中考复习数学专题——代数与几何综合题（共9页）

代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中 ( http: / / www.21cnjy.com )的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题， ( http: / / www.21cnjy.com )分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
第一类：与反比例函数相关
1．（09北京）如图，点C为⊙O直径AB上一点，过点C的直线交⊙O
于点D、E两点，且∠ACD=45°，于点F，
于点G． 当点C在AB上运动时，设，，下列
图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A、B、C ，则m 的值为 ．
3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数，，，，只有当时，等号成立．
结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，
只有当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题：
（1） 若，只有当 时，有最小值 ．
（2） 探索应用：已知，，点P为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，．
求四边形面积的最小值，并说明此时
四边形的形状．
4．（08南通）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点
坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积
为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，
求p－q的值．
5．（09.5西城）已知：反比例函数和 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，AB∥y轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与、的图象交于点C、D.
（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；
（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小；
（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.
答案：（1） 点F的坐标为.
（2）. （3）点A的坐标为
6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．
（1）若的面积为4，求点的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，求直线的函数解析式．
答案：
（1）点的坐标为 ； （2）．
（3）所求直线的函数解析式是或
二、与三角形相关
7．（07北京）在平面直角坐标系xOy中, 抛物线 y = mx2 + 2mx + n经过P (, 5),
A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的顶点为B, 将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l, 直线l与抛物线的对称轴交于C点, 求直线l的解析式;
(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB, OC, BC距离相等的点的坐标．
答案：(1)抛物线的解析式为: y =+ 2
(2)直线 l 的解析式为 y =x
(3) 到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为:
M1(, 0)、 M2 (0, 2)、 M3(0, 2)、M4 (2, 0).
8． (08北京)平面直角坐标系xOy中， ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C, 点B的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B, C两点.
(1) 求直线BC及抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的顶点为D, 点P在抛物线的对称轴上, 且APD =ACB, 求点P的坐标;
(3) 连结CD, 求OCA与OCD两角和的度数.
答案：(1) 直线BC的解析式为 y = x + 3. 抛物线的解析式为 y = x2 4x + 3.
(2)点P的坐标为 (2, 2) 或 (2, 2).
(3) OCA与OCD两角和的度数为45.
9．（10.6密云） 已知：如图，抛物线与
轴交于、两点，点在点的左边，是抛物线 上一动点（点与点、不重合），是中点，连结并延长，交于点．
（1）求、两点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）求的值；
（3）当、两点到轴的距离相等，且时， 求抛物线和直线的解析式．
答案：（1）（，0），（，0）． （2）．
（3）抛物线的解析式为 ．直线的解析式为
10．（崇文09）如图，抛物线，与轴交于点，且．（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，的值．
答案：
（I） （II），
（III）．
11. (11.6东城) ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
答案：（1）．
（2）由＝． CF＝FM＋CM＝．
（3）点P的坐标为（1，）
三、与面积有相关
12．（11.6通县）已知如图，中，，与x轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过的三个顶点，
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）若直线将四边形面积平分，求此直线的解析式.
（3）若直线将四边形的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定中k的取值范围.
13．（11.6顺义）已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，对称轴是．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作∥，分别交轴、于点P、，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求的值.
四、与最值相关
14．（09石景山）平面直角坐标系中有 ( http: / / www.21cnjy.com )一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②,将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．
（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，求直线DE的解析式．
（2）设（1）中所求直线DE与x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．
（3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．
答案：（1）直线DE的解析式：y=-x+12
（2）直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点
（3）b
15．已知抛物线的图像经过点A和点B．
（1）求该抛物线的解析式；
(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AB只有一个交点 求出此时抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线向右平移个单位，再向下平移t个单位（t>0），此时，抛物线与轴交于M、N两点，直线AB与轴交于点P，当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
答案：（1）抛物线的解析式为.(2)　析式为
（３）当时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为
16．（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部.
求线段AC的长；
当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
求△BCD周长的最小值；
当△BCD的周长取得最小值，且BD=时,△BCD的面积为 .
答案：（1） AC=4.
（2）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，S△BCD= 2-2.
（3）∴△BCD的周长的最小值为4. （4）.
五、与四边形及圆相关
17．(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．
（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；
（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；
（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，
① 求此抛物线W的解析式；
② 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，
P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．
答案：（1）中的m=． （2）．
（3）符合题意的点Q的坐标是，．
18.（12.年1石景山）如图，矩形是矩形绕点B顺时针旋转得到的．其中点在轴负半轴上，线段在轴正半轴上，点的坐标为．
（1）如果二次函数的图象经过两点且图象顶点的纵坐标为．求这个二次函数的解析式；
（2）求边所在直线的解析式；
（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：（1） （2）
（3） ， ．
19．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
答案：（1）抛物线为.
(2) 答：与⊙相交.
（3）的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）.
20．（11.6朝阳）在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A’DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
(1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，，则y的值为 ；
(2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为 ；
(3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x.
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.
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图(甲) 图(乙) 备用图
答案：（1）. （2）12.
（3） ．
当时，值最大，最大值是10．
A
B
C
D
y
x
B
A
D
P
C
O
（第3题）
（第4题）
y
O
·
A
D
x
B
C
E
N
M
·
B
C
A
x
y
F
O
D
E
图①
图②
(第19题)