阶段验收评价（三） 万有引力与宇宙航行
(时间：75分钟，满分：100分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( )
A．开普勒测出了引力常量
B．牛顿第一定律能通过现代的实验手段直接验证
C．卡文迪什发现地月间的引力满足距离平方反比规律
D．伽利略将实验和逻辑推理和谐地结合起来，发展了科学的思维方式和研究方法
解析：选D 卡文迪什测出了引力常量，故A错误；牛顿第一定律不是实验定律，不能通过现代的实验手段直接验证，故B错误；牛顿发现地月间的引力满足距离平方反比规律，故C错误；伽利略将实验和逻辑推理和谐地结合起来，发展了科学的思维方式和研究方法，故D正确。
2．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。若认为冬至这天地球离太阳最近，夏至最远。则下列关于地球在这两天绕太阳公转时速度大小的说法中正确的是( )
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
解析：选B 冬至这天地球与太阳的连线短，夏至长。根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过相等的面积，则在相等的时间内，冬至时地球运动的路径要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至时的速度大，故B正确。
3.北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图所示是其中三颗卫星a、b、c的轨道示意图，a、b、c三颗卫星均绕地球做圆周运动，轨道半径相同，a是地球静止卫星( )
A．卫星a可以经过北京正上空
B．卫星a运行周期比c卫星的大
C．卫星b的运行速率大于7.9 km/s
D．卫星b、c的运行周期均为24小时
解析：选D a是地球静止卫星，静止卫星的轨道平面在赤道平面，周期与地球自转周期相等，为24小时，不可以经过北京正上空，故A错误；人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有：＝mr，解得T＝2π，a、b、c三颗卫星的轨道半径相等，则周期相等，都是24小时，故B错误，D正确；7.9 km/s为绕地球运行的最大环绕速度，卫星b的轨道更高，运行速率小于7.9 km/s，故C错误。
4．如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常量G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列结论正确的是( )
A．M＝ B．M＝
C．M＝ D．M＝
解析：选A 月球表面物体的重力等于万有引力，有＝mg，解得M＝，故A正确，B错误；因为周期T是月球绕地球转动的周期，所以不能利用周期T计算月球的质量，故C、D错误。
5．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
解析：选C 设月球所在高度处重力加速度为g′，由F引＝得，在地球表面附近g＝，同理在月球所在高度处g′＝，由于r＝60R，则g′＝g，对月球由牛顿第二定律得m′g′＝m′r2，解得T＝120π，故C正确。
6．1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 360 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，可得a2＞a3，因此a1＞a2＞a3，故D正确，A、B、C错误。
7．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知每过N年地球比行星多运动一周，即－＝1，再结合开普勒第三定律＝C，有＝＝，故B正确。
8．某球状行星具有均匀的密度ρ，若在赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星自转角速度为(万有引力常量为 G)( )
A. B．2
C. D.
解析：选B 设该星球的半径为R，星球的质量为M，在赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则有＝mω2R，又有M＝ρ·πR3，联立解得该行星自转角速度为ω＝2，B正确，A、C、D错误。
二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．“火星冲日”现象是指火星运行至距离地球最近的位置，火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3
B．地球与火星的公转线速度大小之比为∶2
C．地球与火星的公转周期之比为∶
D．地球与火星的向心加速度大小之比为∶
解析：选BC 根据G＝m＝mω2r＝m＝ma，解得ω＝ ，则地球与火星的公转角速度大小之比为，故A错误；v＝ ，则地球与火星的公转线速度大小之比为，故B正确；T＝2π，则地球与火星的公转周期之比为∶，故C正确；a＝，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，故D错误。
10．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
解析：选AC 据＝mR，可得T＝2π ，可知半径越大，则周期越长，故A正确；据＝m，可得v＝ ，可知轨道半径越大，速度越小，故B错误；若测得周期，则有M＝，其中R是P的轨道半径；若测得张角θ，则该星球半径为r＝Rsin，所以M＝ρV＝πr3ρ＝π3ρ，则ρ＝，故C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球密度，故D错误。
11．若某火星探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比约为1∶2，密度之比约为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是( )
A．g′∶g＝4∶1 B．g′∶g＝5∶14
C．v′∶v＝ D．v′∶v＝
解析：选BC 在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，G＝mg，g＝＝G·＝πGρR，所以＝·＝×＝，故A错误，B正确；探测器绕地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律有G＝m，得v＝ ①，M为中心天体质量，R为中心天体半径，则M＝ρ·πR3 ②，由①②得v＝ ，已知火星和地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，所以探测器绕火星表面运行和绕地球表面运行线速度大小之比为＝ ＝＝ ，故C正确，D错误。
12.两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是( )
A．两卫星在图示位置的速度v1＝v2
B．两卫星在A处的加速度大小相等
C．两颗卫星在A点或B点处可能相遇
D．两卫星永远不可能相遇
解析：选BD v2为椭圆轨道的远地点处的速度，速度最小，v1表示做匀速圆周运动的速度，v1>v2，故A错误；两个轨道上的卫星运动到A点时，所受的万有引力产生加速度a＝，加速度相同，故B正确；椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，则不会相遇，故D正确，C错误。
三、非选择题(本题共4小题，共44分)
13．(9分)学完万有引力定律及航天的知识后，两位同学在探究学习时，一位同学设想可以发射一颗周期为1 h的人造环月卫星，而另一位同学表示不可能有这种卫星。这两位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他们记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，地球半径约为6.4×103 km，地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2。经过推理，他们认定不可能有周期为1 h的人造环月卫星，试写出他们的论证方案。
解析：对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律有＝mr，解得T＝2π ；当r＝R月时，T有最小值，又＝g月， 所以Tmin＝2π＝2π＝2π ，代入数据解得Tmin≈1.73 h；
环月卫星最小周期为1.73 h，故不可能有周期为1 h的人造环月卫星。
答案：见解析
14.(9分)量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，静止卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。
解析：设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力，则有G＝m，又r1＝mR，解得v1＝ ，对静止卫星，根据万有引力提供向心力，则有G＝m′，又r2＝nR，解得v2＝ ，
静止卫星与P点有相同的角速度，则有ω＝＝，
解得v3＝＝ ，
则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为
＝＝ 。
答案：
15．(11分)石墨烯是一种具有超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径为R，自转周期为T，地球北极表面重力加速度为g0，引力常量为G。
(1)求地球的质量M；
(2)太空电梯停在距地3R的站点，求该站点处的重力加速度g的大小。
解析：(1)设质量为m0的物体在北极地面静止，则m0g0＝G，
解得M＝。
(2)设货物质量为m，在距地面高3R站点受到的万有引力为F，则F＝G，货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为N，则
F－N＝mω2·4R
N＝mg
ω＝
联立解得g＝－。
答案：(1) (2)－
16．(15分)宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v0水平抛出，水平射程为x。已知月球的半径为R，引力常量为G。不考虑月球自转的影响。求：
(1)月球表面的重力加速度大小g0 ；
(2)月球的质量M；
(3)飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v。
解析：(1)设飞船质量为m，设小球落地时间为t，根据平抛运动规律，
水平方向：x＝v0t，
竖直方向：h＝g0t2，
解得：g0＝。
(2)在月球表面忽略月球自转时，有＝mg0
解得月球质量 M＝。
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律得＝m，
解得 v＝ 。
答案：(1) (2) (3)
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主干知识成体系
续表
迁移交汇破疑难
一、天体运动中四组易混概念的比较
1．两个半径——天体半径和卫星轨道半径
(1)天体半径R：在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小。
(2)卫星轨道半径r：卫星绕中心天体做圆周运动的轨道圆的半径。
[特别提醒]
当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为r＝R。
2．三种速度——运行速度、发射速度和宇宙速度
典例1 (多选)我国“神舟十八号”载人飞船的发射过程简化图如图所示：先由“长征”运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道Ⅰ，在远地点B将飞船送入预定圆轨道Ⅱ。下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于超重状态
B．飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至B处时加速度相等
C．飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期相等
D．飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于第一宇宙速度
[答案] BD
答案：CD
解析：11.2 km/s是卫星脱离地球引力束缚的发射速度，而静止卫星仍然绕地球运动，故A错误；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星做圆周运动最大的环绕速度，静止卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，故B错误；P点是椭圆轨道Ⅰ上的近地点，故卫星在P点的速度大于在Q点的速度，卫星在轨道Ⅰ上的Q点做向心运动，只有加速后才能沿轨道Ⅱ运动，故C、D正确。
答案：CD
二、近地卫星、静止卫星与赤道上物体的比较
[答案] CD
答案：AD
4．(多选)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，宇航员可通过竖直的电梯直通太空站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。关于相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的有 ( )
A．随着r增大，宇航员的线速度增大
B．图中r0为地球静止卫星的轨道半径
C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度
D．随着r增大，宇航员感受到“重力”也增大
解析：相对地面静止在不同高度的宇航员，地球自转角速度不变，根据v＝ωr可知，宇航员的线速度随着r的增大而增大，故A正确；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，所以宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的静止卫星，即r0为地球静止卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处是在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故C错误；
答案：AB
模型构建探本质
从两个星体的位置在中心天体同侧且与中心天体共线时开始计时，内侧轨道的星体所转过的圆心角与外侧轨道的星体所转过的圆心角之差：
(1)等于2π的整数倍时就是相距最近的时刻，即
ω内t－ω外t＝k·2π ，k＝1,2,3，…
(2)等于π的奇数倍时就是相距最远的时刻，即
ω内t－ω外t＝(2k－1)·π ，k＝1,2,3，…
典例 (多选)如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星O做圆周运动，旋转方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相距最近，下列判断正确的是 ( )
[答案] BD
答案：AD
6．(多选)天文爱好者熟知的“土星冲日”现象是指土星和太阳正好分别处在地球的两侧，三者几乎成一条直线。该天象每378天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨道都近似为圆，地球绕太阳公转周期和半径以及引力常量均已知，根据以上信息可求出 ( )
A．土星质量
B．地球质量
C．土星公转周期
D．土星和地球绕太阳公转速度之比
答案：CD
创新应用提素养
一、飞船对接问题
1．低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
2．同一轨道飞船与空间站对接
如图7-7乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
【针对训练】
7．我国发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。已知对接轨道处所处的空间存在极其稀薄的空气，下列说法正确的是 ( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙 速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，组合体的速率会增加
C．先让天舟一号进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接
D．航天员在睡觉时处于平衡状态
答案：B
8．我国先发射了天宫二号空间实验室，之后发射神舟十一号飞船与天宫二号对接。假设天宫二号与神舟十一号都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是 ( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析：若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，则飞船将做离心运动，不能实现对接，故A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则空间实验室将做近心运动，不能实现对接，故B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，故C正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，故D错误。
答案：C
二、天体运动与运动学知识的综合
关于万有引力定律的应用考查，也常与抛体运动综合命题。在地球上所有只在重力作用下的运动形式：如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，要特别注意在不同的天体上重力加速度一般不同。
答案：AD
10．2024年7月5日，搭载着天绘五号02组卫星的长征六号改运载火箭在太原卫星发射中心成功发射。若天绘五号02组卫星绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则天绘五号02组卫星的轨道半径为( )
答案：B
