期末专项培优 三元一次方程组及其解法
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 东阳市期末)某校七年级有3个班,已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45,二班、三班的平均人数与一班人数之和为48,一班、三班的平均人数与二班人数之和为47,则三个班的总人数为( )
A.68 B.70 C.72 D.74
2.(2024秋 怀化期末)已知方程组,则x+y+z的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2024秋 海门区校级月考)若x、y满足x+y+m=3,x﹣y﹣3m=1,则代数式xy有可能值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.(2024春 东兴区校级期中)已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字,个位数字加1等于它的百位数字,把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769,则该四位数的数字之和为( )
A.25 B.24 C.33 D.34
5.(2024春 道县校级月考)三元一次方程组消去未知数z后,得到的二元一次方程组是( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共5小题)
6.(2024 渝北区校级开学)买3本练习本,2支笔,7块橡皮共用了27元,买同样的练习本5本,同样的笔4支,同样的橡皮9块共用了43元,如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块,总共需要 元.
7.(2024秋 两江新区校级月考)今有三部自动换币机,其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币;乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币;丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币.某人共进行了12次换币,便将一枚硬币换成了81枚.试问他在丙换币机上换了 次.
8.(2024 海淀区校级开学)有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件,共需20元;若购甲4件、乙10件、丙1件,共需27元;若购买甲、乙、丙各1件,共需要 元.
9.(2024春 赛罕区校级期中)某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元,又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元.如果单价不变,他买1只鸡1只兔1只鸭需要 元.
10.(2024春 涟水县月考)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文3a+b,2b+c,2c+d,2d.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,10,8.当接收方收到密文13,9,24,20时,则解密得到的明文四个数字之和为 .
三.解答题(共5小题)
11.(2024 鄞州区校级自主招生)求关于x,y,z,t的方程组的整数解.
12.(2024春 龙华区校级期中)已知y=ax2+bx+c,当x=﹣1时,y=0,当x=1时,y=﹣4;当x=2时,y=3.
(1)求a、b、c的值;
(2)求当x=﹣3时,y的值.
13.(2024 岳阳县校级开学)一个三位数,如果把它的个位数字与百位数字交换位置,那么所得的新数比原数小99,且各位数字之和为14,十位数字是个位数字与百位数字之和.求这个三位数.
14.(2024秋 长沙月考)有一片牧场,草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等),如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的,问:
(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?
(2)要使牧草永远吃不完,至多放牧几头牛?
15.(2024春 浦东新区校级月考)解方程组:.
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 东阳市期末)某校七年级有3个班,已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45,二班、三班的平均人数与一班人数之和为48,一班、三班的平均人数与二班人数之和为47,则三个班的总人数为( )
A.68 B.70 C.72 D.74
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】B
【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45,二班、三班的平均人数与一班人数之和为48,一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组,再根据整体思想求解.
【解答】解:设一班为x人,二班有y人,三班由z人,
则:,
方程组可化为:
,
①+②+③得:4(x+y+z)=280,
∴x+y+z=70,
故选:B.
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用,掌握整体思想是解题的关键.
2.(2024秋 怀化期末)已知方程组,则x+y+z的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】解三元一次方程组.
【专题】整体思想;一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】A
【分析】把三个方程相加,进行计算即可解答.
【解答】解:,
①+②+③得:
2x+2y+2z=3+(﹣6)+9,
∴x+y+z=3,
故选:A.
【点评】本题考查了解三元一次方程组,熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键.
3.(2024秋 海门区校级月考)若x、y满足x+y+m=3,x﹣y﹣3m=1,则代数式xy有可能值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【考点】解三元一次方程组;代数式求值.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】D
【分析】结合已知条件进行代数式求值,然后代入xy中确定其取值即可.
【解答】解:由题意可得,
解得,
则xy=(2+m)(1﹣2m)
=2﹣4m+m﹣2m2
=﹣2m2﹣3m+2
=﹣2(m)2,
∵6>5>43,
∴代数式xy有可能值为3,
故选:D.
【点评】本题考查代数式求值,掌握代数式求值的方法是关键.
4.(2024春 东兴区校级期中)已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字,个位数字加1等于它的百位数字,把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769,则该四位数的数字之和为( )
A.25 B.24 C.33 D.34
【考点】三元一次方程组的应用.
【答案】A
【分析】设这个四位数为abcd,则,可以发现(b+c)和的个位为6,b+c=16;据题意可知,c=d﹣1,b=d+1,则b+c=(d﹣1)+(d+1)=16,则d=8,又a+d=8+1+a=10,则a=1;综上可知,a﹣1,d=8,c=8﹣1=7,b=8+1=9.
【解答】解:设这个四位数为abcd,则abcd+dcba=10769;
则b+c=16;又据题意可知,c=d﹣1,b=d+1,
则b+c=(d﹣1)+(d+1)=16,
可得:d=8,
又∵a+d=8+1+a=10,
∴a=1,
综上可知,a=1,d=8,c=8﹣1=7,b=8+1=9,
所以该四位数的数字之和为25.
故选:A.
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用,完成本题的关键是通过两数的和先求出b+c=16之后,再据所给条件求其它数就比较容易了.
5.(2024春 道县校级月考)三元一次方程组消去未知数z后,得到的二元一次方程组是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】解三元一次方程组;解二元一次方程组.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】A
【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题.
【解答】解:
①﹣③得,4x+3y=2,
③×4+②得:7x+5y=3,
∴三元一次方程组消去未知数z后,得到的二元一次方程组是,
故选:A.
【点评】本题考查解三元一次方程组,解题的关键是明确题意,会用消元法解方程组.
二.填空题(共5小题)
6.(2024 渝北区校级开学)买3本练习本,2支笔,7块橡皮共用了27元,买同样的练习本5本,同样的笔4支,同样的橡皮9块共用了43元,如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块,总共需要 40 元.
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】计算题;一次方程(组)及应用;应用意识.
【答案】40.
【分析】设练习本一本x元,笔 一支y元,橡皮一块z元,先根据题意列出三元一次方程组,利用等式的性质得x+y+z的值,最后求出5x+5y+5z的值.
【解答】解:设练习本一本x元,笔 一支y元,橡皮一块z元,
由题意,得,
②﹣①,得2x+2y+2z=16.
∴x+y+z=8.
∴5x+5y+5z
=5(x+y+z)
=5×8
=40(元).
故答案为:40.
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用,掌握等式的性质是解决本题的关键.
7.(2024秋 两江新区校级月考)今有三部自动换币机,其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币;乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币;丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币.某人共进行了12次换币,便将一枚硬币换成了81枚.试问他在丙换币机上换了 8 次.
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;应用意识.
【答案】8.
【分析】根据题意可知,设在甲机换了x次,乙机换了y次,丙机换了z次,在甲机上每换一次多1个,在乙机上每换一次多3个,在丙机上每换一次多9个,进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚,多了80个;找到相等关系式列出方程解答即可.
【解答】解:设在甲机换了x次.乙机换了y次.丙机换了z次,
在甲机上每换一次多 1 个;
在乙机上每换一次多 3 个;
在丙机上每换一次多 9 个;
进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚,多了80个;
∴
由②﹣①,得:2y+8z=68,
∴y+4z=34,
∴y=34﹣4z,
结合x+y+z=12,能满足上面两式的值为:
∴x=2,y=2,z=8;
即在丙机换了8次.
故答案为:8.
【点评】本题考查三元一次方程组的应用,找准等量关系,列出三元一次方程是解答本题的关键.
8.(2024 海淀区校级开学)有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件,共需20元;若购甲4件、乙10件、丙1件,共需27元;若购买甲、乙、丙各1件,共需要 6 元.
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力;应用意识.
【答案】6.
【分析】设购甲、乙、丙三种货物各1件,分别需要x元,y元,z元,根据题意列出三元一次方程组,再利用加减法求出x+y+z的值即可.
【解答】解:设购甲、乙、丙三种货物各1件,分别需要x元,y元,z元,
根据题意,得,
①×3﹣②×2得3(3x+7y+z)﹣2(4x+10y+z)=20×3﹣27×2,
整理,得x+y+z=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查三元一次方程组的应用,理解题意,弄清题目中的数量关系是解题的关键.
9.(2024春 赛罕区校级期中)某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元,又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元.如果单价不变,他买1只鸡1只兔1只鸭需要 180 元.
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】设鸡的单价是x元,兔的单价是y元,鸭的单价是z元,根据“某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元,又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元”,可得出关于x,y,z的三元一次方程组,由(①+②)÷4,即可求出结论.
【解答】解:设鸡的单价是x元,兔的单价是y元,鸭的单价是z元,
根据题意得:,
(①+②)÷4得:x+y+z=180,
∴他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元.
故答案为:180.
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出三元一次方程组是解题的关键.
10.(2024春 涟水县月考)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文3a+b,2b+c,2c+d,2d.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,10,8.当接收方收到密文13,9,24,20时,则解密得到的明文四个数字之和为 22 .
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力;应用意识.
【答案】22.
【分析】根据接收方收到密文13,9,24,20,列出三元一次方程组,解方程组即可.
【解答】解:由题意得:,
解得:,
∴a+b+c+d=4+1+7+10=22,
即解密得到的明文四个数字之和为22,
故答案为:22.
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出三元一次方程组是解题的关键.
三.解答题(共5小题)
11.(2024 鄞州区校级自主招生)求关于x,y,z,t的方程组的整数解.
【考点】解三元一次方程组.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】或或或.
【分析】先把方程组进行变形,化为完全平方形式,再两方程相加,化简得到(x2+2y2)(z2+2t2)=11,利用方程的解是整数,得到结果.
【解答】解:∵,
∴,
∴,
①+2×②得:x2z2+4y2t2﹣4xyzt+2x2t2+2y2z2+4xyzt=11,
∴x2z2+4y2t2+2x2t2+2y2z2=11,
∴(x2z2+2y2z2)+(4y2t2+2x2t2)=11,
∴z2(x2+2y2)+2t2(x2+2y2)=11,
∴(x2+2y2)(z2+2t2)=11,
∵x,y,z,t均为整数,
∴或,
∴解得或或或.
【点评】本题考查了解一次方程组,认真观察原方程组的两方程,充分利用求方程组的整数解这一条件是解题的关键.
12.(2024春 龙华区校级期中)已知y=ax2+bx+c,当x=﹣1时,y=0,当x=1时,y=﹣4;当x=2时,y=3.
(1)求a、b、c的值;
(2)求当x=﹣3时,y的值.
【考点】解三元一次方程组.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】(1)a=3,b=﹣2,c=﹣5;
(2)28.
【分析】(1)把x、y的三对对应值分别代入y=ax2+bx+c,列出方程组,再求解;
(2)把x=﹣3代入y=3x2﹣2x﹣5,求解.
【解答】解:(1)由题意得:,
解得:,
∴a=3,b=﹣2,c=﹣5;
(2)当x=﹣3时,y=9×3+3×2﹣5=28.
【点评】本题考查了解三元一次方程组,掌握消元思想是解题的关键.
13.(2024 岳阳县校级开学)一个三位数,如果把它的个位数字与百位数字交换位置,那么所得的新数比原数小99,且各位数字之和为14,十位数字是个位数字与百位数字之和.求这个三位数.
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】数字问题.
【答案】见试题解答内容
【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z.根据题目说明,以及百位数是百位数字的100倍,十位数是十位数字的10倍,个位数就是个位数字列出方程组
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值,那么这个三位数也就确定.
【解答】解:这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z.
由题意列方程组
②﹣③得 y=14﹣y,即y=7,
由①得x﹣z=1⑤,
将y=7代入③得 x+z=7⑥,
⑤+⑥得2x=8,
即x=4,那么z=3,
答:这个三位数是473.
【点评】解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组,用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.
14.(2024秋 长沙月考)有一片牧场,草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等),如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的,问:
(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?
(2)要使牧草永远吃不完,至多放牧几头牛?
【考点】三元一次方程组的应用.
【专题】应用题.
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设牧场原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛每天吃草量为c,16头牛x天吃完草.
(1)根据 原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×头数×天数
列出方程组,可解得x的值即为所求.
(2)假设要使牧草永远吃不完,至多放牧y头牛.
要使牧草才永远吃不完,则有 每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量,解得结果即为所求.
【解答】解:设牧场原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛每天吃草量为c,16头牛x天吃完草.
(1)由题意得:
由②﹣①得 b=12c ④
由③﹣②得 (x﹣8)b=(16x﹣168)c ⑤
将④代入⑤得 (x﹣8)×12c=(16x﹣168)c,解得 x=18
(2)设至多放牧y头牛,牧草才永远吃不完,则有cy≤b,即每天吃的草不能多于生长的草,y12.
答:(1)如果放牧16头牛,18天可以吃完牧草;(2)要使牧草永远吃不完,至多放牧12头牛.
【点评】本题考查三元一次方程组的应用.有些应用题,它所涉及到的量比较多,量与量之间的关系也不明显,需增设一些表知敷辅助建立方程,辅助表知数的引入,在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”,对这种辅助未知量,并不能或不需求出,可以在解题中相消或相约,这就是我们常说的“设而不求”.
15.(2024春 浦东新区校级月考)解方程组:.
【考点】解三元一次方程组.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【答案】.
【分析】先消去y,把三元一次方程组变成二元一次方程组,解二元一次方程组即可求解.
【解答】解:,
①+②得3x+z=1④,
(②+③)÷2得3x﹣2z=﹣2⑤,
④与⑤组成方程组得,
解得,
把代入①得,0+3y+2=3,
∴,
∴方程组的解为.
【点评】本题考查了解三元一次方程组,掌握解三元一次方程组的步骤是解题的关键.
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