2024-2025学年人教A版数学必修第二册8.5.1 直线与直线平行 同步练习(含详解)

第8章　8.5　8.5.1直线与直线平行
一、选择题
1．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．无法判断
2．在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
4．如图，在三棱锥P－ABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是( )
A．PH∥BG B．IE∥CP
C．FH∥GJ D．GI∥JH
5.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是棱AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
7．(多选题)下列四面体中，直线EF与MN不可能平行的是( )
8．(多选题)如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
二、填空题
9.如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有 　条．
10．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为___.
11．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝　 .
12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为___.
13．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a 平面α，b 平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的命题是___(填序号)．
三、解答题
14.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
15．如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且＝，求证：直线EH与直线FG平行．
16.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
第8章　8.5　8.5.1直线与直线平行
一、选择题
1．B
由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．
2．D
如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，
又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.
故选D.
3．D
分别与两条异面直线平行的直线不可能平行，否则，由基本性质4可得原来的两条异面直线平行，与两直线异面矛盾．但可以相交或异面．
4．C
由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由平行公理可得FH∥GJ.
5.A
　∵E，F为中点，∴EF∥PN，
同理，HG∥PN，∴EF与HG平行．
6．C
如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
7．ABD
根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；C中直线EF与MN有可能平行；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能．故选ABD.
8．ABC
由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ綉BD，NP綉BD，所以MQ綉NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．
二、填空题
9. 3　．
　∵四边形ABB′A′、ADD′A′均为长方形，
∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形，
∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.
故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.
10． _梯形__.
　如图
在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
11． m　.
　连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD.∴MN綉EF，EF綉BD.
∴MN綉BD.∴MN＝m.
12. _①②__.
　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
13． _①__．
　由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a α，b β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．
三、解答题
14.
　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．
15．
∵E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且＝，则FG∥BD，
∴EH∥FG，
故直线EH与直线FG平行．
16.
　如图所示，在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.