人教新课标A版选修4-1数学3.1平行射影同步检测

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3.1平行射影同步检测
一、选择题
1. △ABC在平面α上的正射影是（ ）
A.三角形 B.直线 C.线段 D.三角形或线段
答案：D
解析：解答：当△ABC所在平面垂直于α时,△ABC在α上的正射影是一条线段,否则是三角形.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可
2. 两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是（ ）
A.一条直线和直线外一个点 B.两条相交直线
C.两条平行直线 D.以上都有可能
答案：D
解析：解答：当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可
3. 下列说法正确的是（ ）
A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B.投影线与投影平面有且只有一个交点
C.投影方向可以平行于投影平面
D.一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的
答案：B
解析：解答：正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故选项A错误;投影线与投影平面只能相交,选项B是正确的,选项C是错误的;一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关,方向改变了,就可能得到不同的平行射影,故选项D错误
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给选项分析即可
4. 如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则下列结论正确的是（ ）
A.内心的平行射影还是内心
B.重心的平行射影还是重心
C.垂心的平行射影还是垂心
D.外心的平行射影还是外心
答案：A
解析：解答：三角形的平行射影仍是三角形,但三角形的形状可能会发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点会随着发生变化,而中位线上三等分点的等分比例性质不变,内心射影前后相对的位置关系不变.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合三角形的性质分析即可
5. 线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD的长度关系为（ ）
A.AB>CD B.ABC.AB=CD D.无法确定
答案：D
解析：解答：由于线段AB,CD与平面所成的角未定,虽然正射影相等,但线段AB,CD的长度无法确定,故它们的长度关系也无法确定.故选D.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关
6. 一个图形的正射影是一条线段,这个图形不可能是（ ）
A.线段 B.圆 C.梯形 D.长方体
答案：D
解析：解答：当线段、圆、梯形所在的平面与投影面垂直时,它们的正射影都是一条线段,很明显长方体的正射影不可能是一条线段
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何图形分析即可
7. 下列说法正确的是（ ）
A.平行射影是正射影
B.正射影是平行射影
C.同一个图形的平行射影和正射影相同
D.圆的平行射影不可能是圆
答案：B
解析：解答：正射影是平行射影的特例,则选项A不正确,选项B正确;对同一个图形,当投影线垂直于投影面时,其平行射影就是正射影,否则不相同,则选项C不正确;当投影线垂直于投影面,且圆面平行于投影面时,圆的平行射影是圆,则选项D不正确
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理分析即可
8. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：解答：点D在平面ADD1A1上的正射影是它本身;点M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中点;点N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中点,则阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为选项A中的图形.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给选项分析即可
9. 直线l在平面α上的正射影是（ ）
A.点 B.线段 C.直线 D.点或直线
答案：D
解析：解答：当l⊥α时,正射影是一个点,否则是一条直线
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给直线分析即可
10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是（ ）
A.四边形ABCD B.线段AB
C.△ABC D.线段A1B1
答案：B
解析：解答：由于平面A1ABB1⊥平面ABCD,则四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是线段AB
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给长方体的性质分析即可
11. 两条相交直线的平行射影是（ ）
A.两条相交直线 B.一条直线
C.一条折线 D.两条相交直线或一条直线
答案：D
解析：解答：两条相交直线确定一个平面,若这个平面与投影方向不平行,则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行,则两条相交直线的平行射影为一条直线.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合直线相交的关系分析即可
12. 下列结论中正确的是（ ）
①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的平行射影不可能是圆;②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形;③两条平行线段之比等于它们的平行射影（不是点）之比;④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
答案：C
解析：解答：由于平面图形的平行射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,因而①是错误的,④是正确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时,平行四边形的平行射影是一条线段,故②错误.很明显③正确.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何图形分析即可
13. Rt△ABC的斜边BC在平面α内,则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是（ ）
A.一条线段
B.一个锐角三角形或一条线段
C.一个钝角三角形或一条线段
D.一条线段或一个钝角三角形
答案：D
解析：解答：①当顶点A在平面α内的正射影A'在BC所在直线上时,两条直角边在平面α内的正射影是一条线段,与斜边组成的图形是线段,如图①.
②当顶点A在平面α内的正射影A'不在BC所在直线上时,如图②.
∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.
∴A'B在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,
∴BC2>A'B2+A'C2.
∴A'B2+A'C2-BC2<0.∴∠BA'C为钝角,
∴△A'BC为钝角三角形.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何关系分析即可
14. 已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.
在上面的结论中,正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：解答：如图,
不垂直的异面直线DC1,AB在平面A1B1C1D1上的射影是平行直线;DC1与BB1在平面A1B1C1D1上的射影是一条直线及其外一点;A1E与DC1在平面A1B1C1D1上的射影是两条互相垂直的直线,故①②④正确.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给直线关系构造模型分析即可
15. Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是（ ）
A.线段或锐角三角形
B.线段与直角三角形
C.线段或钝角三角形
D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
答案：B
解析：解答：若平面ABC与α垂直，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影即为线段AB，若平面ABC与α不垂直，令直角边BC在平面α上的射影BC′，由三垂线定理可得BC′⊥AB；故直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形为直角三角形
故选B.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是由已知中Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，我们分平面ABC与α垂直和平面ABC与α不垂直两种情况，分别讨论直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形，即可得到答案
二、填空题
16. 一个等腰直角三角形在平面内的正投影可能是 ．
答案：线段或三角形
解析：解答：当直角三角形和平面垂直的时候，其投影为一条线段，当直角三角形与平面的夹角不为90°时，其投影为三角形．
故答案为：线段或三角形
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影性质结合三角形的位置分情况探讨各线段的投影即可
17. 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于 ．
答案：3
解析：解答：连接OC，
∵圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，∴CD⊥BD，
设圆半径为r，在Rt△ODC中，CD=4，OD=8﹣r，OC=r，
∴16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．∴线段DO=8﹣5=3．
故答案为：3．
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影连接OC，由圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，知CD⊥BD，设圆半径为r，在Rt△ODC中，则16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．由此能求出线段DO的长．
18. 如图，一个广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5 m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是 ．
答案：100πcos2αm2
解析：解答：∵长半轴为OA=5，∠AOB=α，
设气球半径为r，
则r=5cosα，
∴S=4πr2=100πcos2αm2．
故答案：100πcos2αm2．
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影根据平行投影的性质，我们可得气球与投影所得椭圆之间的关系为：椭圆的短轴长等于球半径，椭圆的长轴长等与球半径除以cosα，根据椭圆的长半轴为5 m，我们易求出广告气球的半径，进而得到球的表面积，即制作这个广告气球需要的面料．
19. 如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是 .（要求:把可能的图的序号都填上）
答案：②③
解析：解答：对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到,并且对于图形要考虑所有点的正射影,又知线段由两个端点唯一确定,故考查四边形BFD1E的射影,只需同时考查点B,F,D1,E在各个面上的正射影即可.四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图②;四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图③.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给选项分析即可
20. 梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在平面α上的平行射影是 .
答案：一条线段或一个梯形
解析：解答：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段.如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,由于平行线的平行射影仍是平行线,不平行的直线的平行射影仍不平行,则梯形ABCD在平面α内的平行射影仍是梯形.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给线面关系分析即可
21. 关于直角∠AOB在平面α内的平行射影有如下判断:①可能是0°的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是180°的角,其中正确判断的序号是 .
答案：①②③④⑤
解析：解答：设直角∠ABC所在平面为β,当β与投影方向平行时,直角∠AOB在平面α内的平行射影为一条射线或一条直线;当β与投影方向不平行时,直角∠AOB在平面α内的平行射影为一个角,并且该角可以是锐角、直角或钝角.因而①②③④⑤都对.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理结合所给选项分析即可
22. 如图,设C是线段AB上任意一点,点C',A',B'分别是点C,A,B沿直线l的方向在平面α上的平行射影.若AC=4,CB=6,则= .
答案：
解析：解答：∵AA'∥l,BB'∥l,CC'∥l,
∴AA'∥BB'∥CC'.
由平行线分线段成比例定理,
得
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给条件运用平行线分线段成比例定理分析即可
三、解答题
23. 已知P为△ABC外一点,且PA=PB=PC.求证:点P在平面ABC内的射影为△ABC的外心.
答案：解答：如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接OA,OB,OC,
则点O为点P在平面ABC内的射影.
∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PBO,∴AO=BO.
同理可得BO=CO,∴AO=BO=CO,∴点O为△ABC的外心,
即点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.
解析：分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理结合所给几何关系，分析即可
24. 如图,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,点A'是点A在平面BCD上的正射影,求证:点A'不可能是△BCD的垂心.
答案：解：假设点A'是△BCD的垂心,则A'B⊥CD.
∵AA'⊥平面BCD于点A',则AB⊥CD.
又∵DA⊥平面ABC,则AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADC,
∴AB⊥AC,
这与条件△ABC是斜三角形矛盾,故点A'不可能是△BCD的垂心
解析：分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合直接证明有困难,利用反证法证明
25. 如图,△ABC是边长为2的正三角形,BC∥平面α,点A,B,C在α的同侧,它们在α内的射影分别为点A',B',C'.若△A'B'C'为直角三角形,BC与α间的距离为5,求点A到α的距离.
答案：解答：由条件可知,A'B'=A'C',∴∠B'A'C'=90°.
设AA'=x,在直角梯形AA'C'C中,A'C'2=4-（5-x）2.
由A'B'2+A'C'2=B'C'2,得2×[4-（5-x）2]=4,
解得x=5±
解析：分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给选项分析即可。
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