中考复习数学专题——四边形问题复习（附解答，共18页）

1．平行四边形的判定和性质：
性　质 判　定
①平行四边形对边平行；②平行四边形对边相等；③平行四边形对角相等；④平行四边形邻角互补；⑤平行四边形对角线互相平分．⑥平行四边形的面积⑦平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点 ①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形．
注意：
1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，
2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，
3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。
2．矩形的判定和性质
判　定 性　质
①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②有三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形． ①矩形具备平行四边形的性质．②矩形四个角都是直角．③矩形两条对角线相等．④矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴．⑤矩形面积S＝ab(a、b分别表示矩形的长和宽)．
3．菱形的判定和性质
判　定 性　质
①一组邻边相等的平行四边形是菱形．②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ①菱形具备平行四边形的性质．②菱形四边都相等．③菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角．④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴．⑤菱形面积分别表示菱形两对角线的长）．
4．正方形的判定和性质
判　定 性　质
①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形．②一组邻边相等的矩形是正方形．③一个角是直角的菱形是正方形．④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ①正方形具备平行四边形性质．②正方形既 ( http: / / www.21cnjy.com )具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴．③面积S＝a2 （a表示正方形的边长）．
5．梯形的判定和性质
类别 判　定 性　质
梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形 ①梯形一组对边平行而另一组对边不平行．②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半．③是梯形的上下底，h是高，m是中位线）．
等腰
梯形 ①两腰相等的梯形是等腰梯形．②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形．③对角线相等的梯形是等腰梯形． ①等腰梯形具有一般梯形的性质．②等腰梯形两腰相等．③等腰梯形同一底上两角相等．④等腰梯形对角线相等．⑤等腰梯形是轴对称图形．
直角
梯形 有一个角是直角的梯形是直角梯形． ①直角梯形具有一般梯形的性质．②直角梯形的一腰垂直于底边．
6．梯形中的常用辅助线：
7.平行线等分线段定理
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等．
（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．
（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．
8．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．
典型例题：
例1.如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：∠AOB=∠COB．
解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；
　　　　根据和AE=CF，可证BN=BM，
　　　　于是∠AOB=∠COB．
例2.如图：工人师傅要把一块三角形的钢板， ( http: / / www.21cnjy.com )通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
　
解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E， ( http: / / www.21cnjy.com )沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略
． ( http: / / www.21cnjy.com )
例3. 已知：平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC； (2)EG=EF。
　　
证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC，BD=2BO．
　　　　由已知BD=2AD，∴ BO=BC，又E是OC中点，∴ BE⊥AC．
　　　　(2)由(1)BE⊥AC，又G是AB中点，∴
∵ EF是△OCD的中位线，∴ 又，∴
例4．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点．
求证：△EFG是等边三角形。
证明：连接EC．∵ ABCD为等腰梯形，∴ AD=BC，且AC=BD．
　　 　又∵ DC=DC，∴ △ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴ △ODC为等腰三角形．
　　　 ∵ ∠DOC=∠AOB=60°， ∴ △ODC为等边三角形．
　　　 又∵ E为OD中点， ∴ ∠OEC=90°．
　　 　在Rt△BEC中，G为斜边的中点， ∴ 。同理 ．
　　　 在△OAD中，∵ E，F分别为OD，OA的中点．
　　 　∴ ，故△EFG为等边三角形．
例5．已知，如图，正方形ABCD的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF． (1)当DG=2时，求△FCG的面积；(2)设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；(3)判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．
　　
解：(1)∵ 正方形ABCD中，AH=2，∴ DH=4．
　　　　　 又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为．
　　　　　 在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°， AH=DG=2，EH=HG=，
　　　　　 ∴ △AHE≌△DGH。∴ ∠AHE=∠DGH。
　　　　　 ∵ ∠DGH+∠DHG=90°，∴ ∠DHG+∠AHE=90°，
　　　　　 ∴ ∠GHC=90°，即菱形EFGH是正方形．同理可以证明△DGH≌△CFG．
　　　　　 因此∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而
　　　　(2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，
　　　　　∵ AB∥CD，∴ ∠AEG=∠MGE， ∵ HE∥GF，∴ ∠HEG=∠FGE。
　　　　∴ ∠AEH=∠MGF。 在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
　　　　 ∴ △AHE≌△MFG。∴ FM=HA=2，
　　　　　即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。
因此
　　　　(3)若，由，得，此时，在△DGH中，。
　　　　　 相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上。故不可能有。
　　 另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4，
　　　　　 当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，
　　　　　 HE的长(即菱形的边长)将逐渐变大，最大值为。
　　　　　 此时，，故。
　　　　　 而函数的值随着的增大而减小，
　　　　　 因此，当时，取得最小值为。
　　　　　 又因为，所以△FCG的面积不可能等于1。
巩固练习：
1、把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
2、四边形ABCD、DEFG都是正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
挑战自我：
1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
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2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
4、（2010年福建福州中考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )4，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为 。
5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．
6题 ( http: / / www.21cnjy.com )
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为
7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①∥，②，③，④．
已知：在四边形中，　　　　　，　　　　；求证：四边形是平行四边形．
8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。
（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，
请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边
形的周长。
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
周长为__________ 周长为__________
9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12c m，求梯形中位线的长。
10、（2007·山东）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
10题
11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=，则平行四边形ABCD的周长是 ．
直击中考：
1. （2011安徽）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）【答案】D
A．7 B．9 C．10 D．11
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2. （2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】A
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3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )……
图① 图② 图③ 图④
A．55 B． 42 C．41 D．29
4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】Ｂ
A．120° B．135° C．140° D．144°
6、（2011山东德州）图1是一个边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（ ）【答案】C
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（A） （B） （C） （D）
7. （2011山东泰安）如图，边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）【答案】B
A.17 B.17 C.18 D.19
8. （2011山东泰安）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）【答案】A
A.2 B. eq \f(3,2) C. D.6
9. （2011四川重庆）如图，正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C
A．1 B．2 C．3 D．4
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10. （2011浙江省嘉兴）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）【答案】A
（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm
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11. （ 2011重庆江津）如图,四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 【答案】C
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB， AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：（ ） 【答案】D
①△AED≌△DFB； ②S四边形 BCDG= CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．
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13. （2011山东烟台）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2
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14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】
15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。【答案】
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16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．【答案】．
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17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．【答案】
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18．（2011山东日照，16，4分） ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． 【答案】2;
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19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．
求证：GF∥HE．
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【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，
由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH
∴四边形EGFH是平行四边形 ∴GF∥HE
20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.
(1)若BK=KC，求的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系 请直接写出你的结论，不必证明．
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【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==.
（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，
∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；
∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.
当AE=AD ()时，（）AB=BC+CD.
21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
⑴说明四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
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【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC
∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA
∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE
又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．
22、（2011山东滨州10 ( http: / / www.21cnjy.com )分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
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【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，
四边形AECF是矩形………………2分
证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分
又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分
同理，FO=CO………………6分
∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF是矩形………………10分
23、（2011湖北襄阳10分)如图9 ( http: / / www.21cnjy.com )，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.
（1）求证：∠ADP＝∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由.
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【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分
∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°
∴∠ADP＝∠EPB. 2分
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分
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又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP
∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分
∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分
（3）方法一：
当时，△PFE∽△BFP. 6分
∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分
设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分
∴，
∴ 9分
又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分
方法二：
假设△ADP∽△BFP，则. 6分
∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分
∴， 8分
∴， 9分
∴PB＝AP， ∴当时，△PFE∽△BFP. 10分
24. （2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
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⑵方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
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⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
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【答案】⑴EAF、△EAF、GF．
⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．
即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF．
⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30 ．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
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解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P． ………………（1分）
由已知，AM＝x，AN＝20－x．
∵　四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30 ，
∴　∠PAN＝∠D＝30 ．
在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝（20－x），
即点N到AB的距离为（20－x）． ………………………………（3分）
∵　点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，
∴　x的取值范围是　0≤x≤15． ………………………………（4分）
（2）根据（1），S△AMN＝AM NP＝x（20－x）＝． ……（5分）
∵　＜0，∴　当x＝10时，S△AMN有最大值． …………………………（6分）
又∵　S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形为定值，
∴　当x＝10时，S五边形BCDNM有最小值． …………………………（7分）
当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．
则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． …………（8分）
26、（2007福建晋江）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。⑴请直接写出PN的长；（用含的代数式表示）⑵若0秒≤≤1秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。⑶若0秒≤≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的对应值；若不能，试说明理由。
解：⑴；⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，
则。依题意，可得：
∵0≤≤1.5
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着的增大而增大。
∴当时，S有最大值 ，S最大值＝。
⑶△MPA能成为等腰三角形，
共有三种情况，以下分类说明：
①若PM＝PA，
∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝
又DM＋MQ＋QA＝AD ∴，即
②若MP＝MA，则MQ＝，PQ＝，MP＝MA＝
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：
∴，解得：（不合题意，舍去）
③若AP＝AM，由题意可得：，AM＝∴，解得：
综上所述，当，或，或时，△MPA是等腰三角形。
D
C
A
B
G
H
F
E
A
B
C
D
E
F
D′
第5题图
F
A E B
C
D
A
B
C
D
D
A
B
C
（图1）
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
（图4）
（图3）
（图2）
11题
图1
图2
图3
……
（第10题）
①
②
③
④
⑤
…
A1
A
A2
A3
B
B1
B2
B3
C
C2
C1
C3
D
D2
D1
D3
A
B
C
D
E
F
G
H
第12题图
……
H
A
C
B
D
O
E
G
F
第25题图
（第24题图）
图9
（第25题）①
（第25题）②
（第25题）②解得图
（第25题）③
A
D
C
B
M
N
D
C
B
M
N
A
P
M
A
B
C
N
D
P
y
x
x=1.5
1
2
3
4
1
2
O