”通常是指圆周角.
5. 下列说法正确的有（ ）
①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角;
②圆内接四边形的对角相等;
③圆内接四边形不能是梯形;
④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：B
解析：解答：①是圆内接四边形的性质定理2,则①正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,则②不正确;圆的内接四边形可以是梯形,则③不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形,则④不正确
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
6. 圆内接平行四边形的对角线（ ）
A.互相垂直 B.互相垂直平分
C.互相平分且相等 D.相等且平分每组对角
答案：C
解析：解答：圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
7. 如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点P,对角线AC和BD交于点Q,则图中共有相似三角形的对数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：A
解析：解答：利用圆周角和圆内接四边形的性质,可得△PCD∽△PAB,△QCD∽△QBA,△AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD,因此共有4对.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
8. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AH⊥CD,如果∠HAD=30°,那么∠B=（ ）
A.90° B.120°
C.135° D.150°
答案：B
解析：解答：∵AH⊥CD,∴∠AHD=90°.
∵∠HAD=30°,∴∠D=90°-∠HAD=60°.
又∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠B=180°-∠D=120°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算
9. 如图,在☉O中,弦AB的长等于半径,若∠DAE=80°,则∠ACD=（ ）
A.30° B.45° C.50° D.60°
答案：C
解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DAE=∠BCD=80°.
∵弦AB的长等于半径,∴弦AB所对圆心角为60°.
∴∠ACB=×60°=30°.∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理集合所给条件计算即可
二、填空题
10. 四边形ABCD内接于圆O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D= °.
答案：120
解析：解答：∵圆的内接四边形的对角互补,
∴∠A+∠C=180°.
又∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,
∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=140°.
又∵∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-60°=120°
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
11. 如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠BAC=20°,, 则∠DAC= °.
答案：35
解析：解答：∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°.
又∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.
则在△ADC中,∠DAC+∠DCA=70°.
又∵,∴∠DAC=∠DCA.
∴∠DAC=35°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给几何特征满足条件分析计算即可
12. 如图,☉O1与☉O2相交于点A,B,且☉O2经过点O1,若∠D=40°,则∠C= °.
答案：70
解析：解答：如图,连接O1A,O1B,
则四边形AO1BD内接于☉O2,
故∠AO1B+∠D=180°.
又∵∠D=40°,∴∠AO1B=140°,
∴∠ACB=∠AO1B=×140°=70°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
13. 如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若,则 的值为 .
答案：
解析：解答：由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,
则△PAD∽△PCB,故 .
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算即可
14. 如图,两圆相交于A,B两点,过点A的直线交两圆于点C,D,过点B的直线交两圆于点E,F,连接CE,DF,若∠C=95°,则∠D= °.
答案：85
解析：解答：∵A,B,C,E四点共圆,∴∠ABE+∠C=180°,
∴∠ABE=180°-95°=85°.
又∵∠ABE是四边形ABFD的外角,
∴∠D=∠ABE=85°.
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算即可
15. 已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD的面积等于
答案：8
解析：解答：由于四点共圆,∴∠B+∠D=180°.
∴cos B=-cos D.
根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D,
∴AC2=22+62-2×2×6cos B
=22+62+2×2×6cos D,
AC2=42+42-2×4×4cos D,
∴cos D=-,sin D=sin B=.
∴四边形ABCD的面积=AB·BC·sin B+AD·DC·sin D=8
分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件根据余弦定理计算即可
三、解答题
16. 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°,求证:四边形ABCD内接于圆.
答案：证明：∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.
则∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.
∴四边形ABCD内接于圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可
17. 如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且AP⊥BC于点P,求证:E,D,P,F四点共圆.
答案：证明：如图,连接PF.
∵AP⊥BC,F为AC的中点,
∴PF是Rt△APC斜边上的中线.
∴PF=FC,∴∠FPC=∠C.
∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,
∴EF∥CD,ED∥FC.
∴四边形EDCF为平行四边形.
∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED.
∴E,D,P,F四点共圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,利用中点证明∠FED=∠C,利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出∠FED=∠FPC.
18. 在锐角△ABC中,AD是BC边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是垂足.
求证:E,B,C,F四点共圆.
答案：证明：如图,连接EF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴A,E,D,F四点共圆.
∴∠1=∠2.
∵AD是BC边上的高,∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°.
∴∠BEF+∠C=180°.∴B,E,F,C四点共圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件最高辅助线计算即可
19. 如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:∠CFG=∠DGF.
答案：证明：∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠EBF=∠ADE.
又EF是∠AED的平分线,
则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG.
∴∠EFB=∠DGF.
又∵∠EFB=∠CFG,
∴∠CFG=∠DGF.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可
20. 如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F.
（1）证明:若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
答案：证明：如图,连接AE,AF,AC,AD,
则∠3=∠4,∠5=∠6.
又∵∠1=∠2,∴.
∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD.
故CE=DF.
（2）证明:若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
答案：证明：由（1）得∠3=∠4,∠5=∠6.
又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD,
∴AD=AE,
∴∠1=∠2,即∠DBA=∠CBA.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件构造辅助线证明即可
21. 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.
答案：证明：如图,连接EF.
∵ABCD为平行四边形,
∴∠B+∠C=180°.
∵四边形ABFE内接于圆,
∴∠B+∠AEF=180°.
∴∠AEF=∠C.
∴C,D,E,F四点共圆.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给图像构造辅助线证明即可
22. 如图,AB,CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点,延长FD,AB使它们交于点E.求证:AE·AC=AF·DE.
答案：证明：如图,连接BD,
∵AB∥CD,∴BD=AC.
∵A,B,D,F四点共圆,
∴∠EBD=∠F.
又∵∠DEB=∠FEA,
∴△EBD∽△EFA.
∴ .∴,
即AE·AC=AF·DE.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件构造辅助线计算即可
23. 如图,两圆相交于A,B两点,过点A作两直线CD,EF分别交两圆于点C,D和点E,F.若∠EAB=∠DAB,求证:CD=EF.
答案：证明：如图,连接CB,BF,
因为四边形ABEC为圆内接四边形,
所以∠2=∠CEB.
又因为∠1=∠ECB,∠1=∠2,
所以∠CEB=∠ECB.所以BC=BE.
又因为∠BCD=∠BEF,∠D=∠F,BC=BE,
所以△CBD≌△EBF.
所以CD=EF.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据连接CB,BF,要证CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF即可.
24. 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,∠B=60°,点F在AC上,且AE=AF.
（1）证明B,D,H,E四点共圆;
答案：证明：∵在△ABC中,∠B=60°,
∴∠BAC+∠BCA=120°.
∵AD,CE是角平分线,
∴∠HAC+∠HCA=60°.
∴∠AHC=180°-∠HAC-∠HCA=120°.
∴∠EHD=∠AHC=120°.
∴∠EBD+∠EHD=180°.
∴B,D,H,E四点共圆.
（2）证明CE平分∠DEF.
答案：证明：如图,连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°.
由（1）知B,D,H,E四点共圆,
∴∠CED=∠HBD=30°,∠AHE=∠EBD=60°.
又∵AE=AF,AD平分∠BAC,∴EF⊥AD.
∴∠CEF=30°.∴∠CEF=∠CED.
∴CE平分∠DEF.
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理构造辅助线证明即可
25. 如图,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过点P作正方形的边的垂线,垂足分别为点E,F,G,H.你能判断出点E,F,G,H是否在同一个圆上吗 试证明你的猜想.
答案：解：猜想:E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.
证明如下:如图,连接OE,OF,OG,OH.
在△OBE,△OBF,△OCG,△OAH中,OB=OC=OA.
∵四边形PEBF为正方形,∴BE=BF=CG=AH,
∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°.
∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.
∴OE=OF=OG=OH.
由圆的定义,可知E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上
解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点在以O为圆心的圆上,于是连接线段OE,OF,OG,OH,再设法证明这四条线段相等.
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