2024-2025学年人教A版数学必修第二册 8.4.1 平面 同步练习(含详解)

第8章　8.4　8.4.1平面
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
①一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内；②一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；③若线段AB α，则线段AB延长线上的任何一点必在平面α内；④一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内．
A．①②③ B．②③④
C．③④ D．②③
2．(多选题)有下列四个命题，其中假命题的为( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．两条直线可以确定一个平面
C．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
D．空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内
3．给出下列命题(设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点)，其中真命题有( )
①若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l α；
②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l α，A∈l，则A α；
④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．1或3
5．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D(点D不同于A，B，C)，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
6．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
①P∈a，P∈α a α
②a∩b＝P，b β a β
③a∥b，a α，P∈b，P∈α b α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β P∈b
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
7．(多选题)下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是( )
8．(多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则( )
A．A，C，O1，D1四点共面
B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，D1四点共面
D．G，E，O1，O2四点共面
二、填空题
9．已知α，β为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是___.(填序号)①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN；③A∈α，A∈β α∩β＝A.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是 (　(填序号)．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内．
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1.
(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．
11．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是___.
12．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m α、n β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为___.
13．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是___.
三、解答题
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点．证明：E，F，D，B四点共面．
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：
(1)E、C、D1、F、四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
16．已知三条直线a，b，c相交于同一点O，直线d与它们分别相交于点A，B，C，(异于O点)，求证：a，b，c，d四条直线在同一个平面内．
第8章　8.4　8.4.1平面
一、选择题
1．B
　若一条直线上有一个点在平面内，则这条直线在平面内或直线与平面相交，故①不正确；一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，故②正确；若线段AB α，则A，B∈α，所以直线AB α，则线段AB延长线上的任何一点必在平面α内，故③正确；一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线在平面上，故射线上所有的点都在这个平面内，故④正确．故选B.
2．ABD
如果两个平面有三个公共点，当三点不共线时，这两个平面重合，故A错误；两条直线可以确定一个平面也可以异面，故B错误；若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l(由基本性质3可得)，故C正确；空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，故D错误．故选ABD.
3．C
在①中，若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则由基本事实1知l α，故①正确；在②中，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则由基本事实3知a∩β＝AB，故②正确；在③中，若l α，A∈l，则A α或A∈α，故③错误；在④中，若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则由基本事实2得α与β重合，故④正确．故选C.
4．D
当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．
5．D
　对于AB，假设A∈β，
又A∈α，则A∈(α∩β)，又α∩β＝l，所以A∈l，
又A∈AB，所以A∈AB∩l，与AB∩l＝D矛盾，
则A β，即平面γ，β的交线不过点A，故A错误，同理，B错误；
对于CD，因为C∈β，C∈γ，D∈l β，D∈AB γ，
所以C∈β∩γ，D∈β∩γ，即点C，D在β与γ的交线上，故C错误，D正确．
故选D.
6．D
　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a α，
∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.
7．ABC
在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选ABC.
8．ACD
因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，故D正确．
二、填空题
9．①②__.
对于①，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，可知a β，故①正确；对于②，由M∈α，N∈α，可知MN α，同理，MN β，所以α∩β＝MN，故②正确；对于③，若A∈α，A∈β，则A∈(α∩β)，由基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，可知α∩β是经过点A的一条直线而不是点A，故③不正确．
故答案为①②.
10． (2)(3)(4)　
　(1)错误．如图所示，点A 平面CC1B1B，所以直线AC1 平面CC1B1B.
(2)正确．如图所示．
因为O∈直线AC 平面AA1C1C，O∈直线BD 平面BB1D1D，O1∈直线A1C1 平面AA1C1C，O1∈直线B1D1 平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以A，B1，C1，D共面．
11． _共线__.
∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．
12． _P∈l__.
　因为m α，n β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.
13． _0__.
　如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.
三、解答题
14．
　如图，
连接EF，BD，B1D1.
∵EF是△B1C1D1的中位线，
∴EF∥B1D1.
∵BB1与DD1平行且相等，
∴四边形BDD1B1是平行四边形，
∴BD∥B1D1，
∴EF∥BD，
∴E，F，D，B四点共面．
15.
(1)分别连接EF、A1B、D1C，
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B且EF＝A1B.
又∵A1D1綉B1C1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.
EF与CD1确定一个平面．
∴E、F、D1、C四点共面．
(2)∵EF綉CD1，
∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，
∵D1F 平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE 平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，
∴P∈直线AD(基本事实3)，∴直线CE、D1F、DA三线共点．
16．
　依题意O d，设点O及直线d确定一个平面，记为α.
∵A∈d，d α，∴A∈α，又a∩d＝A，∴A∈a，
又O∈a，O∈α，则a α，
同理可证，b α，c α，所以a，b，c，d四条直线在同一个平面内．