【期末专项培优】用正多边形铺设地板（含解析）2024-2025学年华东师大版（2024）数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 【期末专项培优】用正多边形铺设地板（含解析）2024-2025学年华东师大版（2024）数学七年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 922.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-16 15:14:06 | ||
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文档简介
期末专项培优 用正多边形铺设地板
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 东莞市期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 东坡区期末）现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．（2024秋 浏阳市期末）酷爱思考的可培同学在学面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
4．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
5．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 梁平区期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 °．
7．（2024秋 思明区校级期中）陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是 ．
8．（2024秋 上城区期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
9．（2024 立山区校级模拟）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有3个等边三角形和 个正方形．
10．（2024秋 西城区校级月考）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
12．（2024秋 岫岩县月考）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数
…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
13．（2024春 鼓楼区校级期末）已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍．
（1）求n；
（2）求正n边形每个内角的度数；
（3）用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为： ．
14．（2024春 阜南县期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答．
（1）填写下表：
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
图1 1 6 6
图2 2
图3 3
（2）①图n中，正方形地砖数量为 块、正三角形地砖的数量为 块；
②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量．
15．（2024春 潍坊期末）阅读理解：
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°，则一个内角的度数就是（n﹣2） 180°÷n．若一个内角度数能整除360°，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．
图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案．
解决问题：
（1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°”，这种做法体现的一种数学思想是 ；（填字母代号即可）
A．数形结合思想；
B．转化思想；
C．方程思想．
（2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ；
（3）图5是图4中的一个基本图形，若∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，求∠A的度数．
拓展延伸：
（4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可）
（5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ．
期末专项培优 用正多边形铺设地板
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C C B D A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 东莞市期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】C
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【解答】解：A、正三角形每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能密铺，故选项不符合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故选项符合题意；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺，故选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
2．（2024秋 东坡区期末）现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】分类讨论；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°求解即可．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；
②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；
③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；
④正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能够铺满地面．
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解题的关键掌握由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
3．（2024秋 浏阳市期末）酷爱思考的可培同学在学面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【解答】解：A、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，由于90°+2×135°＝360°，故能铺满，不符合题意；
B、正五边形和正八边形每个内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，不符合题意；
C、正六边形和正三角形每个内角分别为120°、60°，由于60°×4+120°＝360°，故能铺满，不符合题意；
D、正三角形和正方形每个内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2＝360°，故能铺满，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】D
【分析】根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且一个图案中所含六边形的个数为1，
又因为这条小路共用去50块六边形地砖，
所以这条小路由50个图案组成．
因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且一个图案中所含的正方形个数为6，
所以50个图案中所含正方形的个数为5×50+1＝251块，
故选：D．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），能根据所给图形发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系是解题的关键．
5．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣60°）÷2＝150°，
则150°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝12，
∴（12﹣2） 180°＝1800°，
故选：A．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 梁平区期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 45 °．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】运算能力．
【答案】45．
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
7．（2024秋 思明区校级期中）陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是 正五边形 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】正五边形．
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合镶嵌的条件是正多边形的一个内角的度数能整除360度进行求解即可．
【解答】解：结合镶嵌的条件是正多边形的一个内角的度数能整除360度进行求解可得：
正三角形的一个内角度数为60度，能整除360度，可以进行平面镶嵌；
正方形的一个内角度数为90度，能整除360度，可以进行平面镶嵌；
正五边形形的一个内角度数为，不能整除360度，不可以进行平面镶嵌；
正六边形形的一个内角度数为，能整除360度，可以进行平面镶嵌；
故答案为：正五边形．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（2024秋 上城区期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 （3，3，6，6）（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【分析】根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，分别判断即可．
【解答】解：∵正三角形一个内角为60°，正六边形一个内角为120°，
又∵2×60°+2×120°＝360°，4×60°+120°＝360°，
∴可以用记号（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）表示．
故答案为：（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．
9．（2024 立山区校级模拟）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有3个等边三角形和 2 个正方形．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】2．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为360°．如果设用m个正三角形，n个正四边形，则有60m+90n＝360，求出此方程的正整数解即可．
【解答】解：设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有60m+90n＝360，
解得m＝6n，
当m＝3时，n＝2．
故在它的每个顶点周围，有 3个正三角形和2个正方形．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
10．（2024秋 西城区校级月考）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ①②③ ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；
②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；
④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）正三角形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析；
（2）同时用正三角形和正十二边形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析．
【分析】（1）内角的整数倍能等于360°即可；
（2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系进而求出即可；
【解答】解：（1）能，理由如下：
∵正三角形的内角和为180°，
∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°．
∵360°÷60°＝6，
∴正三角形能镶嵌成一个平面图形．
（2）能，
理由：
∵正十二边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二边形的每一个内角为1800°÷12＝150°．
∵150°×2+60°＝360°，
∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答．
12．（2024秋 岫岩县月考）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数
60°
90°
108°
120°
…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°，90°，108°，120°．
（2）只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌．
【分析】（1）先根据多边形内角和公式计算内角和，再运用正多边形内角度数等于内角和除以边数逐个计算即可；
（2）根据镶嵌的知识可知，由于图形都是正多边形，故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，据此即可解答．
【解答】解：（1）根据正多边形的内角和公式可知，正n边形的内角和＝（n﹣2）×180°，
当正多边形有3条边时，内角度数为；
当正多边形有4条边时，内角度数为；
当正多边形有5条边时，内角度数为；
当正多边形有6条边时，内角度数为．
故答案为：60°，90°，108°，120°．
（2）根据镶嵌的知识可知，使得几个图形的角度之和为360°时，可以进行镶嵌，
由于图形都是正多边形，
故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，
可知60°，90°，120°均可以整除360°，
当正多边形的内角度数大于120°时，都不能整除360°，
故只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌、多边形的内角和等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
13．（2024春 鼓楼区校级期末）已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍．
（1）求n；
（2）求正n边形每个内角的度数；
（3）用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为： 2个，2个或1个，4个 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】推理能力．
【答案】（1）6；
（2）120°；
（3）2个，2个或1个，4个．
【分析】（1）根据多边形内角和公式、外角和是360°以及题意列关于n的方程解答即可；
（2）直接用内角和除以边数即可解答；
（3）设围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得：120x+60y＝360，x、y为正整数，进而判断即可解答．
【解答】解：（1）根据题意得：180°（n﹣2）＝2×360°，
解得n＝6．
答：n的值为6．
（2）．
答：正n边形每个内角的度数为120°．
（3）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，
根据题意可得：120x+60y＝360，即：2x+y＝6，
∴或，
∴一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分别为：2个，2个或1个，4个．
故答案为：2个，2个或1个，4个．
【点评】本题主要考查多边形内角和与外角和、平面镶嵌等知识点，掌握平面镶嵌的要求拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360°是解题关键．
14．（2024春 阜南县期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答．
（1）填写下表：
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
图1 1 6 6
图2 2
图3 3
（2）①图n中，正方形地砖数量为 （5n+1） 块、正三角形地砖的数量为 （4n+2） 块；
②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量．
【考点】平面镶嵌（密铺）；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）①（5n+1），（4n+2）；
②93个．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中正方形和正三角形地砖的块数即可；
（2）①观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，根据规律即可解决问题；
②根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知：
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
图1 1 6 6
图2 2 11 10
图3 3 16 14
（2）①观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，
所以图n中，正方形地砖数量为（5n+1）块、正三角形地砖的数量为（4n+2）块；
故答案为：（5n+1），（4n+2）；
②当n＝10时，（5×10+1）+（4×10+2）＝51+42＝93（个），
答：图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为93个．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺）和规律型：图形的变化类，能根据所给图形发现三角形、正方形和六边形地砖块数变化的规律是解题的关键．
15．（2024春 潍坊期末）阅读理解：
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°，则一个内角的度数就是（n﹣2） 180°÷n．若一个内角度数能整除360°，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．
图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案．
解决问题：
（1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°”，这种做法体现的一种数学思想是 B ；（填字母代号即可）
A．数形结合思想；
B．转化思想；
C．方程思想．
（2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 正六边形 ；
（3）图5是图4中的一个基本图形，若∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，求∠A的度数．
拓展延伸：
（4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ①②，①④，②⑤ ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ①②④，②④⑦ ．（填数字序号即可）
（5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 2m+3n＝12 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）B；
（2）正六边形；
（3）∠A＝120°；
（4）①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦；
（5）2m+3n＝12．
【分析】（1）根据多边形与三角形的关系求解；
（2）根据平面密铺的特点求解；
（3）根据平面密铺的特点求解；
（4）根据平面密铺的特点求解；
（5）根据平面密铺的特点求解．
【解答】解：（1）从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°”，这种做法体现的一种数学思想是 转化思想，
故选：B；
（2）正六边形的一个内角为120°，120°×3＝360°，
故答案为：正六边形；
（3）设∠A＝∠B＝∠D＝x°，
则3x+90×2＝（5﹣2）×180，
解得：x＝120，
∴∠A＝120°；
（4）∵①正三角形的内角为60°，②正方形的内角为90°，③正五边形的内角为108°，④正六边形的内角为120°，⑤正八边形的内角为135°，⑥正十边形的内角为144°，⑦正十二边形的内角为150°，
∵60×3+90×2＝360，60×2+120×2＝360，90+135×2＝360，60+150×2＝360，144+108×2＝360，
60+90×2+120＝360，150+90+120＝360，
故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦；
（5）由题意得：60m+90n＝360，
即2m+3n＝12，
故答案为：2m+3n＝12．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的特点和多边形的内角和公式是解题的关键．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 东莞市期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 东坡区期末）现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．（2024秋 浏阳市期末）酷爱思考的可培同学在学面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
4．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
5．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 梁平区期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 °．
7．（2024秋 思明区校级期中）陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是 ．
8．（2024秋 上城区期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
9．（2024 立山区校级模拟）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有3个等边三角形和 个正方形．
10．（2024秋 西城区校级月考）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
12．（2024秋 岫岩县月考）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数
…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
13．（2024春 鼓楼区校级期末）已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍．
（1）求n；
（2）求正n边形每个内角的度数；
（3）用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为： ．
14．（2024春 阜南县期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答．
（1）填写下表：
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
图1 1 6 6
图2 2
图3 3
（2）①图n中，正方形地砖数量为 块、正三角形地砖的数量为 块；
②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量．
15．（2024春 潍坊期末）阅读理解：
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°，则一个内角的度数就是（n﹣2） 180°÷n．若一个内角度数能整除360°，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．
图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案．
解决问题：
（1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°”，这种做法体现的一种数学思想是 ；（填字母代号即可）
A．数形结合思想；
B．转化思想；
C．方程思想．
（2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ；
（3）图5是图4中的一个基本图形，若∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，求∠A的度数．
拓展延伸：
（4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可）
（5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ．
期末专项培优 用正多边形铺设地板
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C C B D A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 东莞市期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】C
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【解答】解：A、正三角形每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能密铺，故选项不符合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故选项符合题意；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺，故选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
2．（2024秋 东坡区期末）现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】分类讨论；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°求解即可．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；
②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；
③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；
④正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能够铺满地面．
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解题的关键掌握由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
3．（2024秋 浏阳市期末）酷爱思考的可培同学在学面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【解答】解：A、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，由于90°+2×135°＝360°，故能铺满，不符合题意；
B、正五边形和正八边形每个内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，不符合题意；
C、正六边形和正三角形每个内角分别为120°、60°，由于60°×4+120°＝360°，故能铺满，不符合题意；
D、正三角形和正方形每个内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2＝360°，故能铺满，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】D
【分析】根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且一个图案中所含六边形的个数为1，
又因为这条小路共用去50块六边形地砖，
所以这条小路由50个图案组成．
因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且一个图案中所含的正方形个数为6，
所以50个图案中所含正方形的个数为5×50+1＝251块，
故选：D．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），能根据所给图形发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系是解题的关键．
5．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣60°）÷2＝150°，
则150°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝12，
∴（12﹣2） 180°＝1800°，
故选：A．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 梁平区期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 45 °．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】运算能力．
【答案】45．
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
7．（2024秋 思明区校级期中）陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是 正五边形 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】正五边形．
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合镶嵌的条件是正多边形的一个内角的度数能整除360度进行求解即可．
【解答】解：结合镶嵌的条件是正多边形的一个内角的度数能整除360度进行求解可得：
正三角形的一个内角度数为60度，能整除360度，可以进行平面镶嵌；
正方形的一个内角度数为90度，能整除360度，可以进行平面镶嵌；
正五边形形的一个内角度数为，不能整除360度，不可以进行平面镶嵌；
正六边形形的一个内角度数为，能整除360度，可以进行平面镶嵌；
故答案为：正五边形．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（2024秋 上城区期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 （3，3，6，6）（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【分析】根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，分别判断即可．
【解答】解：∵正三角形一个内角为60°，正六边形一个内角为120°，
又∵2×60°+2×120°＝360°，4×60°+120°＝360°，
∴可以用记号（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）表示．
故答案为：（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．
9．（2024 立山区校级模拟）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有3个等边三角形和 2 个正方形．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】2．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为360°．如果设用m个正三角形，n个正四边形，则有60m+90n＝360，求出此方程的正整数解即可．
【解答】解：设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有60m+90n＝360，
解得m＝6n，
当m＝3时，n＝2．
故在它的每个顶点周围，有 3个正三角形和2个正方形．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
10．（2024秋 西城区校级月考）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ①②③ ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；
②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；
④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）正三角形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析；
（2）同时用正三角形和正十二边形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析．
【分析】（1）内角的整数倍能等于360°即可；
（2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系进而求出即可；
【解答】解：（1）能，理由如下：
∵正三角形的内角和为180°，
∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°．
∵360°÷60°＝6，
∴正三角形能镶嵌成一个平面图形．
（2）能，
理由：
∵正十二边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二边形的每一个内角为1800°÷12＝150°．
∵150°×2+60°＝360°，
∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答．
12．（2024秋 岫岩县月考）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数
60°
90°
108°
120°
…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°，90°，108°，120°．
（2）只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌．
【分析】（1）先根据多边形内角和公式计算内角和，再运用正多边形内角度数等于内角和除以边数逐个计算即可；
（2）根据镶嵌的知识可知，由于图形都是正多边形，故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，据此即可解答．
【解答】解：（1）根据正多边形的内角和公式可知，正n边形的内角和＝（n﹣2）×180°，
当正多边形有3条边时，内角度数为；
当正多边形有4条边时，内角度数为；
当正多边形有5条边时，内角度数为；
当正多边形有6条边时，内角度数为．
故答案为：60°，90°，108°，120°．
（2）根据镶嵌的知识可知，使得几个图形的角度之和为360°时，可以进行镶嵌，
由于图形都是正多边形，
故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，
可知60°，90°，120°均可以整除360°，
当正多边形的内角度数大于120°时，都不能整除360°，
故只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌、多边形的内角和等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
13．（2024春 鼓楼区校级期末）已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍．
（1）求n；
（2）求正n边形每个内角的度数；
（3）用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为： 2个，2个或1个，4个 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】推理能力．
【答案】（1）6；
（2）120°；
（3）2个，2个或1个，4个．
【分析】（1）根据多边形内角和公式、外角和是360°以及题意列关于n的方程解答即可；
（2）直接用内角和除以边数即可解答；
（3）设围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得：120x+60y＝360，x、y为正整数，进而判断即可解答．
【解答】解：（1）根据题意得：180°（n﹣2）＝2×360°，
解得n＝6．
答：n的值为6．
（2）．
答：正n边形每个内角的度数为120°．
（3）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，
根据题意可得：120x+60y＝360，即：2x+y＝6，
∴或，
∴一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分别为：2个，2个或1个，4个．
故答案为：2个，2个或1个，4个．
【点评】本题主要考查多边形内角和与外角和、平面镶嵌等知识点，掌握平面镶嵌的要求拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360°是解题关键．
14．（2024春 阜南县期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答．
（1）填写下表：
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
图1 1 6 6
图2 2
图3 3
（2）①图n中，正方形地砖数量为 （5n+1） 块、正三角形地砖的数量为 （4n+2） 块；
②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量．
【考点】平面镶嵌（密铺）；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）①（5n+1），（4n+2）；
②93个．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中正方形和正三角形地砖的块数即可；
（2）①观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，根据规律即可解决问题；
②根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知：
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
图1 1 6 6
图2 2 11 10
图3 3 16 14
（2）①观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，
所以图n中，正方形地砖数量为（5n+1）块、正三角形地砖的数量为（4n+2）块；
故答案为：（5n+1），（4n+2）；
②当n＝10时，（5×10+1）+（4×10+2）＝51+42＝93（个），
答：图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为93个．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺）和规律型：图形的变化类，能根据所给图形发现三角形、正方形和六边形地砖块数变化的规律是解题的关键．
15．（2024春 潍坊期末）阅读理解：
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°，则一个内角的度数就是（n﹣2） 180°÷n．若一个内角度数能整除360°，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．
图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案．
解决问题：
（1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°”，这种做法体现的一种数学思想是 B ；（填字母代号即可）
A．数形结合思想；
B．转化思想；
C．方程思想．
（2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 正六边形 ；
（3）图5是图4中的一个基本图形，若∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，求∠A的度数．
拓展延伸：
（4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ①②，①④，②⑤ ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ①②④，②④⑦ ．（填数字序号即可）
（5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 2m+3n＝12 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）B；
（2）正六边形；
（3）∠A＝120°；
（4）①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦；
（5）2m+3n＝12．
【分析】（1）根据多边形与三角形的关系求解；
（2）根据平面密铺的特点求解；
（3）根据平面密铺的特点求解；
（4）根据平面密铺的特点求解；
（5）根据平面密铺的特点求解．
【解答】解：（1）从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2） 180°”，这种做法体现的一种数学思想是 转化思想，
故选：B；
（2）正六边形的一个内角为120°，120°×3＝360°，
故答案为：正六边形；
（3）设∠A＝∠B＝∠D＝x°，
则3x+90×2＝（5﹣2）×180，
解得：x＝120，
∴∠A＝120°；
（4）∵①正三角形的内角为60°，②正方形的内角为90°，③正五边形的内角为108°，④正六边形的内角为120°，⑤正八边形的内角为135°，⑥正十边形的内角为144°，⑦正十二边形的内角为150°，
∵60×3+90×2＝360，60×2+120×2＝360，90+135×2＝360，60+150×2＝360，144+108×2＝360，
60+90×2+120＝360，150+90+120＝360，
故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦；
（5）由题意得：60m+90n＝360，
即2m+3n＝12，
故答案为：2m+3n＝12．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的特点和多边形的内角和公式是解题的关键．
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