2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末真题汇编复习【2024新教材】
解答题典型必刷练40题（压轴题）
（原卷版）
同学你好，该份练习结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)见解析
【思路引导】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案；
（2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案；
（3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案．
【完整解答】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．
（1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________
【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题：
①当___________秒时，边落在边上．
②当平分时，___________秒
【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，．
【答案】（1）（2）①3 ②（3）或
【思路引导】（1）由计算即可得到答案；
（2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此；
②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解；
（3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案．
【完整解答】（1）解：，，，
，
故答案为：；
（2）解：①由（1）得，，
当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，
三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒，
，
故答案为：3；
②当平分时，图如图所示，
边平分，
，
旋转角度为，
，
故答案为：；
（3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为，
①边与边相遇前，可得：，
解得：；
②边与边相遇后，可得：，
解得：，
为或秒时，．
【考点评析】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
(1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
(2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
【答案】(1)
(2)①不是的平分线，理由见解析；②或或
【思路引导】（1）旋转后，旋转角等于，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可；
（2）①求出旋转后的度数，即可判断；
②分平分，平分，平分三种情况讨论即可．
【完整解答】（1）解：如图，
∵平分，
∴，
∵旋转，
∴，
根据题意，得，
解得，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
（2）解：①不是的平分线，
理由：当时，如图，
此时，，
∴，
∴不是的平分线；
②当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
【考点评析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论，画出旋转后的图形是解题的关键．
4．（24-25七年级上·广东韶关·期末）【实验操作】
如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．
（1）填空：________；
（2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒．
①当时，________；
②当何值时，？
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】（1）75；（2）①69；②；（3）不变，
【思路引导】本题考查旋转的性质，一元一次方程的应用，涉及列代数式，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数．（1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得9；②由，得，解方程即得；（3）根据角平分线定义得，，代入计算即得
【完整解答】解：（1）∵，，
∴；
故答案为：75；
（2）①当时，，
故答案为：69；
②∵，
∴，
解得，
∴当t为7.5时，；
（3）的度数不会发生变化，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
，
∴；
∴的度数不会发生变化，它的度数为．
5．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
，
，
，
(1)续写等式：________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
；
【答案】(1)225
(2)
(3)
【思路引导】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键．
（1）直接根据题意给出的规律即可求解；
（2）直接根据题意给出的规律即可求解；
（3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解
【完整解答】（1）解：原式，
故答案为：225；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）解：原式
．
6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示）
根据上面结论，当，时，_____．
【知识应用】
（2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积．
由此得到的等式为_____；（用、、表示）；
根据上面的结论，已知，，则_____．
【知识迁移】
（3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示）
【答案】（1），13；
（2），14；
（3）．
【思路引导】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可；
把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可；
类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可；
把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可；
根据、中等式的规律直接写出结果即可．
【完整解答】正方形的边长为，
正方形的面积为，
大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形，
大正方形的面积为，
，
故答案为：；
由可知，
，
又，，
，
故答案为：；
类比可得：，
故答案为：；
由可得：，
，，
，
故答案为：；
由可得：，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系．
7．（24-25七年级上·四川成都·期末）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．
(1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由；
(2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处．
①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数；
②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①或；②或
【思路引导】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用，
（1）先求出，由折叠，则即可得出结论；
（2）①设，得出，根据定义得出或，列方程解决即可；
②设，得出，分两种情况：当与无重叠时，或当与有重叠时分别列方程解决．
【完整解答】（1）解： 与是一组“奇妙角”，理由如下：
，
，由折叠可知：，
与是一组“奇妙角”；
（2）解：①设，
由对折可得：，
，
，
与是一组“奇妙角”，
或，
或，
或，即或，
②设，
由对折可得：
与是一组“奇妙角”，且
，
当与无重叠时，如图：
，
，
，
，
，
当与有重叠时，如图：
，
，
，
，
综上所述，或．
8．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足．
(1)填空：_______，______；
(2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度；
②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄；
(3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②爷爷的年龄是岁
(3)存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，木棒切断处所表示的数为
【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，数轴上两点距离，有理数的混合运算，数形结合是解题的关键．
（1）由绝对值和平方的非负性可得，；
（2）①求出，可得，即这根木棒的长为个单位长度；
②仿照“问题探究”列式计算可得爷爷的年龄是岁；
（3）设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，求出表示的数为，表示的数为，根据和刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案．
【完整解答】（1）解：，
，，
，；
故答案为：，；
（2）①由（1）知，，
根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度；
故答案为：；
②岁，
爷爷的年龄是岁；
（3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下：
设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，
表示的数为，表示的数为，
可得，解得，
木棒切断处所表示的数为．
9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】
如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．
【问题发现】
（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则
① ；
② ．
【问题探究】
（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟．
①计算为何值时，与重合；
②计算（用含的代数式表示）．
【问题解决】
（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小．
【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或
【思路引导】本题属于几何变换综合题，主要考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得；
（2）①设旋转时间为秒，则，，当与相遇时，，再求解即可；②设运动时间为秒，，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可；
（3）设绕点逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可．
【完整解答】解：（1）①，
，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）①设旋转时间为秒，则，，
当与相遇时，，
解得：；
②如图，
因为，
，
所以；
（3）设绕点逆时针旋转，
时，如图，
，，
，
平分，
，
，平分，
，
，
；
②时，如图，
，，
，
平分，
，
，平分，
，
.
综上，或.
10．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）．
(1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第10秒时，的度数为__________，的度数为__________，此时__________；
(2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，而三角板保持静止不动，（1）中和的数量关系是否始终成立？请说明理由；
(3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可）
【答案】(1)，，
(2)成立，理由见解析
(3)秒或秒或秒
【思路引导】本题主要涉及角的旋转以及角的数量关系问题，根据题意找到角的数量关系是解题的关键．
（1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数；
（2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系；
（3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解．
【完整解答】（1）解：如图1，
∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，
∴第10秒时，旋转的角度为，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：成立，理由如下，
设三角板绕点顺时针旋转度（），
情况1，当时，如图2，
，，
∵，
∴，
∴；
情况2，当时，如图3，
；
∴（1）中和的数量关系始终成立．
（3）解：设秒时，，
三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转了，
三角板以每秒的速度逆时针旋转，则旋转了，
情况1，时，如图4，
，，
∴，
解得：；
情况2，时，如图
，，
∴，
解得：；
情况3，时，如图6，
，，
∴，
解得：；
综上，第秒或秒或秒时．
11．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【思路引导】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【完整解答】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
12．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是_____．
A． B． C．
(2)已知，，则______．
(3)应用所得的公式计算：．
(4)应用所得的公式计算：．
【答案】(1)B
(2)4
(3)1
(4)
【思路引导】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键．
（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可；
（2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；
（3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果；
（4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果．
【完整解答】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：，
图1的阴影部分为面积为：，
图2中长方形的长为：，长方形的宽为：，
图2长方形的面积为：，
，
故选：B．
（2）解：，
，
又，
，
故答案为：4．
（3）解：
．
（4）解：
．
13．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知，，，是内互不重合的射线，并按图中的顺序依次排列．
(1)如图1，若，平分，平分，则的度数为_____；
(2)如图1，若，在内部，，平分平分，求的度数（用含，的式子表示）；
(3)如图2，若，，，平分，平分．当在内绕着点以每秒的速度逆时针旋转秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的2倍，求的值．
【答案】(1)77
(2)
(3)或
【思路引导】本题主要考查了角的和差计算，旋转的性质，一元一次方程的应用，角平分线的性质．关键是通过角的和差关系和角平分线的性质，正确表示需要的角．
（1）先由角平分线求得和，最后求此两角的和便可；
（2）先由角平分线得到，再进行求解即可；
（3）由在内绕点以秒的速度逆时针旋转秒时，得，，再由角平分线求得和，再分两种情况：和，分别列出的方程进行解答便可．
【完整解答】（1）解：平分，平分，
，，
，
故答案为：77；
（2）解：平分，平分，
，，
，
如图，当在内部时，
；
（3）解：在内绕点以秒的速度逆时针旋转秒时，
，
，
平分，平分，
，，
当时，，则；
当时，，则．
故当或时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，
14．（24-25八年级上·吉林四平·期末）【阅读理解】
题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则__________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和．
【答案】；；拓展应用：
【思路引导】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值．
【理解应用】设，，从而可得，，根据求出结果；
设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求；
【拓展应用】根据已知可知，，根据的面积为，可得，设，，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：．
【完整解答】【理解应用】解：设，，
则，，
，
，
故答案为：；
设，，
则，
，
，
，
，
，
解得：，
；
【拓展应用】解：，，，
，，
，
，
，
设，，
则，，
．
（24-25七年级上·上海松江·期末）已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为．
(1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简）
(2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数；
(3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数．
【答案】(1)；
(2)顺时针方向；逆时针方向；
(3)顺时针方向；逆时针方向．
【思路引导】延长、交于点，把不规则图形补充成一个矩形，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式列出表示面积的代数式；
本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含的代数式表示出与，再根据这两个角的度数之比为，列方程求解；
本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可．
【完整解答】（1）解：如下图所示，延长、交于点，
则矩形的长为，宽为，
；
（2）解：如下图所示，如果顺时针旋转，
则有，，
与的度数之比为，
，
解得：；
如下图所示，如果逆时针旋转，
则有，，
与的度数之比为，
，
解得：；
综上所述，顺时针方向或逆时针方向；
（3）解：如下图所示，重叠部分是，
，
若是轴对称图形，
则有是等腰直角三角形，
，
，
当顺时针方向旋转时，
是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，
长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形；
如下图所示，重叠部分是，
，
若是轴对称图形，
则有是等腰直角三角形，
，
，
当逆时针方向旋转时，
是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，
长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形；
综上所述，当顺时针方向或逆时针方向长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形．
【考点评析】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想．解决本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑．
16．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价．
(2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
【答案】(1)型每台元、型每台元
(2)该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
（2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6．
【完整解答】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得，
解得：
答：型每台元、型每台元
（2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，
根据题意得：，
．
购买型电脑的实际总费用不少于元，
，
即，
解得：，
又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为
∴的最小值为
答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值．
17．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为．
(1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____；
(2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）．
(3)若，那么与满足下列_____关系．
A． B． C． D．
【答案】(1)；
(2)
(3)C
【思路引导】本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含、、的代数式表示出、、、是解题的关键．
（1）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将，，代入计算，即可求解；
（2）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可；
（3）先分别用含、、的代数式表示出、、、，再代入进行运算，即可求解．
【完整解答】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为，
则，
，
将，，代入，得出，，
故答案为：；．
（2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为，
则，
，
故．
（3）解：由（1）和（2）得出，，，
故，
将，代入，得，
整理得：，
即，
故答案为：C．
18．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式因式分解；
(2)求多项式的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题．
根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可．
【完整解答】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
19．（24-25七年级上·福建福州·期末）【动手操作】
在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为________．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置．
①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________．
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
【答案】（1）垂直；；平行；依据是内错角相等，两直线平行（或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行）；（2）①；②；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行
【思路引导】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点．
（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案；
（2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角．
（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案．
【完整解答】解：（1）如图，
∵折叠，
∴直线折叠重合为两个角，平角为，
∴，即，
∴与直线的位置关系是：垂直，
如图：
∵如图④所示：，
，
由折叠可知：，
，
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直；；平行；
（2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
∴灯转动20秒后度数为，
又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置，
∴此时灯再次转动了，
，
故答案为：；
②当时，，，
∵，
∴，
∴两条射线的夹角为．
（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行．
20．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合．
(1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数．
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)当时，；当时，
【思路引导】本题考查了角的旋转和计算．熟练掌握角旋转性质，角的和差倍分关系，是解题的关键．
（1）根据已知得，得，即得；
（2）当时，，根据角平分线得，由，得，解得；当时，无解；当时，，得，得，解得；当时，无解；故或；
（3）由已知得，，当时，得，得，；当时，得，得， ．
【完整解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当时，，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，不合；
当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴，
∴，不合；
综上所述，或；
（3）∵，平分，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
故当时，；当时，．
21．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点．
(1)如果，，求的度数；
(2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【思路引导】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解；
（2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解；
（3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解．
【完整解答】（1）解：如图所示，过点作直线，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：猜想：，理由如下，
过点作，如图所示，
∵，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
设，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，
∴，
∴；
∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，
∴；
①当时，如图所示，
∴，
∴，
解得：；
②如图所示，当时，延长交于点，
∵
，
，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③如图所示，当在上，则，
∴，
解得：，
此时，
∴，
而，
∴，
∴，
④当时，
∴，
∴，
解得：；
⑤当时，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，．
【考点评析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
【答案】(1)①； ②是
(2)
(3)
【思路引导】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解；
（）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解；
（）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解；
本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键．
【完整解答】（1）解：①解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
故答案为：；
②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为，
∴不等式组对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴
解得；
（3）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴，
解得，
∵所有符合要求的整数之积为，
∴可取或可取，
∴或，
即．
23．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板______块和座板______块．
方案二：裁切靠背板______块和座板______块．
方案三：裁切靠背板______块和座板______块．
【任务二】确定搭配数量
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．
任务一：（1）画出图形，即可求解；
（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可；
任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可．
【完整解答】解：任务一：
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图，
则可裁切靠背板块．
故答案为：30；
（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图，
余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块，
根据题意得：，
，
，为正整数，
或或，
方案一：裁切靠背板23块和座板2块．
方案二：裁切靠背板16块和座板4块．
方案三：裁切靠背板9块和座板6块；
故答案为：23，2；16，4；9，6；
任务二：
设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，
根据题意得：，
解得：(不合题意，舍去)，
综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
24．（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②．
(1)当，时，求线段的长度；
(2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值；
(3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)或，图见解析
(3)
【思路引导】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（）根据折叠的性质可得，从而求出结论；
（）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论；
（）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解；
【完整解答】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，
∴；
（2）解：若点落在线段上时，如图所示，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
若点落在线段的延长线上时，如图所示，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
综上，的值或；
（3）解：如图所示，过点作于，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
整理得，，
∴．
25．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题：
(1)下列关于的代数式是“优美式”的有____________．
①；②；③．
(2)设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由．
(3)已知关于的代数式是“优美式”且，求的值．
【答案】(1)②
(2)是，说明见解析
(3)
【思路引导】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握新定义及整式的相关运算．
（1）根据新定义把代入计算即可得出答案；
（2）对已知等式变形整理得出，据此得出，进一步求解即可；
（3）根据新定义得出，结合知，即，代入得，据此可得答案．
【完整解答】（1）解：当时：
①；
②；
③．
∴②是优美式．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴是“优美式”．
（3）解：∵关于的代数式是“优美式”，
∴，
∴，可知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形．
(1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________
(2)根据中的等量关系，解决下列问题：
若，，则的值为________；
将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和．
【答案】(1)；
(2)； ．
【思路引导】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题．
根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得；
由可知，把和代入计算即可求出的值；
从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积．
【完整解答】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为，
阴影的面积为：，
阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积，
阴影的面积也可以表示为：，
可得到关于，的等量关系为，
故答案为：；
（2）解：由可知，
当，时，
，
故答案为：；
解：如下图所示，
四边形和四边形为正方形，且边长分别为和，
，，
，
，
由可知，
或(舍去)，
．
27．（24-25七年级上·全国·期末）若一个角是另一个角的二倍，则称这两个角互为“共轭角”．
(1)已知且和互为“共轭角”，则______；
(2)如图1，，是内部的一条射线，若图中存在“共轭角”，试求出的度数；
(3)如图2，，，射线从绕点O逆时针旋转，速度为每秒，到停止运动；射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，射线按照这种方式在内部往返，并随停止而停止．二者同时出发，设运动时间为t秒，在这一过程中，若和互为“共轭角”，求t的值．
【答案】(1)或
(2)或或
(3)t的值为28或40或52或55
【思路引导】本题考查了新定义——“共轭角”．熟练掌握新定义，角的计算，根据角的倍分关系分类讨论，解一元一次方程，是解题的关键．
（1）分或两种情况分别求 解 即 可．
（2） ，，种情况分别列方程 求 解 即 可；
（3）分，，，四种情况，每种情况分和两种情形解答，舍去时间取值范围外的答案．
【完整解答】（1）解析：∵，和互为“共轭角”，
∴或．
故答案为：或．
（2）①∵，图中存在“共轭角”，
∴．
∴．
②．
∵，
∴，
∴．
③．
∴．
∴．
∴．
答：的度数为或或．
（3）∵，，
∴．
∵射线速度为每秒，运动时间为t秒，
∴，射线运动时间为秒．
∴，射线运动时间为60秒．
∵，射线以每秒的速度从顺时针旋转到，
∴射线往返一次需要的时间为：秒．
①当射线还未到达，即时，
∵射线速度为每秒，运动时间为t秒，
∴．
∴．
Ⅰ、．
，
，
，
．
时间为负数，不合题意．
Ⅱ、
，
，
，
．
不在相应时间范围内，舍去．
②当射线从返回，即时，
∵射线速度为每秒，运动时间为t秒，
∴，
Ⅰ、．
，
，
，
．
Ⅱ、．
，
，
，
．
不在相应时间范围内，舍去．
③当射线第二次从出发，还未到达，，
，
∴．
Ⅰ、．
，
，
，
．
Ⅱ、．
，
，
，
．
不在相应时间范围内，舍去．
④当射线第二次从返回，即时，
．
Ⅰ、．
．
，
，
．
Ⅱ、．
．
，
，
．
答：t的值为28或40或52或55．
28．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则．
（1）根据上述运算填空：______；______；______．
【归纳猜想】
（2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______；
【初步应用】
（3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积．
【拓展延伸】
（4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值．
【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），．
【思路引导】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用．
（1）根据新运算的法则计算即可求解；
（2）根据（1）的运算结果，归纳得；
（3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解；
（4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解．
【完整解答】解：（1）∵，，，
∴；；．
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
图中阴影部分的面积；
（4）∵，
∴，，
∵矩形的面积是5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，．
29．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角
【思路引导】（1）由内半角的定义得，再由即可求解；
（2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解；
（3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解．
【完整解答】（1）解：，是的内半角，
，
；
故答案：；
（2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；
理由如下：
由旋转得：，
，
，
是的内半角，
，
，
解得：；
（3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下；
理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t，
如图1，∵是的内半角，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
如图2，∵是的内半角，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3，∵是的内半角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4，∵是的内半角，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角.
【考点评析】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键．
30．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)；
(3)．
【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案．
【完整解答】（1）解：①，
整理得：，
解得：；
②，
解得：；
③，
解得：；
，
解不等式可得：，
解不等式可得：，
所以不等式组的解集为：；
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
，
，
根据“相依方程”的含义可得：
，
，
解得：；
（3）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：，，，，，
，
∴，
则，
解得：，而为整数，则或0，
当时，，
∴，
因为，
解得：，
根据“相依方程”的含义可得：，
解可得：，
解可得：，
所以不等式组的解集为：；
当时，，
∴，
综上：．
31．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动：
〖活动素材〗如图，长方形纸片．
〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的；
〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系；
〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢
〖任务1〗求证：；
〖任务2〗若，求的度数；
〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系．
【答案】〖任务1〗 〖任务2〗 〖任务3〗
【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可；
（2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可；
（3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论．
【完整解答】解：〖任务1〗如图1，则，
又∵
∴，
∴；
〖任务2〗解：由折叠可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
〖任务3〗由折叠可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
32．（17-18七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为．
(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度；
(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．
①当为何值时，边平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)85
(2)①秒；②当秒或秒时，
【思路引导】（1）根据三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，进行计算即可得到答案；
（2）①由旋转可得，，由角平分线的定义可得，从而得到，最后由，列出方程，解方程即可得到答案；
②分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算即可得到答案．
【完整解答】（1）解：，三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，
当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是：，
故答案为：85；
（2）解：①如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
②设运动时间为秒，则由旋转可得，，
如图，当在左侧时，
此时，，
若，
，
解得：；
如图，当在右侧时，
此时，，
若，
，
解得：，
综上所述，当或秒时，．
【考点评析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．
33．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，；
(1)填空： °；
(2)若，的角平分线交直线于点O．
①如图②，当时，求α的度数；
②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）．
【答案】(1)90
(2)①；②或
【思路引导】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键．
（1）根据平行线的性质得出即可；
（2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数；
②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【完整解答】（1）解：如图①，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①，，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
；
②，
，
是的角平分线，
，
，
当点在点左侧时，
，
，
，
，
；
当点在点右侧时，
，
，
，
，
综上可知，的度数为或．
34．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
(1)如图（1），已知平分，，则______；
(2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
(3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【思路引导】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解；
（2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解；
（3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可．
【完整解答】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
35．（23-24七年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处．
小明同学的操作如图2，点在线段上；
小红同学的操作如图3，点在上，点在上．
(1)在图1中，若，求的度数；
(2)直接写出图2和图3中的度数；
(3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)．
【答案】(1)
(2)图2中，；图3中，
(3)或
【思路引导】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据折叠的性质可得，即可求解．
（2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解；
（3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可．
【完整解答】（1）解：，
，
由折叠的性质得：，
，
；
（2）解：图2中，由折叠的性质得：，，
，
，
，
即，
；
图3中，由折叠的性质得：，，
，
，
，
即；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当与不重叠时，如图1所示：
由折叠的性质得：，，
，
，
即，
，
；
②当与重叠时，如图4所示：
由折叠的性质得：，，
，
又，
，
即，
．
综上所述：的度数为或．
36．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）．
(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度；
(2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．．
①用含的代数式表示：（________）°； （________）°；
②当为何值时，边平分；
③直接写出当为何值时，
【答案】(1)
(2)①，②③t为5秒或秒
【思路引导】（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案；
（2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可；
②根据角平分线平分角，结合平角的定义，列出方程，解方程即可得到答案；
③分与相遇前和相遇后两种情况分析解答即可；
【完整解答】（1）解：当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则： ， 解得：，
与相遇后，则： ，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
37．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多；
(1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
【答案】(1)1500；
(2)第二批能制成祛湿茶151包
(3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元
【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用：
（1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可；
（2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可；
（3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可．
【完整解答】（1）解：，
∴购入茯苓的质量为；
，
∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为；
（2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，
由题意得，，
解得，
∴，
答：第二批能制成祛湿茶151包；
（3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，
由题意得，
解得，
∴，
∴，
答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元．
38．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
(2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【思路引导】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键．
（）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可；
（）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解，
（）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得．
【完整解答】（1）解：把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴是不等式的解；
故答案为：；
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组得，，
解不等式组得，
∵为整数，
∴或；
（3）解：由方程得，，
解不等式组得：，
∵所有整数“梦想解”的和为，
∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4，
∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，
∴，解得∶．
综上，．
39．（24-25八年级下·全国·期末）【概念提出】
已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．
（1）若，则 ；
（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】
（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．
①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，．
【答案】（1）1或；（2）见解析；（3）① 2 ；② 75
【思路引导】本题主要考查了角的和差倍分问题、尺规作图、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，理解题意，学会结合图形分类讨论计算是解题的关键，本题属于综合题，需要较强的推理论证和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生．
（1）根据题意，分射线在的内部或外部2种情况计算即可；
（2）由，分射线在下方、在内部、在上方3种情况讨论，得出符合题意，再利用尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作出的2倍即可得到射线；
（3）①根据题意，讨论和，分别计算出的取值范围，即可得出最小值；②设旋转时间为秒，结合图形可得，再分3种情况讨论：；；；再结合，运用不等式的性质即可得出结论．
【完整解答】（1）解：若射线在的内部，则，
；
若射线在的外部，则，
；
综上所述，或．
故答案为：1或．
（2）解：，
，
，
若射线在下方，此时，
，即（不符合题意，舍去）；
若射线在内部，此时，
，
，即射线为的三等分线，
由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去；
若射线在上方，此时，
，
，
如下图，则射线即为所求：
（3）解：①当旋转时间为45秒时，，
，
射线位于内部或边上，
下面分2种情况讨论：
当，此时，
，
由图可知，，
；
当，此时，
；
综上所述，的最小值为2．
故答案为：2．
②当射线在内部或边上时，则有，
此时，不符合题意，
射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部，
设旋转时间为秒，
当射线从图2的位置旋转至，则，
当射线从图2的位置旋转至，则，
；
当时，如图，
则，此时，
当，此时，
，
此时的最小值为3，不符合题意，
在范围内不存在符合题意的旋转时间；
当时，如图，
则，此时，
当，此时，
，
此时的最小值为3，不符合题意，
在范围内不存在符合题意的旋转时间；
当时，如图，
当，由①中的结论有：，符合题意；
当，此时有或，
令，则或，
解得：或，
射线位于内部或边上，
或，
当时，，
当时，，
当时，．
故答案为：75．2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末真题汇编复习【2024新教材】
解答题典型必刷练40题（压轴题）
（原卷版）
同学你好，该份练习结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．
（1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________
【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题：
①当___________秒时，边落在边上．
②当平分时，___________秒
【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，．
3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
(1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
(2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
4．（24-25七年级上·广东韶关·期末）【实验操作】
如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．
（1）填空：________；
（2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒．
①当时，________；
②当何值时，？
【拓展延伸】
如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
5．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
，
，
，
(1)续写等式：________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
；
6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示）
根据上面结论，当，时，_____．
【知识应用】
（2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积．
由此得到的等式为_____；（用、、表示）；
根据上面的结论，已知，，则_____．
【知识迁移】
类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示）
7．（24-25七年级上·四川成都·期末）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．
(1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由；
(2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处．
①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数；
②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数．
8．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足．
(1)填空：_______，______；
(2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度；
②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄；
在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由．
9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】
如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．
【问题发现】
（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则
① ；
② ．
【问题探究】
（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟．
①计算为何值时，与重合；
②计算（用含的代数式表示）．
【问题解决】
保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小．
10．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）．
(1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第10秒时，的度数为__________，的度数为__________，此时__________；
(2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，而三角板保持静止不动，（1）中和的数量关系是否始终成立？请说明理由；
(3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可）
11．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
12．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是_____．
A． B． C．
(2)已知，，则______．
(3)应用所得的公式计算：．
(4)应用所得的公式计算：．
13．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知，，，是内互不重合的射线，并按图中的顺序依次排列．
(1)如图1，若，平分，平分，则的度数为_____；
(2)如图1，若，在内部，，平分平分，求的度数（用含，的式子表示）；
(3)如图2，若，，，平分，平分．当在内绕着点以每秒的速度逆时针旋转秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的2倍，求的值．
14．（24-25八年级上·吉林四平·期末）【阅读理解】
题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则__________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和．
15．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为．
(1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简）
(2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数；
(3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数．
16．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价．
(2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
17．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为．
(1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____；
(2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）．
(3)若，那么与满足下列_____关系．
A． B． C． D．
18．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式因式分解；
(2)求多项式的最小值．
19．（24-25七年级上·福建福州·期末）【动手操作】
在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为________．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置．
①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________．
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
20．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合．
(1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数．
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值．
21．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点．
(1)如果，，求的度数；
(2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值．
22．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
23．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板______块和座板______块．
方案二：裁切靠背板______块和座板______块．
方案三：裁切靠背板______块和座板______块．
【任务二】确定搭配数量
现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
24．（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②．
(1)当，时，求线段的长度；
(2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值；
(3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值．
25．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题：
(1)下列关于的代数式是“优美式”的有____________．
①；②；③．
(2)设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由．
(3)已知关于的代数式是“优美式”且，求的值．
26．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形．
(1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________
(2)根据中的等量关系，解决下列问题：
若，，则的值为________；
将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和．
27．（24-25七年级上·全国·期末）若一个角是另一个角的二倍，则称这两个角互为“共轭角”．
(1)已知且和互为“共轭角”，则______；
(2)如图1，，是内部的一条射线，若图中存在“共轭角”，试求出的度数；
(3)如图2，，，射线从绕点O逆时针旋转，速度为每秒，到停止运动；射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，射线按照这种方式在内部往返，并随停止而停止．二者同时出发，设运动时间为t秒，在这一过程中，若和互为“共轭角”，求t的值．
28．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则．
（1）根据上述运算填空：______；______；______．
【归纳猜想】
（2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______；
【初步应用】
（3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积．
【拓展延伸】
如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值．
29．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
30．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
31．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动：
〖活动素材〗如图，长方形纸片．
〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的；
〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系；
〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢
〖任务1〗求证：；
〖任务2〗若，求的度数；
〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系．
32．（17-18七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为．
(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度；
(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．
①当为何值时，边平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
33．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，；
(1)填空： °；
(2)若，的角平分线交直线于点O．
①如图②，当时，求α的度数；
②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）．
34．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
(1)如图（1），已知平分，，则______；
(2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
(3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
35．（23-24七年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处．
小明同学的操作如图2，点在线段上；
小红同学的操作如图3，点在上，点在上．
(1)在图1中，若，求的度数；
(2)直接写出图2和图3中的度数；
(3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)．
36．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）．
(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度；
(2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．．
①用含的代数式表示：（________）°； （________）°；
②当为何值时，边平分；
③直接写出当为何值时，
37．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多；
(1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
38．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
(2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
39．（24-25八年级下·全国·期末）【概念提出】
已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．
（1）若，则 ；
（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】
（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．
①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，．
