2025年中考数学模拟检测卷（无锡专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B． C D C D C C C B
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
11．（3分）9．
12．（3分）x（x+3y）（x﹣3y）．
13．（3分）1.5×104．
14．（3分）y＝x2﹣1．
15．（3分）4．
16．（3分）3．
17．（3分）6．
18．（3分）①②③．
三．解答题：本大题共10小题，共96分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（8分）解：（1）原式
；
（2）原式
＝1．
20．（8分）解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1，x2＝1；
（2），
解①得x＜1，
解②得x＞15，
所以不等式组无解．
21．（10分）解：（1）∠1＝∠2（答案不唯一）．
故答案为：∠1＝∠2；
（2）当∠1＝∠2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A+∠D＝180°，
在ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形．
22．（10分）解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，
∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果有：CD，DC，共2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
23．（10分）解：（1）m＝5015（户），
n＝50﹣7﹣20﹣15﹣2＝6（户），
故答案为：15，6；
（2）将样本中50户的家庭用水量从小到大排列，处在第25，第26位的两个数的平均数为4.6，
即 50个家庭去年月均用水量的中位数是4.6吨，
故答案为：4.6；
（3）1000 ＝540（个），
答：该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数大约有540个；
（4）4.83（吨），
答：这50个家庭去年的月平均用水量为4.83吨．
24．（10分）解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求；
（2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，
∵B、E、G、T四点共圆，
∴∠BTG+∠BEG＝180°，
∵∠BEG+∠GEM＝180°，
∴∠BTG＝∠GEM，
∵∠GEM＝45°，
∴∠BTG＝45°，
∴∠BOG＝2∠BTG＝90°，
∵⊙O与AM相切于G，
∴AM⊥OG，
∴BO∥AM，
∴△ADG∽△BDO，
∴，
∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2，
∴AG＝2GM＝2×2＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2，
解得：r＝4，
∴，
∴，
∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8．
25．（10分）（1）证明：∵C是 中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，
解得：r＝2（舍）或6，
∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，
∴BF＝4．
26．（10分）解：（1）该团的团购数量为（x+3）套；每套的利润为680﹣50x﹣400＝（280﹣50x）元，
故答案为：（x+3），（280﹣50x）；
（2）设利润为y元，由题意得y＝（x+3）（280﹣50x）＝﹣50x2+130x+840，
对称轴为x1.3，
∵﹣50＜0，x取整数，
∴当x＝1时，y最大为920，
x+3＝4，
答：团购数量为4套时，影楼获得利润最大，最大利润为920元．
27．（10分）解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠DCF，
∵∠DFP＝∠CFD，
∴△FDP∽△FCD；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∴EF＝EC，
由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA，
∵∠FPD＝∠EPC，
∴△FPD∽△EPC，
∴，
∵∠FPE＝∠DPC，
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠PDC＝∠DAC，
∵∠DCP＝∠ACD，
∴△DCP∽△ACD，
∴，
∴CD2＝CP CA；
（3）如图3，连接DB交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DOC＝90°，
∵CD＝AD＝AB＝2，sin∠BAC，
∴OB＝DO＝ABsin∠BAC＝22，
同理可得：AO＝CO＝2，
在Rt△DOF中，DF＝3，
∴OF，
则FC＝OC﹣OF＝2，
由（1）得：△FDP∽△FCD，
∴，
∴FD2＝FC FP，即32 FP，
解得PF，
∴CP＝PF﹣FC，AP＝AC+CP＝4，
∵，即，
解得：CE．
28．（10分）解：（1）抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，把点O和点A的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，得：
，
解得，
∴抛物线L1表达式为y＝x2﹣2x；
（2）∵L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2，
令y＝0，
得x2﹣2＝0，
解得，
故抛物线L2与x轴交点的坐标为；
当x＝1，
y＝x2﹣2＝﹣1，
故抛物线L2经过L1的顶点；
（3）n的最大值是．理由如下：
∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣1），
∴n＞﹣1，
∴2+n＞1，1+n＞0，
令y＝x2﹣2＝n，
解得：，
∴，
令x2﹣2x＝n，
解得：，
∴，
∴，
令，
根据反比例函数的性质得：当y越小时，1+n越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当y＝1时，不是整数，不符合题意；
当y＝2时，不是整数，不符合题意；
当y＝3时，是整数，符合题意；
∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是．
/2025年中考数学模拟检测卷（无锡专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引导】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【完整解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【考点点拨】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2025的倒数是（ ）
A． B． C．2025 D．|﹣2025|
【思路引导】利用倒数的定义求解即可．
【完整解答】解：﹣2025的倒数是．
故选：B．
【考点点拨】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
3．（3分）反比例函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＜0
C．x≠0的一切实数 D．任意实数
【思路引导】根据分式的分母不为零列出不等式，得到答案．
【完整解答】解：由题意得：x≠0，
故选：C．
【考点点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a3 a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6
【思路引导】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．
【完整解答】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故B不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故C不符合题意；
D、（﹣x3）2＝x6，故D符合题意；
故选：D．
【考点点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．（3分）已知一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过哪个象限（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四
【思路引导】由一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，可得出k＜0，由不等式的性质可得出2k﹣1＜﹣1，3﹣k＞3，进而可得出一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过一、二、四象限．
【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，
∴2k＜0，﹣k＞0
∴2k﹣1＜﹣1，3﹣k＞3，
∴一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
【考点点拨】本题主要考查的是一次函数的性质，先根据题意得出k的符号是解题的关键．
6．（3分）为响应“创新驱动发展”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【思路引导】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【完整解答】解：∵购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，
∴2x＝3y；
∵购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元，
∴4x+7y＝39000．
∴可列方程组为．
故选：D．
【考点点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
【思路引导】直接利用三角形内心、外心的定义、正多边形的性质、平行线的性质分别分析得出答案．
【完整解答】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故此选项不合题意；
B．两直线平行，同位角相等，故此选项不合题意；
C．三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意；
D．正多边形不一定是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【考点点拨】此题主要考查了三角形内心、外心的定义、正多边形的性质、平行线的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
8．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（ ）
A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm
【思路引导】连接OC，OD，利用切线的性质可得∠OCP＝∠ODP＝90°，然后利用四边形的内角和定理求出∠COD的度数，最后利用弧长公式进行计算即可解答．
【完整解答】解：如图连接OC，OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
∵∠P＝120°，
∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°，
∴的长2π（cm），
∴瞬间与空竹接触的细绳的长为2πcm，
故选：C．
【考点点拨】本题考查了切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．菱形只有一条对称轴
B．菱形最少有两条对称轴
C．菱形最多有两条对称轴
D．菱形可能没有对称轴
【思路引导】根据菱形的性质判断即可．
【完整解答】解：A、菱形有两条对称轴，说法错误，不符合题意；
B、菱形有两条对称轴，说法错误，不符合题意；
C、菱形有两条对称轴，说法正确，符合题意；
D、菱形有两条对称轴，说法错误，不符合题意；
故选：C．
【考点点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ∽△ABC，则线段PQ的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
【思路引导】由勾股定理得，，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，可得∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，由△APQ∽△ABC，可得∠APQ＝∠ABC，即PQ∥BC，设PD＝PB＝a，DQ＝CQ＝b，则AP＝8﹣a，AQ＝6﹣b，PQ＝a+b，由△APQ∽△ABC，可知，即，可求，，进而可求PQ．
【完整解答】解：，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，
∵△APQ∽△ABC，
∴∠APQ＝∠ABC，即PQ∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，∠QDC＝∠BCD，
∴∠PDB＝∠ABD，∠QDC＝∠ACD，
∴PD＝PB，DQ＝CQ，
设PD＝PB＝a，DQ＝CQ＝b，
∴AP＝AB﹣BP＝8﹣a，AQ＝AC﹣CQ＝6﹣b，PQ＝PD+DQ＝PB+CQ＝a+b，
∵△APQ∽△ABC，
∴，
即，
∴，，
∴，
故选：B．
【考点点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
11．（3分）的值等于 9 ．
【思路引导】运用算术平方根的知识进行求解．
【完整解答】解：∵92＝81，
∴81的算术平方根是9，
即的值等于9，
故答案为：9．
【考点点拨】此题考查了实数的算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
12．（3分）分解因式：x3﹣9xy2＝ x（x+3y）（x﹣3y） ．
【思路引导】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
【完整解答】解：x3﹣9xy2
＝x（x2﹣9y2）
＝x（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．
【考点点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．
13．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船在东风着陆场成功着陆，返回舱在进入大气层时，速度达到15000米/秒．其中15000用科学记数法表示为 1.5×104 ．
【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【完整解答】解：15000＝1.5×104，
故答案为：1.5×104．
【考点点拨】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14．（3分）与抛物线y＝﹣x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 y＝x2﹣1 ．
【思路引导】利用对于二次函数y＝ax2+k，顶点相同即k不变，形状也相同即|a|不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决．
【完整解答】解：由条件可知新的解析式只有二次项系数相反，其解析式为y＝x2﹣1，
故答案为：y＝x2﹣1．
【考点点拨】本题考查二次函数y＝ax2+k的图象与性质，熟练掌握二次函数y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），a决定开口方向和大小是解题的关键．
15．（3分）用圆心角为120°，弧长为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为 4 ．
【思路引导】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径为1，设利用弧长公式求出母线长，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【完整解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
则2πr＝4π，解得r＝2；
设圆锥的母线长为l，
则4π，解得l＝6，
所以圆锥的高4．
故答案为：4．
【考点点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 3 ．
【思路引导】可推出△ABC≌△ADC，△AEP≌△AFP，四边形AEPF是平行四边形，进而得出阴影部分的面积是菱形面积的一半．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴∠AEP＝∠B，∠AFP＝∠D，
∴∠AEP＝∠AFD，
∴△AEP≌△AFP（AAS），
∴S△ABC﹣S△AEP＝S△ADC﹣S△AFP，
∴S四边形BCPE＝S四边形CDFP，
∵PE∥BC∥AD，PF∥CD∥AB，、
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△PEF，
∴S四边形BCPE+S△PEF＝S四边形CDFP+S△AEF，
∴S阴影S菱形ABCD3，
故答案为：3．
【考点点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是将阴影部分的面积转化为菱形的面积．
17．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点分别在y与y的图象上，AD边与x轴交于P，若平行四边形ABCD的面积为12，AP＝2PD，则k的值为 6 ．
【思路引导】连接BD，AC，过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，由平行四边形的对称性和反比例函数图象的对称性可知，O是AC，BD的交点，根据平行四ABCD的面积为12，得S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S△AOB＝3，而AP＝2DP，可得S△AOPS△AOD＝2，S△DOPS△AOD＝1，即得S△PDF＝S△DOP﹣S△DOF，由△DPF∽△APE，得S△APE＝1，故S△AOE＝S△AOP+S△APE＝3，即可求得k的值．
【完整解答】解：连接BD，AC，过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，如图：
由平行四边形的对称性和反比例函数图象的对称性可知，O是AC，BD的交点，
∵平行四ABCD的面积为12，
∴S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S△AOB＝3，
∵AP＝2DP，
∴S△AOPS△AOD＝2，S△DOPS△AOD＝1，
∵D在y的图象上，
∴S△DOF||，
∴S△PDF＝S△DOP﹣S△DOF，
∵∠DFP＝∠AEP＝90°，∠DPF＝∠APE，
∴△DPF∽△APE，
∴（）2，
∴S△APE＝1，
∴S△AOE＝S△AOP+S△APE＝2+1＝3，
∴k＝3，
∴k＝6．
故答案为：6．
【考点点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝6，E是AB的中点，F是线段BC上的一点，连接EF，把△BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点H．给出下列判断：①∠BAC＝30°；②△EBF∽△BCH；③当∠EGD＝90°时，DG的长度是2；④线段DG长度的最小值是3；⑤当点G落在矩形ABCD的对角线上，BG的长度是3或3；其中正确的是 ①②③ ．（写出所有正确判断的序号）
【思路引导】①利用三角形函数可判断正误；
②根据相似三角形的判定方法即可判断；
③由折叠性质可得D、G、F三点共线，再由勾股定理即可判断；
④根据圆的性质解答判断即可；
⑤分两种情况：点G在AC上，点G在BD上，分别利用三角函数判断即可．
【完整解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝2，CD＝AB＝6，∠ABC＝90°，
①∵tan∠BAC，
∴∠BAC＝30°，故①正确；
②∵∠HBC+∠HBE＝90°，∠HBE+∠BEF＝90°，
∴∠HBC＝∠BEF，
∵∠EBF＝∠BCH＝90°，
∴△EBF∽△BCH，故②正确；
③当∠EGD＝90°时，如图，由折叠可知：∠EGF＝∠EBF＝90°，
∴D、G、F三点共线，
连接DE，
在Rt△EAD中，DE，
在Rt△EGD中，EG＝EB＝3，DG2，故③正确；
④∵AE＝EB＝EG，
∴A、B、G三点都在以E为圆心，3为半径的圆上，
∴此时DG的最小长度为：DE﹣3，即，
∵点F在BC上，
∴点G不能在DE上，故④错误；
⑤分两种情况：
（Ⅰ）点G在AC上，
∵AE＝EG，
∴∠AGE＝∠EAG＝30°，
∴∠BEG＝∠AGE+∠EAG＝60°，
由对称：∠BEF＝∠GEF＝30°，
设EF与BG交点为M点，
在Rt△BEM中，BE＝3，BM＝BE sin∠BEF＝3×sin30°，
∴BG＝2BM＝3，
（Ⅱ）点G在BD上，
∵∠ABD＝30°，
设EF与BG交点为N点，
在Rt△BEN中，BN＝BE cos∠ABD＝3×cos30°，
∴BG＝2BN＝3，
但此时Rt△BNF中，BF＝2BN＝3，故⑤错误．
故答案为：①②③．
【考点点拨】此题考查的是相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、折叠的性质、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
三．解答题：本大题共10小题，共96分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
【思路引导】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂对值性质、零指数幂的性质和特殊角的三角函数值，进行计算即可；
（2）先把m和1写成分母是m﹣1的分式
【完整解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝1．
【考点点拨】本题主要考查了实数的混合运算和分式的加减运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、负整数指数幂对值性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和分式的通分与约分．
20．（8分）（1）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：．
【思路引导】（1）利用因式分解法解方程；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【完整解答】解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1，x2＝1；
（2），
解①得x＜1，
解②得x＞15，
所以不等式组无解．
【考点点拨】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②M是AD的中点；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为矩形．
（1）你添加的条件是 ∠1＝∠2 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形．
【思路引导】有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明∠A＝∠D即可．
【完整解答】解：（1）∠1＝∠2（答案不唯一）．
故答案为：∠1＝∠2；
（2）当∠1＝∠2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A+∠D＝180°，
在ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形．
【考点点拨】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
22．（10分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为 ．
（2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【思路引导】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【完整解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，
∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果有：CD，DC，共2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
【考点点拨】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并对数据进行统计整理．下面给出了部分信息：
a.50个家庭去年月均用水量频数分布表和扇形统计图：
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 20
C 4.8≤t＜6.2 m
D 6.2≤t＜7.6 n
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
b．B组的数据：3.4 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 4.0
4.0 4.1 4.1 4.1 4.2 4.2 4.4 4.5 4.7 4.7
c．各组家庭月均用水量表：
组别 A.2.0≤t＜3.4 B.3.4≤t＜4.8 C.4.8≤t＜6.2 D.6.2≤t＜7.6 E.7.6≤t＜9.0
平均用水量（单位：吨） 3 4 5.5 7 8
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ 15 ，n＝ 6 ；
（2）50个家庭去年月均用水量的中位数是 4.6 吨；
（3）若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有 540 个；
（4）求这50个家庭去年的月平均用水量．
【思路引导】（1）根据扇形统计图中C组的圆心角度数求出样本中，家庭平均用水量在C组的所占的百分比，由频率＝频数÷总数求出样本中家庭平均用水量在C组的频数，确定m的值，根据各组频数之和等于样本容量求出样本中家庭平均用水量在D组的频数即可；
（2）根据中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数所占的百分比，估计总体中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数所占的百分比，由频率＝频数÷总数进行计算即可；
（4）根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【完整解答】解：（1）m＝5015（户），
n＝50﹣7﹣20﹣15﹣2＝6（户），
故答案为：15，6；
（2）将样本中50户的家庭用水量从小到大排列，处在第25，第26位的两个数的平均数为4.6，
即 50个家庭去年月均用水量的中位数是4.6吨，
故答案为：4.6；
（3）1000 ＝540（个），
答：该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数大约有540个；
（4）4.83（吨），
答：这50个家庭去年的月平均用水量为4.83吨．
【考点点拨】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，扇形统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的定义以及计算方法是正确解答的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 4π﹣8 ．（如需画草图，请使用图2）
【思路引导】（1）过点G作OG⊥AM，作BG的垂直平分线交直线OG于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O即可；
（2）设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，则∠BTG＝∠GEM，先证明∠BOG＝2∠BTG＝90°，进一步证明BO∥AM得到，再设⊙O的半径为r，并根据G是△ABC的重心和DG＝GM＝2，得到AG＝2GM＝4和OD＝OG﹣DG＝r﹣4，进一步构造关于r的方程求出r＝4，最后根据S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG求解．
【完整解答】解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求；
（2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，
∵B、E、G、T四点共圆，
∴∠BTG+∠BEG＝180°，
∵∠BEG+∠GEM＝180°，
∴∠BTG＝∠GEM，
∵∠GEM＝45°，
∴∠BTG＝45°，
∴∠BOG＝2∠BTG＝90°，
∵⊙O与AM相切于G，
∴AM⊥OG，
∴BO∥AM，
∴△ADG∽△BDO，
∴，
∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2，
∴AG＝2GM＝2×2＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2，
解得：r＝4，
∴，
∴，
∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8．
【考点点拨】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．
【思路引导】（1）首先利用已知条件和垂径定理证明CD＝BF，然后根据AAS证明△BFG≌△CDG；
（2）连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解．
【完整解答】（1）证明：∵C是 中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，
解得：r＝2（舍）或6，
∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，
∴BF＝4．
【考点点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（10分）在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为400元/套．促销方案如下：若团购3套，则可享受团购价680元/套．若团购每增加一套，则每套再降价50元，设某团团购的数量增加了x套．
（1）填空：该团的团购数量为 （x+3） 套；每套的利润为 （280﹣50x） 元．（用含x的代数式表示）
（2）规定一个团的团购数量不超过8套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？
【思路引导】（1）根据题意可得团购的套数和每套的利润；
（2）设利润为y元，由题意得y＝（x+3）（280﹣50x）＝﹣50x2+130x+840，再根据二次函数的性质可得答案．
【完整解答】解：（1）该团的团购数量为（x+3）套；每套的利润为680﹣50x﹣400＝（280﹣50x）元，
故答案为：（x+3），（280﹣50x）；
（2）设利润为y元，由题意得y＝（x+3）（280﹣50x）＝﹣50x2+130x+840，
对称轴为x1.3，
∵﹣50＜0，x取整数，
∴当x＝1时，y最大为920，
x+3＝4，
答：团购数量为4套时，影楼获得利润最大，最大利润为920元．
【考点点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出利润与服装套数的关系是解题关键．
27．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E在射线BC上，点F在线段AC上，连接DF、DE，∠EDF＝∠BAC，射线DE与射线AC交于点P．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD；
（2）如图2，点E在线段BC上，连接EF，当EF∥AB时，求证：CD2＝CP CA；
（3）如图3，点E在线段BC的延长线上，当AB＝2，sin∠BAC，DF＝3时，求线段EC的长．
【思路引导】（1）△FDP和△FCD有一组公共角，再证明∠EDF＝∠DCF，可得结论；
（2）先证明△FPD∽△EPC和△FPE∽△DPC得∠PDC＝∠EFC，再证明△DCP∽△ACD，即可求解；
（3）连接BD，先根据勾股定理计算OF的长，计算FC，FP，CP，AP的长，进而求解．
【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠DCF，
∵∠DFP＝∠CFD，
∴△FDP∽△FCD；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∴EF＝EC，
由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA，
∵∠FPD＝∠EPC，
∴△FPD∽△EPC，
∴，
∵∠FPE＝∠DPC，
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠PDC＝∠DAC，
∵∠DCP＝∠ACD，
∴△DCP∽△ACD，
∴，
∴CD2＝CP CA；
（3）如图3，连接DB交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DOC＝90°，
∵CD＝AD＝AB＝2，sin∠BAC，
∴OB＝DO＝ABsin∠BAC＝22，
同理可得：AO＝CO＝2，
在Rt△DOF中，DF＝3，
∴OF，
则FC＝OC﹣OF＝2，
由（1）得：△FDP∽△FCD，
∴，
∴FD2＝FC FP，即32 FP，
解得PF，
∴CP＝PF﹣FC，AP＝AC+CP＝4，
∵，即，
解得：CE．
【考点点拨】此题是相似形的综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造出相似三角形是解本题的关键．
28．（10分）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线L1表达式；
（2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点；
（3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【思路引导】（1）把O（0，0）和A（2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中解答即可；
（2）确定抛物线L1的顶点坐标，确定物线L2的解析式，令y＝0，解方程的根即可求抛物线L2与x轴交点的坐标，把抛物线L1的顶点坐标代入抛物线L2的解析式，验证说明即可；
（3）当y＝n时，得x2﹣2＝n，x2﹣2x＝n，解得，，计算，，
得，令，根据反比例函数性质解答即可．
【完整解答】解：（1）抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，把点O和点A的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，得：
，
解得，
∴抛物线L1表达式为y＝x2﹣2x；
（2）∵L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2，
令y＝0，
得x2﹣2＝0，
解得，
故抛物线L2与x轴交点的坐标为；
当x＝1，
y＝x2﹣2＝﹣1，
故抛物线L2经过L1的顶点；
（3）n的最大值是．理由如下：
∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣1），
∴n＞﹣1，
∴2+n＞1，1+n＞0，
令y＝x2﹣2＝n，
解得：，
∴，
令x2﹣2x＝n，
解得：，
∴，
∴，
令，
根据反比例函数的性质得：当y越小时，1+n越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当y＝1时，不是整数，不符合题意；
当y＝2时，不是整数，不符合题意；
当y＝3时，是整数，符合题意；
∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是．
【考点点拨】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键
/2025年中考数学模拟检测卷（无锡专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2025的倒数是（ ）
A． B． C．2025 D．|﹣2025|
3．（3分）反比例函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＜0
C．x≠0的一切实数 D．任意实数
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a3 a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6
5．（3分）已知一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过哪个象限（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四
6．（3分）为响应“创新驱动发展”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
8．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（ ）
A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．菱形只有一条对称轴
B．菱形最少有两条对称轴
C．菱形最多有两条对称轴
D．菱形可能没有对称轴
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ∽△ABC，则线段PQ的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
11．（3分）的值等于 ．
12．（3分）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．
13．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船在东风着陆场成功着陆，返回舱在进入大气层时，速度达到15000米/秒．其中15000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）与抛物线y＝﹣x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ．
15．（3分）用圆心角为120°，弧长为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 ．
17．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点分别在y与y的图象上，AD边与x轴交于P，若平行四边形ABCD的面积为12，AP＝2PD，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝6，E是AB的中点，F是线段BC上的一点，连接EF，把△BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点H．给出下列判断：①∠BAC＝30°；②△EBF∽△BCH；③当∠EGD＝90°时，DG的长度是2；④线段DG长度的最小值是3；⑤当点G落在矩形ABCD的对角线上，BG的长度是3或3；其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
三．解答题：本大题共10小题，共96分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（8分）（1）计算：； （2）化简：．
（8分）（1）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0； （2）解不等式组：．
21．（10分）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②M是AD的中点；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为矩形．
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形．
22．（10分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为 ．
（2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
23．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并对数据进行统计整理．下面给出了部分信息：
a.50个家庭去年月均用水量频数分布表和扇形统计图：
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 20
C 4.8≤t＜6.2 m
D 6.2≤t＜7.6 n
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
b．B组的数据：3.4 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 4.0
4.0 4.1 4.1 4.1 4.2 4.2 4.4 4.5 4.7 4.7
c．各组家庭月均用水量表：
组别 A.2.0≤t＜3.4 B.3.4≤t＜4.8 C.4.8≤t＜6.2 D.6.2≤t＜7.6 E.7.6≤t＜9.0
平均用水量（单位：吨） 3 4 5.5 7 8
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）50个家庭去年月均用水量的中位数是 吨；
（3）若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有 个；
（4）求这50个家庭去年的月平均用水量．
24．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 ．（如需画草图，请使用图2）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．
26．（10分）在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为400元/套．促销方案如下：若团购3套，则可享受团购价680元/套．若团购每增加一套，则每套再降价50元，设某团团购的数量增加了x套．
（1）填空：该团的团购数量为 套；每套的利润为 元．（用含x的代数式表示）
（2）规定一个团的团购数量不超过8套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？
27．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E在射线BC上，点F在线段AC上，连接DF、DE，∠EDF＝∠BAC，射线DE与射线AC交于点P．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD；
（2）如图2，点E在线段BC上，连接EF，当EF∥AB时，求证：CD2＝CP CA；
（3）如图3，点E在线段BC的延长线上，当AB＝2，sin∠BAC，DF＝3时，求线段EC的长．
28．（10分）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线L1表达式；
（2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点；
（3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
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