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3 向心加速度
核心素养点击
物理观念 (1)知道向心加速度的概念。
(2)知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式。
科学思维 (1)理解向心加速度与半径的关系，并会用它来进行简单的计算。
(2)能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
科学态度与责任 了解在分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．填一填
物体做匀速圆周运动时的加速度总指向_____，我们把它叫作_____________。
2．判断
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度的方向总是指向圆心。 ( )
(3)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内其速度变化量是相同的。 ( )
圆心
向心加速度
×
√
×
3．想一想
如图所示，一质点绕O点做匀速圆周运动，请思考：
(1)质点在A点和B点时的加速度方向。
(2)质点在A点的加速度方向与在B点的加速度方向相同吗？
提示：(1)均指向圆心O。
(2)不相同。
ω2r
2．判断
(1)物体做匀速圆周运动时其加速度的大小不变。 ( )
(2)由an ＝可知，加速度an与半径r成反比。 ( )
(3)由an＝ω2r可知，加速度an与半径r成正比。 ( )
√
×
×
3．选一选
物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度 ( )
A．大小、方向均保持不变
B．大小、方向均时刻改变
C．大小时刻改变、方向保持不变
D．大小保持不变、方向时刻改变
解析：做匀速圆周运动的物体其速度大小不变。由向心加速度公式an＝
可知其大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，故其方向时刻改变。故D正确。
答案：D
主题探究(一) 向心加速度的理解
[问题驱动]
(1)物体在做匀速圆周运动时，物体的加速度等于向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
(2)物体在做变速圆周运动时，物体的加速度等于向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
提示：(1)在匀速圆周运动中，物体的加速度等于向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
(2)在变速圆周运动中，物体的加速度不一定等于向心加速度，加速度方向不一定指向圆心，向心加速度方向指向圆心。
【重难释解】
1．物理意义
向心加速度描述线速度变化的快慢：
(1)只表示线速度的方向变化的快慢；
(2)不表示线速度大小变化的快慢。
2．方向
向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，始终与物体运动方向垂直，向心加速度的方向时刻改变。
3．匀速圆周运动的加速度与向心加速度的关系
物体做匀速圆周运动时，物体的加速度就等于向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
4．变速圆周运动的加速度与向心加速度的关系
物体做变速圆周运动时，物体的加速度一般情况下不等于向心加速度，加速度方向不一定指向圆心，加速度可分解为两个分量：
(1)向心加速度an，方向指向圆心，表示速度方向变化的快慢；
(2)切向加速度at，方向沿切线方向，表示速度大小变化的快慢。
[特别提醒]
物体做变速圆周运动中，在某些位置物体的加速度：
(1)可能等于向心加速度，方向指向圆心；
(2)也可能不等于向心加速度，方向不指向圆心。
典例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的
D．物体做匀速圆周运动时，其向心加速度的大小不断变化
[解析] 向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小，只是改变线速度的方向，由于加速度是矢量，所以向心加速度是时刻变化的，向心加速度大小不变，故B、C、D错误，A正确。
[答案] A
【素养训练】
1．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度的方向不一定指向圆心
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
解析：向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，故B错误；加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，而向心加速度方向指向圆心，始终与速度垂直(时刻改变)，不能改变速度的大小，只改变速度的方向，所以向心加速度的物理意义可以说成是描述线速度方向变化的快慢，而不能说成是描述物体速率变化的快慢，故A、D错误，C正确。
答案：C
解析：匀速圆周运动的向心加速度是由向心力决定的，与圆周运动的半径无关，A错误；匀速圆周运动的线速度大小不变，但是方向不断变化，B错误； 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，C正确；向心加速度越大，物体速度方向变化越快，D错误。
答案：C
3．细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，图6.3-2中可能的是 ( )
图6.3-2
解析：做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，故B正确。
答案：B
主题探究(二) 向心加速度公式的理解及应用
[问题驱动]
如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中
A、C在叶片的端点，B在叶片的中点。当叶片匀速转动时，思
考以下问题：
(1)A、B、C三点的线速度的大小关系？角速度的大小关系？
(2)A、B、C三点的向心加速度的大小关系？
提示：(1)vA＝vC＞vB ωA＝ωB＝ωC
(2)aA＝aC＞aB
【重难释解】
1．向心加速度的几种表达式
典例2 (多选)如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮
的半径分别为3r和r，从动轮O2上轮的半径为2r，A、B、C分别
为轮缘上的三点，设皮带不打滑，则下列比例关系正确的是 ( )
A．A、B、C三点的加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝6∶2∶1
B．A、B、C三点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝3∶1∶1
C．A、B、C三点的角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1
D．A、B、C三点的加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝3∶2∶1
解题指导
(1)皮带传动问题，皮带连接的两轮边缘处的线速度大小相等，选择公式
a＝ 解答。
(2)同轴传动问题，各点角速度相等，选择公式a＝ω2r解答。
[解析] B、C两点线速度大小相同，由v＝ωr可知B、C两点的角速度与半径成反比，由a＝ 可知B、C两点的向心加速度与半径成反比，则有vB＝vC，ωB∶ωC＝2∶1，aB∶aC＝2∶1；A、B两点角速度相同，由v＝ωr可知A、B两点的线速度与半径成正比，由a＝ω2r可知A、B两点的向心加速度与半径成正比，则有ωA＝ωB，vA∶vB＝3∶1，aA∶aB＝3∶1，因此vA∶vB∶vC＝3∶1∶1，ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，aA∶aB∶aC＝6∶2∶1，故A、B、C正确，D错误。
[答案] ABC
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
【素养训练】
4．旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为 ( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100π rad/s，由向心加速度a＝ω2r≈1 000 m/s2，C正确。
答案： C
5．机械手表中有大量精密齿轮，齿轮转动从而推动表针。某机械手表打开后盖如图甲所示，将其中两个齿轮简化，如图乙所示。已知大、小齿轮的半径之比为3∶2，Q、P分别是大、小齿轮边缘上的点，则P、Q两点的向心加速度大小之比为 ( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶2
答案：D
6．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比 ( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
答案：D
一、培养创新意识和创新思维
如图甲所示，是花样滑冰双人滑表演的某一瞬间情景，可以简化为如图乙所示的模型，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度。
答案：3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
二、注重学以致用和思维建模
1．如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，行驶时 ( )
A．大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大
B．后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大
C．大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比
D．后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比
答案：C
2．硬盘是电脑主要的存储媒介之一，由一个或者多个铝制或者
玻璃制的碟片组成。碟片外覆盖有铁磁性材料。如图所示，
电动机使磁盘以5 400 r/min的转速匀速转动，磁头在读、写
数据时是不动的，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。外磁道某一点P与内磁道某一点Q相比，有 ( )
A．nP>nQ B．ωP>ωQ
C．vPaQ
解析：P、Q两点同轴转动，故两点有相同的角速度，即ωP＝ωQ，根据ω＝2πn，则有nP＝nQ，故A、B错误；由题知P点的半径大于Q点的半径，根据v＝ωr，则有vP>vQ，故C错误；根据a＝ω2r，则有aP>aQ，故D正确。
答案：D
3．(2024·深圳高一检测)如图，为防止航天员的肌肉萎缩，中国空间站配备了健身自行车作为健身器材。 某次航天员健身时，脚踏板始终保持水平，当脚踏板从图中的实线处匀速转至虚线处的过程中，关于脚踏板上P、Q两点的说法正确的是( )
A．P做匀速直线运动
B．Q做匀速圆周运动
C．P的线速度大小比Q的大
D．P的向心加速度大小比Q的大
解析：过O点作PQ的平行线，使O1O、O2O的长度等
于P、Q两点到脚踏板转轴的距离，脚踏板转轴绕O点做
匀速圆周运动，由几何知识可知P、Q两点到O1、O2两
点的距离不变，P、Q两点绕O1、O2点做匀速圆周运动，
且运动半径相等，故A错误，B正确。根据题意可知P、Q两点做圆周运动的角速度大小相等，由v＝ωr得，P、Q两点的线速度大小相等，C错误；由an＝ω2r得，P、Q两点的向心加速度大小相等，D错误。
答案： B
4．一般飞行员能承受的最大向心加速度的大小约为6g。在飞行表演中，飞机某次水平转弯时，可视为在水平面内做匀速圆周运动。若飞机以150 m/s的速度飞行，在该次水平转弯过程中向心加速度为6g，重力加速度g＝9.8 m/s2，则飞机水平转弯半径至少为多少？
答案：382.7 m课时跟踪检测（七） 向心加速度
组—重基础·体现综合
1．关于向心加速度，以下说法中错误的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C 因为向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向沿圆周的切线方向，所以，向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
2.短道速滑是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动，是冬季奥运会正式比赛项目。如图所示，将运动员转弯时在短时间内的一小段运动看做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．运动员受到冰面的恒力作用，做匀速运动
B．运动员受到冰面的恒力作用，做匀变速运动
C．运动员受到冰面的变力作用，做匀变速运动
D．运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动
解析：选D 运动员做匀速圆周运动，合力提供向心力，向心力大小不变但方向时刻改变，所以运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动，故选D。
3．如图所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根横杆间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动。当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )
A．角速度相同 B．线速度相同
C．向心加速度相同 D．所需向心力大小相同
解析：选A 小自行车在转动过程中，转动的周期相等，因此角速度相同，故A正确；根据v＝rω可知，线速度大小相等，但方向不同，故B错误；根据a＝rω2可知，向心加速度大小相等，但方向不同，故C错误；由于不知道小孩的质量关系，根据F向＝mrω2可知，所需向心力大小关系不确定，故D错误。
4．(2024·黑龙江、吉林、辽宁高考) “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的( )
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
解析：选D 根据题图可知，Q点到轴的距离大于P点到轴的距离，则Q点做圆周运动的半径大于P点做圆周运动的半径，A错误；P、Q两点同轴转动，角速度大小相等，根据v＝ωr和a＝ω2r分析可知，Q点的线速度和向心加速度均大于P点的，B、C错误，D正确。
5．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anE
C．anC＝＝2anE D．anC＝＝anE
解析：选C 因为两轮同轴转动，所以C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故C正确。
6．如图所示是学生常用的剪刀，A、B是剪刀上的两点，B离O点更近，则在正常使用过程中( )
A．A、B两点的角速度相同
B．A、B两点的线速度大小相同
C．A、B两点的向心加速度大小相同
D．A、B两点的向心加速度方向相同
解析：选A A、B两点同轴转动，A、B两点的角速度相同，故A正确；根据v＝rω，A、B两点的线速度大小不等，故B错误；根据a＝ω2r，A、B两点的向心加速度大小不相同，故C错误；向心加速度方向指向圆心，故D错误。
7.在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶3∶5，当齿轮转动的时候，比较小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点有( )
A．A点和B点的角速度之比为5∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的向心加速度之比为1∶5
D．A点和B点的线速度大小之比为1∶5
解析：选A 大齿轮和小齿轮是同缘传动，边缘点的线速度大小相等，故A点和B点的线速度大小之比为1∶1，A点和B点的半径之比为1∶5，线速度相等，根据v＝ωr，角速度之比为5∶1，故A正确，B、D错误；根据a＝ωv得A点和B点的向心加速度大小之比为5∶1，故C错误。
8.(多选)现在很多小区车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成；P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，横杆PQ始终保持水平，在杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点都是以O点为圆心做匀速圆周运动
B．P、Q两点的线速度始终相同
C．P、Q两点的加速度不同
D．P、Q两点的角速度始终相同
解析：选BD 根据题意可知，Q点到O点的距离一直在变化，故并不是以O点为圆心做匀速圆周运动，故A错误；P点绕O点做匀速圆周运动，杆PQ始终保持水平，则Q点的运动轨迹也是一个圆周，Q点绕另一个圆心做匀速圆周运动，二者保持相对静止，具有相同的加速度，而且两点的线速度大小相等，则角速度大小相等，故B、D正确，C错误。
9．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12 m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度是多大？
解析：因为vB＝vA，a＝，
所以＝＝2，aB＝0.24 m/s2，
因为ωA＝ωC，a＝ω2r，所以＝＝，
aC＝0.04 m/s2。
答案：0.24 m/s2 0.04 m/s2
组—重应用·体现创新
10.长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球(视为质点)，在O点的正下方的A处钉一个钉子，如图所示。将小球从一定高度摆下，到达最低点时速度大小为v，则细绳与钉子碰后瞬间小球的加速度大小为( )
A. B. C．v2L D.L
解析：选B 细绳与钉子碰后瞬间小球的线速度保持不变，由向心加速度定义式a＝，且r＝，解得a＝，故选B。
11．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，三个轮互相不打滑，则丙轮边缘上某点的向心加速度大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 甲、丙两轮边缘上各点的线速度大小相等，根据a＝，甲、丙两轮边缘上点的向心加速度之比为r3∶r1，a甲＝ω2r1，则a丙＝，故A正确。
12.用如图所示的装置可以测量弹簧枪发射子弹的射出速度。在一根水平轴MN上相隔L安装两个平行的薄圆盘，两圆盘可以绕水平轴MN一起匀速运动。弹簧枪紧贴左盘沿水平方向在水平轴MN的正上方射出一颗子弹，子弹穿过两个薄圆盘，并在圆盘上留下两个小孔A和B(设子弹穿过B时还没有运动到转轴的下方)。若测得两个小孔距水平轴MN的距离分别为RA和RB，它们所在的半径按转动方向由B到A的夹角为φ(φ为锐角)。求：
(1)弹簧枪发射子弹的射出速度；
(2)圆盘绕MN轴匀速转动的角速度；
(3)若用一橡皮泥将A孔堵上，则橡皮泥的向心加速度的大小是多少？
解析：(1)以子弹为研究对象，子弹在从A运动到B的过程中，由平抛运动的规律可得RA－RB＝gt2，x＝L＝v0t，联立解得v0＝L。
(2)子弹从A运动到B所用的时间为
t＝＝ ，
在此过程中，设圆盘转动了n圈，则转过的角度为
θ＝2nπ＋φ(n＝0,1,2，…)，
所以圆盘转动的角速度为
ω＝＝(2nπ＋φ) (n＝0,1,2，…)。
(3)橡皮泥的角速度与圆盘转动的角速度相等，因此橡皮泥的向心加速度为
a＝ω2RA＝(n＝0,1,2，…)。
答案：(1)L
(2)(2nπ＋φ) (n＝0,1,2，…)
(3)(n＝0,1,2，…)
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