人教新课标A版选修4-1数学2.4弦切角的性质同步检测

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2.4弦切角的性质同步检测
一、选择题
1. 如图,AB是☉O的一条弦,D是☉O上的任一点(不与A,B重合),则下列为弦切角的是( )
A.∠ADB B.∠AOB
C.∠ABC D.∠BAO
答案：C
解析：解答：∠ADB是圆周角,∠AOB是圆心角,∠ABC是弦切角,∠BAO不是弦切角
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析即可
2. 如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点,∠PQM=70°,则∠NMP等于( )
A.20° B.70° C.110° D.160°
答案：B
解析：解答：∵∠NMP是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质分析即可
3. 过圆内接△ABC的顶点A引☉O的切线交BC的延长线于点D,若∠B=35°,∠ACB=80°,则∠D为 ( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
答案：A
解析：解答：如图,∵AD为☉O的切线,∴∠DAC=∠B=35°.
又∵∠ACB=80°,∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析计算即可
4. 如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为( )
A.105° B.115° C.120° D.125°
答案：B
解析：解答：如图,连接BD,
∵PC与☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.又∵AB是直径,
∴∠ADB=90°.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+25°=115°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析计算即可
5. 如图,PQ为☉O的切线,A是切点,∠BAQ=55°,则∠ADB=( )
A.55° B.110° C.125° D.155°
答案：C
解析：解答：∵PQ是切线,∴∠C=∠BAQ=55°.又∵四边形ADBC内接于圆,
∴∠ADB=180°-∠C=180°-55°=125°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质分析计算即可解决
6. 如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于( )
A.14° B.38° C.52° D.76°
答案：B
解析：解答：∵EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=∠BOC=38°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给图形分析计算即可
7. 如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于 ( )
A.32° B.42° C.52° D.48°
答案：C
解析：解答：连接AC,如图.
∵MN切☉O于点C,BC是弦,
∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.
∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合圆的性质分析计算即可
8. 如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.4
答案：C
解析：解答：连接BC,如图.
∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.
又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.
∴△ADC∽△ACB.∴
∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 .
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合三角形的相似性分析计算即可
9. 如图,∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：解答：∵AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED.
同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.
连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.
∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.
又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC,∴∠CBD=∠BOC.
∴与∠CBD相等的角共有3个.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给图形满足条件运用三角形全等有关性质分析即可
10. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：解答：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，∠B+∠BCN=90°，∠D+∠BCM=90°．
故选C．
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质由弦切角定理圆周角定理得∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B，再由AB为直径，得∠ACB=90°，则∠B、∠D、∠ACM，都是∠BCN的余角．
二、填空题
11. 如图,△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD= °.
答案：52
解析：解答：∵∠C+∠B+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.
又AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°.∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是不要误认为∠BAD是弦切角.虽然AD⊥AC,但AD不是切线
12. 如图,AD切☉O于点F,FB,FC为☉O的两弦,请列出图中所有的弦切角 .
答案：∠AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB
解析：解答：∠AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析即可
13. 如图,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=30°,则☉O的面积是
答案：4π
解析：解答：∵DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.
又∵AB是直径,∴∠ACB=90°.又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,
∴OA=AB=2.∴☉O的面积为S=π·OA2=4π.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析计算即可
14. 如图,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于点B,C,若∠ACE=40°,则∠P= °.
答案：80
解析：解答：如图,连接BC,则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.
所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.
又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.又四边形ABPC的内角和等于360°,
所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析计算即可
15. 如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为点D,则线段CD的长为 .
答案：
解析：解答：∵直线l是圆O的切线,∴∠ACD=∠ABC,
∠BCE=∠BAC.又AB是直径,∴AC⊥BC.
∵BC=3,AB=6,∴∠ABC=60°.∴AC=3.
又∠ACD=∠ABC,∴∠ACD=60°.
又AD⊥l,∴CD=ACcos 60°=.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析计算即可
三、解答题
16. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的☉O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于点E,F.求证:EF∥BC.
答案：证明：连接DF,如图所示,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC.
∵∠EFD=∠BAD,
∴∠EFD=∠DAC.
∵BC切☉O于点D,
∴∠FDC=∠DAC.
∴∠EFD=∠FDC.
∴EF∥BC.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,由此得到∠EFD与∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行.
17. 如图,△ABC内接于☉O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE. 求证:BE∥DG.
答案：证明：∵CG为☉O的切线,∴∠EBC=∠GCE.
∵CB=CE,∴ ,∴∠EBC=∠E.
∴∠E=∠GCE.∴DG∥BE.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析证明即可
18. 已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点D,CD的延长线交过B点的切线于点E. 求证:
答案：证明：连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.
又BE为☉O的切线,
∴∠EBD=∠BAD,
∴∠EBD=∠BCD.
故在△BED和△CEB中,
∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,
∴△BED∽△CEB.
∴,∴
又BD=CD,∴
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比例式的形式,借助相似三角形的性质得出结论.
19. 如图,AB为☉O的直径,弦CD∥AB,AE切☉O于点A,交CD的延长线于点E.求证:BC2=AB·DE.
答案：
解析：解答：如图,连接BD,OD,OC.
∵AE切☉O于点A,
∴∠EAD=∠ABD,
且AE⊥AB.
又AB∥CD,
∴AE⊥CE,∴∠E=90°.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠E=∠ADB,∴△ADE∽△BAD,∴
∴AD2=AB·DE.
∵CD∥AB,∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠2=∠4,∴∠1=∠3,∴
∴AD=BC,∴BC2=AB·DE.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给圆的性质分析计算即可
20. 如图,四边形ABED内接于☉O,AB∥DE,AC切☉O于点A,交ED延长线于点C.
求证:AD∶AB=DC∶BE.
答案：解答：∵四边形ABED内接于☉O,
∴∠ADC=∠ABE.
∵AC是☉O的切线,∴∠CAD=∠AED.
∵AB∥DE,∴∠BAE=∠AED.
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD∽△AEB.
∴AD∶AB=DC∶BE.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质求证成比例的四条线段在两个三角形△ACD和△ABE中,所以只要证明△ACD∽△AEB即可
21. 如图,已知圆上的,过C点的圆的切线与BA的延长线交于点E,
(1) 证明:∠ACE=∠BCD;
答案：证明：∵ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,∴∠BCD=∠ABC.
又∵EC与圆相切于点C,
∴∠ACE=∠ABC.∴∠ACE=∠BCD.
(2) 证明:BC2=BE·CD.
答案：证明：∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,
∴ △BDC∽△ECB.∴
即BC2=BE·CD.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质:(1)证明这两个角都等于∠ABC;(2)转化为证明△BDC∽△ECB
22. 如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上一点(异于点A,B),过点C作圆O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D,AD交半圆于点E.求证:CB=CE.
答案：证明：连接BE,如图.
因为AB是半圆O的直径,点E为圆周上一点,
所以∠AEB=90°,
即BE⊥AD.
又因为AD⊥l,所以BE∥l.
所以∠DCE=∠CEB.
因为直线l是圆O的切线,
所以∠DCE=∠CBE.
所以∠CBE=∠CEB,故CE=CB.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质转化为证明∠CBE=∠CEB.
23. 如图,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.
答案：证明：如图,过点B作☉O的切线BG,
则AB⊥BG.
又AD是☉O的切线,
∴AD⊥AB,∴BG∥AD,
∴∠GBC=∠BDF.
又∵∠GBC=∠BEC,
∴∠BEC=∠BDF.
又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.
∴ .∴BE·BF=BC·BD.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质要证BE·BF=BC·BD,只需证,即证明△BEC∽△BDF.由∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.
24. 如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
答案：证明：∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.
又∠BAE=∠CDB,
∴∠BAE=∠DCN.
又直线MN是☉O的切线,
∴∠DCN=∠CAD.
∴∠BAE=∠CAD.
又∠ABE=∠ACD,AB=AC,
∴△ABE≌△ACD.
(2)求证:BE=BC.
答案：证明：∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,
∴∠EBC=∠BDC.
∴CB=CD.
∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,
∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.
又AB=AC,
∴∠ABC=∠ECB.
∴∠BEC=∠ECB.
∴BE=BC.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质(1)由已知,得∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB.
25. 如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.
(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系;
答案：解：∵PC是切线,
∴∠BCP=∠A.
又∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,
∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.
∴2∠BCP+∠P+90°=180°.
∴∠P=90°-2∠BCP.
(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系
答案：解：若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.
∴∠P=30°,∴PB=BC,BC=AB.
∴PB=PA,即PA=3PB.
(3)∠A可能等于45°吗 为什么
答案：解：∠A不可能等于45°.
原因:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°,
∴CP∥AB,与题干中PC与AB交于点P矛盾,
∴∠A不可能等于45°.
解析：分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给几何条件分析计算即可解决问题，有一定难度.
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