13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 练习（含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
一、 单项选择题
1 在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成一个空间图形，则该空间图形为(　　)
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 圆台 D. 球
2 (2023湖南期中)用一个平面截一个空间图形，得到的截面是三角形，这个空间图形不可能是(　　)
A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台
3 (2023深圳建文外国语学校期中)如图所示的空间图形是数学奥林匹克竞赛的奖杯，则该空间图形由(　　)
A. 一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B. 一个球、一个长方体、一个棱台构成
C. 一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D. 一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
4 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，则该截面将圆锥母线分成的两段的比是(　　)
A. 1∶3 B. 1∶(－1) C. 1∶9 D. ∶2
5 (2024绍兴期中)已知圆锥的底面积为3π，高为1，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形的面积最大为(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 3
6 (2024合肥期中)已知圆台上底面半径为2 cm，下底面半径为4 cm，母线AB＝8 cm，点A在上底面上，点B在下底面上，从AB的中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点B，则绳子的最短距离为(　　)
A. 10 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 20 cm
二、 多项选择题
7 (2024浙江期中)下列说法中，错误的是(　　)
A. 用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C. 圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D. 圆锥的母线可能平行
8 两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是(　　)
A. 1 B. 3 C. 4 D. 7
三、 填空题
9 已知一个圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截出一个圆台，所得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．
10 如图是我们常见的一种陀螺，请同学们仔细观察，此空间图形由________________构成．
　　
(第10题)　　　　　(第11题)
11 (2024长春期末)如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋(视为球)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为________．
四、 解答题
12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD13 (2023重庆开州临江中学月考)请描述如图所示的空间图形的结构特征．
① ② ③
　　
13．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
1. B　由题意知，△ABC为等腰三角形．因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，所以满足以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的空间图形为圆锥，故该空间图形为圆锥．
2. D　对于A，如图1，用平面ACD1截长方体，得到的截面是三角形，故A正确；对于B，如图2，用平面PAB截圆锥，得到的截面是三角形，故B正确；对于C，三棱锥各个面即为三角形，除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面均为三角形，故C正确；对于D，圆台的截面不可能为三角形，故D错误．
图1 　图2
3. B　由图可知，该空间图形是由一个球、一个长方体、一个棱台构成．
4. B　设截面圆的半径为r，原圆锥的底面半径为R，则＝，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为1∶，故截面将圆锥母线分成的两段比是1∶(－1).
5. C　如图，SO＝1.因为圆锥的底面积为3π，所以OA＝，所以tan ∠ASO＝＝，SA＝2.又∠ASO∈(0°，90°)，所以∠ASO＝60°，所以∠ASB＝120°.易知过顶点的截面为等腰三角形，设顶角为θ，则θ∈(0°，120°]，所以截面三角形的面积S＝×22sin θ＝2sin θ，所以当θ＝90°时，S取得最大值2.
6. D　如图，画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O，由图得，所求的最短距离是MB′.设OA＝R，圆心角是α，则由题意知，4π＝αR①，8π＝α(8＋R)②，由①②解得α＝，R＝8，所以OM＝12，OB′＝16，则MB′＝＝20(cm)，则绳子的最短距离为20 cm.
7. ABD　当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；由圆台的结构特征知B错误；由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确，D错误．故选ABD.
8. AD　如图1，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝OC－OD＝－＝4－3＝1；如图2，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝OC＋OD＝＋＝4＋3＝7.故选AD.
图1 图2
9. 1　根据题意，作轴截面如图，则＝＝，解得r＝1.
10. 一个圆柱，两个圆台，一个圆锥
11. 　由题意可知，蛋巢的底面是边长为1的正方形，且蛋巢的高度为，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋(球)所得的截面圆的直径为1.又球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为＝，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1＋＋＝.
12. 如图，旋转所得的空间图形是一个圆柱挖去两个圆锥后得到的组合体．
13. ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的空间图形；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的空间图形．