2024-2025学年人教A版数学必修第二册8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习(含详解)

第8章　8.3　8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、选择题
1．圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的( )
A．4倍 B．3倍
C.倍 D．2倍
2．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为( )
A．8π B．16π
C．27π D．36π
3．圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2 cm，下底面半径为3 cm，圆台母线长为4 cm，则该圆锥的侧面积为( )
A．28π cm2 B．36π cm2
C．42π cm2 D．48π cm2
4．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B．
C．8π D．
5.如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40 cm，上口直径约为28 cm，经测量可知圆台的高约为16 cm，圆柱的底面直径约为18 cm，则该组合体的体积约为( )
A．11 280 cm3 B．12 380 cm3
C．12 680 cm3 D．12 280 cm3
6．有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积应为多少粟？如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖324钱，一两银子1 000钱，则主人卖后可得银子( )
A．200两 B．400两
C．432两 D．480两
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
8.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为( )
A．7π cm2 B．8π cm2
C．9π cm2 D．11π cm2
二、填空题
9．已知某圆锥的侧面积为12π，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 　.
[解析]　某圆锥的侧面积为12π，其侧面展开图是半圆，设半圆的半径为r，
所以12π＝，所以r＝2，因为半径r即为圆锥母线长l，
设圆锥底面圆半径为R，则πRl＝12π，
所以底面半径R＝，
所以圆锥的高为＝3，
故圆锥的体积为×π×()2×3＝6π.
故答案为6π
10．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是　.
11．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为4π，9π，该圆台的体积为38π，则该圆台的高为___.
12.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 　___cm.
13．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝3，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则该曲池的体积为___.
三、解答题
14．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
15．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
16．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径．
第8章　8.3　8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、选择题
1．D
　设该圆锥轴截面正三角形的边长为2r，则圆锥的底面圆半径为r，母线长为2r，故S底＝πr2，S侧＝·2πr·2r＝2πr2，所以S侧＝2S底，即侧面积是底面积的2倍．故选D.
2．B
设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则，解得.所以该圆柱的体积为V＝π×22×4＝16π.
3．B
如图所示：
圆台的上底面半径为r1＝2 cm，下底面半径为r2＝3 cm，圆台母线长为l＝4 cm，
则＝，解得PA＝8 cm，所以圆锥母线长为PB＝PA＋4＝12 cm，
所以该圆锥的侧面积为S侧＝π×3×12＝36π cm2.
故选B.
4．C
　设球的半径为R，则截面圆的半径为，
∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，
∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
5..D
　由题意得圆柱的高约为40－16＝24(cm)，则何尊的体积V＝V圆台＋V圆柱＝×(142＋92＋14×9)×16＋π×92×24≈12 280(cm3)，故选D.
6．D
由底面圆的周长为12丈，高为1丈，
得底面半径r＝≈＝2(丈)，
则体积V＝×πr2×h≈×3×22×1
＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，
故主人卖粟后可得银子为×＝480两．
7．A
　设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.
8.C
由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2 cm，圆柱的高为3 cm，故圆柱一个底面的面积为π×2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为×4×π×2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．
二、填空题
9． 6π　.
某圆锥的侧面积为12π，其侧面展开图是半圆，设半圆的半径为r，
所以12π＝，所以r＝2，因为半径r即为圆锥母线长l，
设圆锥底面圆半径为R，则πRl＝12π，
所以底面半径R＝，
所以圆锥的高为＝3，
故圆锥的体积为×π×()2×3＝6π.
故答案为6π.
10． 　.
　设大球的半径为R，
则有πR3＝2×π×13，R3＝2，所以R＝.
11． _6__.
圆台的体积V＝h(S1＋＋S2)＝h(4π＋＋9π)＝38π，得h＝6.
所以该圆台的高为6.
故答案为6.
12. 4　cm.
　设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3×πr3，即2r＝8，
所以r＝4 cm.
13． _6π__.
　不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，
由弧AD长度为弧BC长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为，
所以R＝3×r，即R＝3r，CD＝R－r＝2r＝2，
所以r＝1，R＝3.
故该曲池的体积V＝×AA1＝×(R2－r2)×3＝6π.
故答案为6π.
三、解答题
14．
　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
15．
设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
16．　如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．
设外接球半径为R.
∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，
∴AO1＝×a＝a，
SO1＝＝＝a，
在Rt△OO1A中，R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2，
即R2＝2＋2，解得R＝a，
∴所求外接球体积V球＝πR3＝πa3.
∴OO1即为内切球的半径，OO1＝a－a＝a，
∴内切球的半径为a.