人教新课标A版选修4-1数学2.5与圆有关的比例线段同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-1数学2.5与圆有关的比例线段同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 463.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 11:41:41 | ||
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文档简介
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2.5与圆有关的比例线段同步检测
一、选择题
1. 如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：解答：∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段分析计算即可
2. 如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于（ ）
A.2 B.4 C.8 D.不确定
答案：C
解析：解答：∵PA·PB=PC·PD,∴PA·PB=4×2=8.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
3. 如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于（ ）
A.4 B.6 C.9 D.36
答案：B
解析：解答：∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的有关性质计算即可
4. 圆内两弦相交,其中一条弦长为8 cm,且被交点平分,另一条被交点分为1∶4的两部分,则这条弦长为（ ）
A.2 cm B.8 cm C.10 cm D.16 cm
答案：C
解析：解答：设所求弦长为5k cm,则由相交弦定理得42=k·4k,则k=2,k=-2（舍去）,故所求弦长为5k=5×2=10（cm）.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质计算即可
5. 如图,CD是☉O的直径,AB⊥CD,垂足为点P,AP=4,PD=2,则PO等于（ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
答案：B
解析：解答：设☉O的半径为r,∵AP·PB=CP·PD,AP=PB=4,PD=2,
∴42=（2r-2）×2,∴r=5.∴PO=r-2=3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
6. 如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线.若PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于（ ）
A.4 B.8 C.9 D.12
答案：C
解析：解答：PT2=PA·PB=PC·PD,则PD==9.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
7. 如图,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,PA=7,在劣弧上任取一点C,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E,则△PDE的周长是（ ）
A.7 B.10 C.14 D.28
答案：C
解析：解答：∵DA,DC为☉O的切线,∴DA=DC.同理EB=EC.
∴△PDE的周长=PD+PE+DE=（PD+DC）+（PE+CE）=（PD+DA）+（PE+EB）=PA+PB=7+7=14.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质结合所给几何图形的条件分析计算即可
8. 已知☉O的弦AB过弦CD的三等分点M,AM和BM是方程3x2+2mx+18=0的两个根,则CD的长为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：解答：∵AM和BM是3x2+2mx+18=0的两根,∴AM·BM==6.
又AB和CD相交于点M,∴CM·MD=AM·BM=6.
∴CD·CD=6,∴CD=3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段分析满足的性质计算即可
9. 如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：由相交弦定理得PA·PB=PC·PD.
又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,
CD=PC+PD=5.
如图,过圆心O作CD的垂线OE交CD于点E,则E为CD的中点,
∴OE=
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质分析计算即可
二、填空题
10. 如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为A,B,∠P=80°,则∠C= °.
答案：50
解析：解答：∵PA,PB分别为☉O的切线,∴PA=PB.
又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°.
∴∠ACB=∠PAB=50°.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质计算即可
11. 如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径 r= .
答案：2
解析：解答：如图,作直线OA交☉O于E,F两点,
则AE=r-10,AF=r+10.
由相交弦定理,得（r-10）（r+10）=64,解得r1=2,r2=-2（不合题意,舍去）.
故r=2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段结合相交弦定理计算即可
12. 如图,PB和PD为圆的两条割线,分别交圆于点A,B和点C,D.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD=
答案：1∶3
解析：解答：由割线定理,得PA·PB=PC·PD, ①
即 又∵∠P为公共角,
∴△PAC∽△PDB.∴ ②
又∵PA=5,AB=7,CD=11,
∴PB=PA+AB=12.
由①式,得5×12=PC（PC+11）,
解得PC=4或PC=-15（舍去）.
∴PD=PC+CD=4+11=15.
由②式,得,即AC∶BD=1∶3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质结合有关三角形的相似性计算即可
13. 如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,E,交AB于点C,图中互相垂直的线段有 .（只要求写出一对线段）
答案：AB⊥OP（答案不唯一）
解析：解答：如题图,由于PA,PB均为☉O的切线,∴PA⊥OA,PB⊥OB.
又由切线长定理得PA=PB,OP为∠APB的平分线,∴AB⊥OP,故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质分析即可
14. 如图,A,B,C是☉O上的三点,BE切☉O于点B,D是CE与☉O的交点.若∠BAC=70°,则∠CBE= ;若BE=2,CE=4,则CD= .
答案：70|3
解析：解答：由于BE是☉O的切线,则∠CBE=∠BAC=70°.
由切割线定理,知EB2=ED·EC.又BE=2,CE=4,则ED==1.
所以CD=CE-ED=3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质计算即可
15. 如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB= .
答案：4
解析：解答：由题意知PA=PB.
PA切☉O于点A,由切割线定理,得QA2=QC·QD=1×（1+3）=4.
∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质定理分析计算即可
16. 如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=2,PC=4,圆心O到BC的距离为,则圆O的半径为 .
答案：2
解析：解答：如图,取BC的中点D,连接OD和OB,
则OD⊥BC.已知OD=,
则BC=2BD
=2=2
由于PA是圆O的切线,
所以PA2=PB·PC.
又PA=2,PC=4,所以PB==2.
则BC=PC-PB=2.
所以2=2,解得OB=2,
即圆O的半径为2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质分析计算即可
17. 从圆外一点P向圆引两条割线PAB,PCD,分别与圆相交于点A,B,C,D,如果PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=
答案：2
解析：解答：由割线定理,得PA·PB=PC·PD,故4×（4+AB）=3×（3+5）,解得AB=2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的割线定理计算即可
18. 如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为 .
答案：
解析：解答：已知AE为圆的切线,
由切割线定理,得AE2=EB·ED.
又AE=6,BD=5,可解得EB=4.
∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,
∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.
∴EA∥BC.又BD∥AC,
∴四边形EBCA为平行四边形.
∴BC=AE=6,AC=EB=4.
由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,
∴,
又CF+BF=BC=6,
∴CF=
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的割线定理结合平行四边形性质分析计算即可
19. 如图,☉O中的弦CD与直径AB相交于点E,M为AB延长线上一点,MD为☉O的切线,D为切点,若AE=2,DE=4,CE=3,DM=4,则OB= ,MB= .
答案：4|4-4
解析：
解答：由于AB和CD是☉O的两条相交弦,
则AE·EB=CE·ED.即2EB=3×4.
所以EB=6,故AB=AE+EB=2+6=8.所以OB=AB=4.
由于MD为☉O的切线,
则MD2=MB·MA=MB·（MB+AB）,
所以42=MB·（MB+8）,解得MB=-4±4.
由于MB>0,则MB=4-4.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质计算即可
三、解答题
20. 如图,已知☉O的割线PAB交☉O于点A和点B,PA=6 cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求☉O的半径.
答案：解答：如图,将PO延长交☉O于D.
根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD.
设☉O的半径为r cm,则
6×（6+8）=（10.9-r）（10.9+r）,
解得r=5.9,即☉O的半径为5.9 cm.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用割线定理解题即可.
21. 如图,AB切☉O于点B,ACD为割线,E为的中点,BE交DC于点F,求证:AF2=AC·AD.
答案：证明：如图,连接BC,BD.
∵E为的中点,∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,∴∠ABF=∠AFB.
∴AB=AF.
又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,
∴AF2=AC·AD.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段由切割线定理可知AC·AD=AB2,故只需证明AF=AB即可
22. 如图,自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B,C两点,求证:∠MCP=∠MPB.
答案：证明：∵PA与圆相切于A,
∴MA2=MB·MC.
∵M为PA的中点,
∴PM=MA,
∴PM2=MB·MC,
∴.
∵∠BMP=∠PMC,
∴△BMP∽△PMC,
∴∠MCP=∠MPB.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段结合切割线定理分析即可
23. 如图,已知P为☉O外一点,OP与☉O交于点A,割线PBC与☉O交于点B,C,且PB=BC.如果OA=7,PA=2,求PC的长.
答案：解：如图,延长PO交☉O于点E,则PA·PE=PB·PC.
设PC=x,又∵PB=BC,∴PB=x.
又PE=PA+AE=PA+2AO=16,
∴2×16=x·x,解得x=±8.
又∵x>0,∴x=8.∴PC=8.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的切割线定理计算即可
24. ☉O为△ABC的内切圆,AB=9,BC=8,CA=10,点D,E分别为AB,AC上的点,且DE为☉O的切线,求△ADE的周长.
答案：解：如图,设☉O与△ABC各边的切点分别为F,G,H,则
AF=AH,BF=BG,CG=CH,且AF+BF=9,BG+CG=8,CH+AH=10,
∴AF=AH=5.5,BF=BG=3.5,CG=CH=4.5.
又DE是☉O的切线,∴DI=DF,EI=EH.
∴△ADE的周长=AD+DE+EA=AD+DI+EI+EA=AF+AH=2AF=2×5.5=11.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的切线定理结合三角形的有关性质分析计算即可
25. 如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于E,D两点,连接EC,CD.
（1）求证:直线AB是☉O的切线;
答案：证明：如图,连接OC,
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB.
∴AB是☉O的切线.
（2）若tan∠CED=,☉O的半径为3,求OA的长.
答案：解：∵ED是直径,
∴∠ECD=90°.
∴在Rt△ECD中,tan∠CED= .
∵BC是☉O的切线,
∴BC2=BD·BE,∠BCD=∠E.
又∠CBD=∠EBC,
∴△BCD∽△BEC.
∴ .
设OA=x,则BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2（x-3）,BE=BO+OE=x+3,
∴[2（x-3）]2=（x-3）（x+3）,
解得x=5或x=3（舍去）.
∴OA=5.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是:（1）转化为证明OC⊥AB即可;（2）先证明△BCD∽△BEC,再借助于对应边成比例,解方程得OA的长
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2.5与圆有关的比例线段同步检测
一、选择题
1. 如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：解答：∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段分析计算即可
2. 如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于（ ）
A.2 B.4 C.8 D.不确定
答案：C
解析：解答：∵PA·PB=PC·PD,∴PA·PB=4×2=8.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
3. 如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于（ ）
A.4 B.6 C.9 D.36
答案：B
解析：解答：∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的有关性质计算即可
4. 圆内两弦相交,其中一条弦长为8 cm,且被交点平分,另一条被交点分为1∶4的两部分,则这条弦长为（ ）
A.2 cm B.8 cm C.10 cm D.16 cm
答案：C
解析：解答：设所求弦长为5k cm,则由相交弦定理得42=k·4k,则k=2,k=-2（舍去）,故所求弦长为5k=5×2=10（cm）.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质计算即可
5. 如图,CD是☉O的直径,AB⊥CD,垂足为点P,AP=4,PD=2,则PO等于（ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
答案：B
解析：解答：设☉O的半径为r,∵AP·PB=CP·PD,AP=PB=4,PD=2,
∴42=（2r-2）×2,∴r=5.∴PO=r-2=3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
6. 如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线.若PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于（ ）
A.4 B.8 C.9 D.12
答案：C
解析：解答：PT2=PA·PB=PC·PD,则PD==9.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
7. 如图,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,PA=7,在劣弧上任取一点C,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E,则△PDE的周长是（ ）
A.7 B.10 C.14 D.28
答案：C
解析：解答：∵DA,DC为☉O的切线,∴DA=DC.同理EB=EC.
∴△PDE的周长=PD+PE+DE=（PD+DC）+（PE+CE）=（PD+DA）+（PE+EB）=PA+PB=7+7=14.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质结合所给几何图形的条件分析计算即可
8. 已知☉O的弦AB过弦CD的三等分点M,AM和BM是方程3x2+2mx+18=0的两个根,则CD的长为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：解答：∵AM和BM是3x2+2mx+18=0的两根,∴AM·BM==6.
又AB和CD相交于点M,∴CM·MD=AM·BM=6.
∴CD·CD=6,∴CD=3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段分析满足的性质计算即可
9. 如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：由相交弦定理得PA·PB=PC·PD.
又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,
CD=PC+PD=5.
如图,过圆心O作CD的垂线OE交CD于点E,则E为CD的中点,
∴OE=
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质分析计算即可
二、填空题
10. 如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为A,B,∠P=80°,则∠C= °.
答案：50
解析：解答：∵PA,PB分别为☉O的切线,∴PA=PB.
又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°.
∴∠ACB=∠PAB=50°.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质计算即可
11. 如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径 r= .
答案：2
解析：解答：如图,作直线OA交☉O于E,F两点,
则AE=r-10,AF=r+10.
由相交弦定理,得（r-10）（r+10）=64,解得r1=2,r2=-2（不合题意,舍去）.
故r=2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段结合相交弦定理计算即可
12. 如图,PB和PD为圆的两条割线,分别交圆于点A,B和点C,D.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD=
答案：1∶3
解析：解答：由割线定理,得PA·PB=PC·PD, ①
即 又∵∠P为公共角,
∴△PAC∽△PDB.∴ ②
又∵PA=5,AB=7,CD=11,
∴PB=PA+AB=12.
由①式,得5×12=PC（PC+11）,
解得PC=4或PC=-15（舍去）.
∴PD=PC+CD=4+11=15.
由②式,得,即AC∶BD=1∶3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质结合有关三角形的相似性计算即可
13. 如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,E,交AB于点C,图中互相垂直的线段有 .（只要求写出一对线段）
答案：AB⊥OP（答案不唯一）
解析：解答：如题图,由于PA,PB均为☉O的切线,∴PA⊥OA,PB⊥OB.
又由切线长定理得PA=PB,OP为∠APB的平分线,∴AB⊥OP,故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质分析即可
14. 如图,A,B,C是☉O上的三点,BE切☉O于点B,D是CE与☉O的交点.若∠BAC=70°,则∠CBE= ;若BE=2,CE=4,则CD= .
答案：70|3
解析：解答：由于BE是☉O的切线,则∠CBE=∠BAC=70°.
由切割线定理,知EB2=ED·EC.又BE=2,CE=4,则ED==1.
所以CD=CE-ED=3.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质计算即可
15. 如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB= .
答案：4
解析：解答：由题意知PA=PB.
PA切☉O于点A,由切割线定理,得QA2=QC·QD=1×（1+3）=4.
∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的性质定理分析计算即可
16. 如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=2,PC=4,圆心O到BC的距离为,则圆O的半径为 .
答案：2
解析：解答：如图,取BC的中点D,连接OD和OB,
则OD⊥BC.已知OD=,
则BC=2BD
=2=2
由于PA是圆O的切线,
所以PA2=PB·PC.
又PA=2,PC=4,所以PB==2.
则BC=PC-PB=2.
所以2=2,解得OB=2,
即圆O的半径为2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质分析计算即可
17. 从圆外一点P向圆引两条割线PAB,PCD,分别与圆相交于点A,B,C,D,如果PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=
答案：2
解析：解答：由割线定理,得PA·PB=PC·PD,故4×（4+AB）=3×（3+5）,解得AB=2.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的割线定理计算即可
18. 如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为 .
答案：
解析：解答：已知AE为圆的切线,
由切割线定理,得AE2=EB·ED.
又AE=6,BD=5,可解得EB=4.
∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,
∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.
∴EA∥BC.又BD∥AC,
∴四边形EBCA为平行四边形.
∴BC=AE=6,AC=EB=4.
由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,
∴,
又CF+BF=BC=6,
∴CF=
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的割线定理结合平行四边形性质分析计算即可
19. 如图,☉O中的弦CD与直径AB相交于点E,M为AB延长线上一点,MD为☉O的切线,D为切点,若AE=2,DE=4,CE=3,DM=4,则OB= ,MB= .
答案：4|4-4
解析：
解答：由于AB和CD是☉O的两条相交弦,
则AE·EB=CE·ED.即2EB=3×4.
所以EB=6,故AB=AE+EB=2+6=8.所以OB=AB=4.
由于MD为☉O的切线,
则MD2=MB·MA=MB·（MB+AB）,
所以42=MB·（MB+8）,解得MB=-4±4.
由于MB>0,则MB=4-4.
分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质计算即可
三、解答题
20. 如图,已知☉O的割线PAB交☉O于点A和点B,PA=6 cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求☉O的半径.
答案：解答：如图,将PO延长交☉O于D.
根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD.
设☉O的半径为r cm,则
6×（6+8）=（10.9-r）（10.9+r）,
解得r=5.9,即☉O的半径为5.9 cm.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用割线定理解题即可.
21. 如图,AB切☉O于点B,ACD为割线,E为的中点,BE交DC于点F,求证:AF2=AC·AD.
答案：证明：如图,连接BC,BD.
∵E为的中点,∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,∴∠ABF=∠AFB.
∴AB=AF.
又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,
∴AF2=AC·AD.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段由切割线定理可知AC·AD=AB2,故只需证明AF=AB即可
22. 如图,自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B,C两点,求证:∠MCP=∠MPB.
答案：证明：∵PA与圆相切于A,
∴MA2=MB·MC.
∵M为PA的中点,
∴PM=MA,
∴PM2=MB·MC,
∴.
∵∠BMP=∠PMC,
∴△BMP∽△PMC,
∴∠MCP=∠MPB.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段结合切割线定理分析即可
23. 如图,已知P为☉O外一点,OP与☉O交于点A,割线PBC与☉O交于点B,C,且PB=BC.如果OA=7,PA=2,求PC的长.
答案：解：如图,延长PO交☉O于点E,则PA·PE=PB·PC.
设PC=x,又∵PB=BC,∴PB=x.
又PE=PA+AE=PA+2AO=16,
∴2×16=x·x,解得x=±8.
又∵x>0,∴x=8.∴PC=8.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的切割线定理计算即可
24. ☉O为△ABC的内切圆,AB=9,BC=8,CA=10,点D,E分别为AB,AC上的点,且DE为☉O的切线,求△ADE的周长.
答案：解：如图,设☉O与△ABC各边的切点分别为F,G,H,则
AF=AH,BF=BG,CG=CH,且AF+BF=9,BG+CG=8,CH+AH=10,
∴AF=AH=5.5,BF=BG=3.5,CG=CH=4.5.
又DE是☉O的切线,∴DI=DF,EI=EH.
∴△ADE的周长=AD+DE+EA=AD+DI+EI+EA=AF+AH=2AF=2×5.5=11.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的切线定理结合三角形的有关性质分析计算即可
25. 如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于E,D两点,连接EC,CD.
（1）求证:直线AB是☉O的切线;
答案：证明：如图,连接OC,
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB.
∴AB是☉O的切线.
（2）若tan∠CED=,☉O的半径为3,求OA的长.
答案：解：∵ED是直径,
∴∠ECD=90°.
∴在Rt△ECD中,tan∠CED= .
∵BC是☉O的切线,
∴BC2=BD·BE,∠BCD=∠E.
又∠CBD=∠EBC,
∴△BCD∽△BEC.
∴ .
设OA=x,则BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2（x-3）,BE=BO+OE=x+3,
∴[2（x-3）]2=（x-3）（x+3）,
解得x=5或x=3（舍去）.
∴OA=5.
解析：分析：本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是:（1）转化为证明OC⊥AB即可;（2）先证明△BCD∽△BEC,再借助于对应边成比例,解方程得OA的长
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