云南省临沧市临沧地区中学2024-2025学年高三下学期适应性月考卷（七） 数学试卷（含详解）

云南省临沧地区中学2025届高考适应性月考卷（七）
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若是奇函数，则的值为
A. B. C. D.
3.已知为平面，，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则
A. B.
C. D.
5.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则
A. B. C. D.
6.对于正数，且，可以定义运算，则方程的根落于区间
A. B. C. D.
7.在研究性学习活动中，某位学生收集了两个变量与之间的几组数据如下表：
根据上表数据所得经验回归方程为该同学又收集了两组数据，和，，利用这六组数据求得的经验回归方程为，则以下结论正确的是
参考公式：经验回归方程为，其中，．
， B. ，
C. ， D. ，
8.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，则
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是
A.
B. 若则
C. 和的面积之和的最大值为
D. 若，则
11.记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，则下列说法正确的是
A.
B. 存在正整数，对于任意的正整数，均有
C. 对于任意的正整数，均有
D. 存在正整数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.年月日新疆克拉玛依号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，，则的最小值是 ．
13.设函数，若，，，则当取得最小值时， ．
14.已知定义在上的函数满足：曲线上任意一点处的切线斜率均不小于；
曲线在原点处的切线与圆相切，请写出一个符合题意的函数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.本小题分
黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时点到次日凌晨点的睡眠对一天至关重要．相关数据表明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比
注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群．
以频率估计概率，求晚睡人群睡眠指数在的概率，并判断晚睡人群睡眠指数的中位数在第几组？
据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点．
证明：平面平面
求直线与平面所成角的正弦值
求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
求角的大小；
已知，，求的值．
18.本小题分
已知双曲线：．
求双曲线的离心率；
若直线：与双曲线相交于，两点均异于左、右顶点，且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
19.本小题分
对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为记数列的前项和为，已知，．
Ⅰ判断是否为“上界数列”，并说明理由；
Ⅱ若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”；
Ⅲ若，数列的“上界临界值”为，证明：．
参考答案
1.【答案】
【解析】解：由得，则，
又集合，则，
故选：．
2.【答案】
函数的定义域需满足，即，
又函数为奇函数，其定义域关于坐标原点对称，即，解得，
所以定义域为
又，即，
所以．
故选A．
3.【答案】
由题意可得，可得或 ，即甲不能推乙；
反之，由和，可得或、相交或、异面，即乙不能推甲，
故甲是乙的既不充分也不必要条件．
故选D．
4.【答案】
因为，，
则，
又，
即，
所以，故 B错误；
，
，即，
，故 A错误；
，，
，故 C正确；
，
，
，即，
，故 D错误．
故选：．
5.【答案】
过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
易知∽，所以，
由抛物线定义得 ，
因为，所以，
设，因为，所以，，
不妨取，又直线过点，所以，
所以直线的方程为，将代入上式得，，解得或，
设，则，，所以 ，所以，
故选D．
6.【答案】
由题意，，即，即，
则， ，则
7.【答案】
由表格数据可得：，，，
则，
，
添加两组数据，和，后，，，
，
，
，．
故选：．
8.【答案】
由，
可得，
因此其最大值为，
由与直线的交点中相邻交点的距离为，
可得，故，
所以解析式为，
又因为关于的方程有三个不等的实根，
即有三个不等的实根，
也即或有三个不等实根，
作出函数在上的图象，如下：
结合函数图象可知，有一个根，
故有两个不等实数根，
所以，
故的范围为．
故选：．
9.【答案】
由题意得，所以的实部为，虚部为，故 A正确，B错误；
在复平面内对应的点位于第四象限．故 C正确，D错误．
故选AC．
10.【答案】
选项A：，，
则，，
可得：，选项正确
选项B：若，则，又因为，所以或，
若，则，此时，
若，则，此时，选项B正确
选项C，
整理得，，
所以和的面积之和的最大值为，选项C错误；
选项D若，注意到在单位圆上，
当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，
故为以为斜边的等腰直角三角形，所以，选项D正确．
故选ABD
11.【答案】
【解析】解：因为为等差数列，取前项知，，成等差数列，即，
因为为等比数列，取前项知，，成等比数列，
则，即，
代入，得，
即，也即，
所以或，
若，那么，所以，
但不为等比数列，所以不成立，
则，此时的公差为，
可得，即，检验得正确，A正确；
令，解得，令，
解得，且，，
所以，
又，或，，，不满足不正确；
因为，
于是，
因此，C正确，D错误．
12.【答案】
已知动点在椭圆上，可得，所以，
因为点的坐标为，即可得为椭圆的右焦点，
点满足，可得在以为圆心，以为半径的圆上，
又因为，则可得为圆的切线，所以，
而在椭圆上，所以，即，
所以的最小值为，
所以的最小值为．
故答案为：．
13.【答案】
设，
则原方程为，可得，则可得，，
令，则，即：，，
此时可表示为：，
当且仅当，即时等号成立，此时，，对应，，
即
故答案为
14.【答案】答案不唯一
由，圆的圆心为，半径为，
易知过原点且与圆相切的直线斜率存在，设为，
则，解得或，
结合知，则曲线在原点处的切线为，
当时，
，满足，
因为，，
所以曲线在原点处的切线为，满足．
故符合题意．
故答案为：答案不唯一．
15.【答案】解：晚睡人群睡展指数在的概率，
，
故晚睡人群睡眠指数的中位数在第组．
的所有可能取值为，，，，．
，
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以随机变量的数学期望为
．
16.【答案】证明；连，并取中点，连．
平面平面．
解：设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，．
由，则，则为等边三角形．
因为平面平面，所以到平面的距离等于到直线的距离．
，，．
在中，用余弦定理，得．
则．
则到直线的距离．
直线与平面所成角的正弦值．
解：过作于，设，则，，，，
由，得，解出．
即点为上靠近点的三等分点．
在中，．
四棱锥的高，则．
四边形的对角线垂直，则
，
下方几何体体积，
所以．
17.【答案】解：由向量，，且，得，
利用正弦定理可得，
又，所以，可得．
又，所以．
方法一：由得，即．
由 ，得，得．
又 ，可得，
此时，
所以．
方法二：由得，，又，可得，
此时，
由余弦定理可得，即，
由，得，得，
由，可得，
故．
18.【答案】解：由双曲线的方程可知，，双曲线的离心率．
设，，由，得，则， ，，
以为直径的圆过双曲线的左顶点，，，，，解得或 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，直线过定点，经检验符合题意．直线过定点，定点坐标为．
19.【答案】解：因为，
当时，，
两式相减，得，
又因为，所以，
又当时，，得，所以，
因为随着的增大而增大，
所以不存在常数满足，
所以数列不是“上界数列”；
由可知，
所以，
，
，得，
所以，
易得，且当时，，
故；
Ⅲ由可知，
又，
所以，即的一个上界为，根据的定义知．