课时跟踪检测（九） 圆周运动的两种模型和临界问题
组—重基础·体现综合
1．如图甲所示是杂技演员表演的“水流星”节目，在长为1.8 m的细绳的两端，各系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的中点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图乙所示，若“水流星”通过最高点时的速率为3 m/s(g取10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：选B 水流星在最高点的临界速度v＝＝3 m/s，由此知绳的拉力恰为0，且水恰不流出，故B正确。
2．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析：选B 水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，运动员的安全速度v满足kmg≥m，解得v ≤，故B正确。
3. (多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R。则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
解析：选BD 向心力是效果力，由其他力提供，故小球受向心力这种说法错误，A错误；小球受重力，并且由题意，小球冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，所以小球受圆弧的压力，B正确；在最高点A，由向心力公式mg＋mg＝m解得v＝，C错误；在最高点A，由牛顿第二定律mg＋mg＝ma，解得a＝2g，D正确。
4.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)( )
A．1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D．3 rad/s
解析：选B 对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。
5．(多选)球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接，如图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么( )
A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B．球A转动的半径是球B转动半径的一半
C．当A球质量增大时，球A向外运动
D．当ω增大时，球B向外运动
解析：选BC 因为杆光滑，两球的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故A错误；根据F＝mω2r，mA＝2mB，rB＝2rA，故B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，故C正确；当ω增大时，球B不动，故D错误。
6.如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力fm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(孔光滑)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O孔的距离可能是(重力加速度g取10 m/s2，木块、小球均视为质点)( )
A．16 cm B．5 cm
C．60 cm D．36 cm
解析：选A 木块在水平面内转动时，水平转台对木块的支持力与木块自身重力相平衡，拉力与水平转台对木块的静摩擦力的合力提供木块做圆周运动的向心力。设木块到转台中心的距离为R，木块以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，则此时转台对木块的摩擦力为0。若R1>R，Mω2R1>mg，则转台对木块的摩擦力方向沿转台半径指向中心，由牛顿第二定律得f1＋mg＝Mω2R1，当f1＝fm时，R1最大。因此，木块到转台中心的最大距离为R1＝＝ m＝0.32 m；若R27.如图所示，环形车道竖直放置，半径为6 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，特技演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态
B．汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N
C．汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s
D．若要挑战成功，汽车在最高点的速率不可能低于12 m/s的恒定速率运动
解析：选B 汽车通过最低点时，加速度方向竖直向上，特技演员处于超重状态，故A错误；汽车在最高点，根据牛顿第二定律得，FN＋mg＝m，解得FN＝m－mg＝14 000 N，故B正确；汽车在环形车道上的角速度ω＝＝ rad/s＝2 rad/s，故C错误；要想通过最高点，临界情况是轨道对汽车的压力为0，根据牛顿第二定律得，mg＝m，解得v′＝＝ m/s＝2 m/s，即最小速度为2 m/s，故D错误。
8.如图所示，小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为R的圆周运动，小球过最高点速度为v，则下列说法中正确的是( )
A．v的最小值为v＝
B．v从减小，受到的管壁弹力也减小
C．小球通过最高点时一定受到向上的支持力
D．小球通过最低点时一定受到外管壁的向上的弹力
解析：选D 小球在管道中运动，在最高点的最小速度为零，A错误；当管道当对小球的弹力为零，重力提供向心力，根据mg＝m，解得v＝，当v由逐渐减小，管道对小球的弹力向上，根据牛顿第二定律得，mg－F＝m，知弹力增大，B错误；小球在最高点时由于速度的大小未知，故可能受到向下的弹力，也可能受到向上的弹力，C错误；在最低点，因为向心力指向圆心，所以重力和弹力的合力方向竖直向上，知外管壁对小球有向上的弹力作用，D正确。
9．长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。
解析：小球在最高点的受力情况如图所示。
(1)杆的转速为2 r/s时，
ω＝2π·n＝4π rad/s，
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N，
即杆对小球有138 N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n′＝π rad/s，
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N，
力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，即杆对小球有10 N的向上的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。
答案：(1)138 N，方向竖直向上 (2)10 N，方向竖直向下
组—重应用·体现创新
10.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
解析：选D 设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，故D正确。
11.(多选)如图所示，倾角θ＝30°的斜面体C固定在水平面上，置于斜面上的物块B通过细绳跨过光滑定滑轮(滑轮可视为质点)与小球A相连，连接物块B的细绳与斜面平行，滑轮左侧的细绳长度为L，物块B与斜面间的动摩擦因数μ＝。开始时A、B均处于静止状态， B、C间恰好没有摩擦力，现让A在水平面内做匀速圆周运动，物块B始终静止，则A的角速度可能为( )
A. B.
C. D.
解析：选ACD 开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力，则有mAg＝mBgsin θ，解得mB＝2mA。当A以最大角速度做圆周运动时，要保证B静止，此时绳子上的拉力FT＝mBgsin θ＋μmBgcos θ＝2mAg。设A以最大角速度做圆周运动时绳子与竖直方向的夹角为α，则cos α＝＝，α＝60°，对A受力分析可知，物体A做圆周运动的半径R＝Lsin α＝L，向心力为Fn＝FTsin α＝mAg，由向心力公式Fn＝mAω2R，代入数据解得ω＝，故角速度小于等于，A、C、D正确。
12．如图所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住细线的另一端使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。当小球的角速度增大到原来的3倍时，细线断裂，测得这时细线的拉力比原来大40 N(g取10 m/s2)。求：
(1)细线断裂的瞬间，细线的拉力大小；
(2)细线断裂时小球运动的线速度大小；
(3)如果桌面高出地面h＝0.8 m，细线断裂后小球垂直于桌面边缘飞出去的落地点离桌面边缘的水平距离s。
解析：(1)小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，有F＝mω2R，
设原来的角速度为ω0，细线的拉力为F0；当角速度为ω＝3ω0时，细线的拉力为F。
则F∶F0＝ω2∶ω02＝9∶1，
又F－F0＝40 N，
解得F＝45 N。
(2)设细线断裂时小球的线速度为v，
由牛顿第二定律得F＝m，
解得v＝ ＝ m/s＝5 m/s。
(3)由平抛运动的规律得小球在空中运动的时间为
t＝ ＝ s＝0.4 s，
故小球落地点离桌面边缘的水平距离
s＝vt＝5×0.4 m＝2 m。
答案：(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
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习题课一 圆周运动的两种模型和临界问题
综合提能(一) 竖直平面内圆周运动的两种模型
【知识贯通】
1．模型建立
在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类：
(1)“轻绳模型”(无支撑)
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳模型”。
(2)“轻杆模型”(有支撑)
小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻杆模型”。
2．两种模型对比
模型 “轻绳模型” “轻杆模型”
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于0 弹力可能向下，可能向上，也可能等于0
典例1 如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在
竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，
g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。
典例2 长L＝0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量
m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。
在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：
(g取10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
[答案] (1)16 N，向下的压力
(2)44 N，向上的拉力
解答竖直平面内物体的圆周运动问题的两个关键
(1)确定其属于轻“绳”模型，还是轻“杆”模型；
(2)注意区分两者在最高点的最小速度的要求，区分绳与杆的施力特点。
【集训提能】
1．如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客
在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受
重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等
于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为 ( )
答案：C
2．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN-v2图像如图乙所示，则
( )
答案：A
3．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是 ( )
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
答案：ACD
综合提能(二) 圆周运动的临界问题
【知识贯通】
圆周运动的临界问题，主要涉及临界速度与临界力，常常与绳的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关。在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动所需的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度等，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。
①绳子断与不断的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力；
②绳子松弛的临界条件：绳子的张力F＝0。
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。
相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)与接触面有关的圆周运动临界问题。
接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。
典例3 (2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)，则( )
A．离轴OO′越远的陶屑质量越大
B．离轴OO′越近的陶屑质量越小
C．只有平台边缘有陶屑
D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
[答案] D
典例4 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
典例5 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质
量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体
顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕
锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。
(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【集训提能】
答案：A
5.如图所示，一长L＝0.4 m的轻杆，可绕通过中点O的水平轴在竖直平面内转动，在轻杆两端分别固定小球A、B。当A球通过最低点，B球通过最高点，且旋转的角速度ω＝10 rad/s时，转轴对轻杆恰好无作用力，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切摩擦和阻力，则A、B两个小球的质量之比为( )
A．mA∶mB＝1∶3
B．mA∶mB＝1∶1
C．mA∶mB＝2∶3
D．mA∶mB＝9∶11
答案：A
6． 如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，
一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且
物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则 ( )
A．绳的拉力可能为0
B．桶对物块的弹力不可能为0
C．若它们以更大的角速度一起转动，则绳的张力一定增大
D．若它们以更大的角速度一起转动，则绳的张力仍保持不变
解析：因为桶的内壁光滑，桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于0，故A错误。绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为0，故B错误。由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，因此绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C错误，D正确。
答案：D
