新疆维吾尔自治区喀什地区2025届普通高考5月适应性检测数学试卷(含详解)

2025届新疆维吾尔自治区喀什地区普通高考5月适应性检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
A． B．1 C． D．
3．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于函数和，下列说法中正确的是（ ）
A．与有相同的零点
B．与有相同的最小值
C．函数的图象与的图象有相同的对称轴
D．的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ）
A．直线与恰有两个公共点
B．双曲线的离心率为
C．当时，的面积为
D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，
11．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．当时，函数在定义域上单调递增
C．曲线是中心对称图形
D．若，且的最小值是0
三、填空题（本大题共3小题）
12．等比数列中，，则的前4项和等于 ．
13．中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 .
14．已知函数，若，则不等式的解集为 ；若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求边上的高.
16．已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）试判断函数的单调性.
17．如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗 其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.
（1）估计甲队每局获胜的概率；
（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小
19．已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
，故.
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为在复平面内对应的点为，
又点关于直线对称的点为，所以，
所以.
故选A
3．【答案】D
【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，
则，，
则，
故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.
又因，解得，故其轨迹方程为.
故选D.
4．【答案】A
【详解】在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，
在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是.
故选A.
5．【答案】D
【详解】若，则，
即
又，
.
故选D.
6．【答案】B
【详解】由.
由.
由.
所以.
故选B
7．【答案】A
【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合，
正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为，
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，
由正弦定理得：，而为的中点，则，
所以该三棱锥的外接球的体积为.
故选A
8．【答案】B
【详解】令，则方程可转化为，
对进行因式分解可得，则，，
所以或，
当时，，
因为指数函数在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
当时，，对其求导得，
令，即，解得（），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
对于，
当时，，即，，解得，有个根，
因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根，
结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根，
所以的取值范围为.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，令中，可得，
但，故A错误；
对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确；
对于C，函数的对称轴方程为，即，
所以，故C错误；
对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确；
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】对于A选项，联立可得，
所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；
对于B选项，对于双曲线，则，，，
所以，双曲线的离心率为，B对；
对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，
由余弦定理可得，
可得，则，C对；
对于D选项，设点、，线段的中点为，
则，，则，
由题意可得，所以，，则，D错.
故选BC.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确；
对于B，当时，
易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确；
对于C，令，，
因此的图象关于点中心对称，
易知满足，
可得的图象关于点中心对称，可得C正确；
对于D，时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，
而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误.
故选ABC.
12．【答案】5
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
解得，因此，
所以的前4项和等于5.
13．【答案】/
【详解】如下图所示：
因为，为边的中点，所以，
又三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
因此的最小值为.
14．【答案】；
【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则；
当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为；
第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2.
当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意；
当时，显然无解；的判别式，设的两根为，
则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意；
当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解；
，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增，
则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点；
综上：.
15．【答案】（1）
（2）2
【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以，
所以，
整理，得，即，
又，所以，
所以，故.
（2）由的面积为，得，所以.
由余弦定理，得，
所以，
设边上的高，
由，解得.
16．【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）当时，，则，所以，，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，，
当时，，的减区间为，无增区间；
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）如图，连接，设，连接.
四边形为平行四边形，.
为的中点，即.
又平面平面，
平面.
（2），而，
当时，取最大值2，
即当时，三棱锥的体积最大.
又三棱柱为直三棱柱，.
当时，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
则.
设平面的法向量为，
则，令，则.
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）两队积分相等的概率小于
【详解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
可得：，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，
因为，所以两队积分相等的概率小于
19．【答案】（1）
（2）是定值，理由见解析
【详解】（1）依题意可知，
由于，则直线的方程为，
因为点到直线的距离为.
所以，解得，
所以，则，
所以椭圆的标准方程.
（2）设，直线的方程为.此时.
联立直线与椭圆方程消去得，
则有
不妨设，因为三点共线，则，
所以则有，
因为三点共线，则则有，
所以
，
所以，所以，
所以，所以.